学习任务 二次函数与一元二次方程的关系
|情境探究|
如图所示,在平面直角坐标系中画出函数$y=x^2+x-2,y=x^2-6x+9,y=x^2-x+1$的图象,观察图象,完成下列填空.

问题1:抛物线$y=x^2+x-2$与$x$轴有个公共点,它们的横坐标分别是.当$x$取公共点的横坐标时,函数值是.由此得出方程$x^2+x-2=0$有两个不相等的实数根.
问题2:抛物线$y=x^2-6x+9$与$x$轴有个公共点,该点的横坐标是.当$x=$时,函数值是0.由此得出方程$x^2-6x+9=0$有两个的实数根.
问题3:抛物线$y=x^2-x+1$与$x$轴公共点,由此可知,方程$x^2-x+1=0$实数根.
|探究归纳|
1.如果抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴有公共点,公共点的横坐标是$x_0$,那么当$x=x_0$时,函数值是,因此$x=$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根.
2.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的位置关系与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况

问题1:2 −2,1 0 $x_1=-2,x_2=1$
问题2:1 3 3 相等 $x_1=x_2=3$
问题3:没有 没有
探究归纳
1.0 $x_0$
2.2 两个不相等 1 两个相等 没有

【分析】
解题时可依据二次函数与一元二次方程的对应关系思考：抛物线与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的实数根，交点个数由一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：$\Delta＞0$时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。我们可以通过解方程或者计算判别式得到每个问题的结果，探究归纳部分就是对上述对应规律的总结。
【解析】
问题1
解方程$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$，因此抛物线$y=x^2+x-2$与x轴有2个公共点，横坐标为$-2、1$，x取公共点横坐标时函数值为0，对应方程有两个不相等的实数根$x_1=-2,x_2=1$。
问题2
解方程$x^2-6x+9=0$，因式分解得$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$，因此抛物线$y=x^2-6x+9$与x轴有1个公共点，横坐标为3，$x=3$时函数值为0，对应方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=3$。
问题3
计算方程$x^2-x+1=0$的判别式：$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，因此方程无实数根，对应抛物线$y=x^2-x+1$与x轴没有公共点。
探究归纳
1. 若抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴公共点横坐标为$x_0$，则$x=x_0$时函数值为0，因此$x=x_0$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根。
2. 二次函数图象与x轴位置关系和方程根的对应规律为：抛物线与x轴有2个公共点对应方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有1个公共点对应方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴没有公共点对应方程没有实数根。
【答案】
问题1:2 $-2,1$ 0 $x_1=-2,x_2=1$
问题2:1 3 3 相等 $x_1=x_2=3$
问题3:没有 没有
探究归纳
1.0 $x_0$
2.2 两个不相等 1 两个相等 没有
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础概念应用题，通过具体的二次函数图象探究，梳理了二次函数和对应一元二次方程根的关联，渗透了数形结合的思想，是二次函数章节的核心基础内容，熟练掌握该对应关系可解决同类图象与方程结合的问题。
【难度系数】
0.85