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例 如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于点O中心对称,下列说法中错误的是 (
A.$AD// EF$,$AB// GF$
B.$BO=GO$
C.$CD=HE$,$BC=GH$
D.$DO=HO$
分析:∵ AD与EF关于点O中心对称,
∴ $AD// EF$.同理可得$AB// GF$.
∴ A正确.
∵ 点B与点G关于点O中心对称,
∴ $BO=GO$.
∴ B正确.
∵ CD与HE关于点O中心对称,
∴ $CD=HE$.同理可得$BC=GH$.
∴ C正确.
∵ 点D与点E关于点O中心对称,
∴ $DO=EO$.
∴ D错误.
答案:D
D
)A.$AD// EF$,$AB// GF$
B.$BO=GO$
C.$CD=HE$,$BC=GH$
D.$DO=HO$
分析:∵ AD与EF关于点O中心对称,
∴ $AD// EF$.同理可得$AB// GF$.
∴ A正确.
∵ 点B与点G关于点O中心对称,
∴ $BO=GO$.
∴ B正确.
∵ CD与HE关于点O中心对称,
∴ $CD=HE$.同理可得$BC=GH$.
∴ C正确.
∵ 点D与点E关于点O中心对称,
∴ $DO=EO$.
∴ D错误.
答案:D
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或共线）且相等。解题步骤为：第一步先确定两个四边形的对应顶点，第二步结合中心对称的性质逐一验证四个选项的正误，即可找到错误说法。
【解析】
已知四边形ABCD与四边形FGHE关于点O中心对称，首先确定对应顶点：A与F对应，B与G对应，C与H对应，D与E对应。结合中心对称性质分析选项：
选项A：AD与EF是对应线段，因此$AD// EF$；AB与GF是对应线段，因此$AB// GF$，该说法正确。
选项B：B和G是对称点，对称点到对称中心的距离相等，因此$BO=GO$，该说法正确。
选项C：CD与HE是对应线段，因此$CD=HE$；BC与GH是对应线段，因此$BC=GH$，该说法正确。
选项D：D的对称点是E，因此$DO=EO$，而非$DO=HO$，该说法错误。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题，解题的关键是准确识别成中心对称的两个图形的对应顶点，再结合性质逐一排查选项，熟练掌握中心对称的性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或共线）且相等。解题步骤为：第一步先确定两个四边形的对应顶点，第二步结合中心对称的性质逐一验证四个选项的正误，即可找到错误说法。
【解析】
已知四边形ABCD与四边形FGHE关于点O中心对称，首先确定对应顶点：A与F对应，B与G对应，C与H对应，D与E对应。结合中心对称性质分析选项：
选项A：AD与EF是对应线段，因此$AD// EF$；AB与GF是对应线段，因此$AB// GF$，该说法正确。
选项B：B和G是对称点，对称点到对称中心的距离相等，因此$BO=GO$，该说法正确。
选项C：CD与HE是对应线段，因此$CD=HE$；BC与GH是对应线段，因此$BC=GH$，该说法正确。
选项D：D的对称点是E，因此$DO=EO$，而非$DO=HO$，该说法错误。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题，解题的关键是准确识别成中心对称的两个图形的对应顶点，再结合性质逐一排查选项，熟练掌握中心对称的性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,EC平分∠BED.
(1)试判断△BEC是否为等腰三角形,请说明理由.
(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的长.
(3)在原图中画△FCE,使它与△BEC关于CE的中点O中心对称,此时四边形BCFE是什么形状,请说明理由.
(4)在(3)的条件下,若$DE=2,CE=2\sqrt{5},$请直接写出BF的长.
(1)试判断△BEC是否为等腰三角形,请说明理由.
(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的长.
(3)在原图中画△FCE,使它与△BEC关于CE的中点O中心对称,此时四边形BCFE是什么形状,请说明理由.
(4)在(3)的条件下,若$DE=2,CE=2\sqrt{5},$请直接写出BF的长.
答案
(1)△BEC是等腰三角形.
理由:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠DEC=∠BCE.
∵ EC平分∠BED,
∴ ∠DEC=∠BEC.
∴ ∠BEC=∠BCE.
∴ BE=BC.
∴ △BEC是等腰三角形.
(2)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
∴ ∠ABE+∠AEB=90°.
∵ ∠ABE=45°,
∴ ∠AEB=45°.
∴ ∠AEB=∠ABE.
∴ AB=AE=1.
∴ BE=√(AB²+AE²)=√2.
∵ BE=BC,
∴ BC=√2.
(3)如图,△FCE即为所求.此时四边形BCFE是菱形.
理由:
∵ △FCE与△BEC关于CE的中点O中心对称,
∴ BC=FE,BE=FC.
∴ 四边形BCFE是平行四边形.
又 BC=BE,
∴ 四边形BCFE是菱形.
(4)BF=4√5.
解析
【分析】
(1) 要判断△BEC是否为等腰三角形，可通过证明两角相等推导两边相等：先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义推出∠BEC=∠BCE，即可通过等角对等边证得结论。
(2) 已知∠ABE=45°，结合矩形内角为直角的性质，可推出△ABE为等腰直角三角形，先通过勾股定理求出BE的长度，再结合第(1)问BE=BC的结论，即可求出BC的长。
(3) 画中心对称图形时，根据中心对称的性质，连接BO并延长到F，使OF=OB，连接EF、CF即可得到△FCE；再根据中心对称的性质得到四边形两组对边分别相等，证得其为平行四边形，最后结合邻边相等的平行四边形是菱形，即可判断四边形的形状。
(4) 先在Rt△CDE中用勾股定理求出CD的长度，再设BC为未知数，结合BE=BC的结论，在Rt△ABE中用勾股定理求出BC即菱形的边长，最后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出BF的长度。
【解析】
(1) △BEC是等腰三角形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEC=∠BCE，
∵ EC平分∠BED，
∴ ∠DEC=∠BEC，
∴ ∠BEC=∠BCE，
∴ BE=BC，
∴ △BEC是等腰三角形。
(2)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°，
∴ ∠ABE+∠AEB=90°，
∵ ∠ABE=45°，
∴ ∠AEB=45°，
∴ ∠AEB=∠ABE，
∴ AB=AE=1，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
由(1)知BE=BC，
∴ $BC=\sqrt{2}$。
(3) 作图：连接BO并延长至F，使OF=OB，连接EF、CF，△FCE即为所求，此时四边形BCFE是菱形，理由如下：
∵ △FCE与△BEC关于CE的中点O中心对称，
∴ BC=FE，BE=FC，
∴ 四边形BCFE是平行四边形，
又
∵ 由(1)得BC=BE，
∴ 平行四边形BCFE是菱形。
(4) 在Rt△CDE中，∠D=90°，DE=2，$CE=2\sqrt{5}$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{16}=4$，
设BC=x，则BE=BC=x，AD=BC=x，
∴ AE=AD-DE=x-2，
在Rt△ABE中，AB=CD=4，由勾股定理得$AB^2+AE^2=BE^2$，
即$4^2+(x-2)^2=x^2$，解得x=5，即BC=5，
∵ 四边形BCFE是菱形，
∴ CE⊥BF，$OC=\frac{1}{2}CE=\sqrt{5}$，$OB=\frac{1}{2}BF$，
在Rt△BOC中，$OB=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$，
∴ $BF=2OB=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1)△BEC是等腰三角形.
理由:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠DEC=∠BCE.
∵ EC平分∠BED,
∴ ∠DEC=∠BEC.
∴ ∠BEC=∠BCE.
∴ BE=BC.
∴ △BEC是等腰三角形.
(2)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
∴ ∠ABE+∠AEB=90°.
∵ ∠ABE=45°,
∴ ∠AEB=45°.
∴ ∠AEB=∠ABE.
∴ AB=AE=1.
∴ BE=√(AB²+AE²)=√2.
∵ BE=BC,
∴ BC=√2.
(3)如图,△FCE即为所求.此时四边形BCFE是菱形.
理由:
∵ △FCE与△BEC关于CE的中点O中心对称,
∴ BC=FE,BE=FC.
∴ 四边形BCFE是平行四边形.
又 BC=BE,
∴ 四边形BCFE是菱形.
(4)BF=4√5.
【知识点】
矩形的性质、中心对称的性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查了多种几何图形的性质与判定，难度梯度设置合理，既考查了基础几何性质的应用，也锻炼了作图能力和逻辑推理能力，有助于巩固几何图形的相关基础知识。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△BEC是否为等腰三角形，可通过证明两角相等推导两边相等：先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义推出∠BEC=∠BCE，即可通过等角对等边证得结论。
(2) 已知∠ABE=45°，结合矩形内角为直角的性质，可推出△ABE为等腰直角三角形，先通过勾股定理求出BE的长度，再结合第(1)问BE=BC的结论，即可求出BC的长。
(3) 画中心对称图形时，根据中心对称的性质，连接BO并延长到F，使OF=OB，连接EF、CF即可得到△FCE；再根据中心对称的性质得到四边形两组对边分别相等，证得其为平行四边形，最后结合邻边相等的平行四边形是菱形，即可判断四边形的形状。
(4) 先在Rt△CDE中用勾股定理求出CD的长度，再设BC为未知数，结合BE=BC的结论，在Rt△ABE中用勾股定理求出BC即菱形的边长，最后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出BF的长度。
【解析】
(1) △BEC是等腰三角形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEC=∠BCE，
∵ EC平分∠BED，
∴ ∠DEC=∠BEC，
∴ ∠BEC=∠BCE，
∴ BE=BC，
∴ △BEC是等腰三角形。
(2)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°，
∴ ∠ABE+∠AEB=90°，
∵ ∠ABE=45°，
∴ ∠AEB=45°，
∴ ∠AEB=∠ABE，
∴ AB=AE=1，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
由(1)知BE=BC，
∴ $BC=\sqrt{2}$。
(3) 作图：连接BO并延长至F，使OF=OB，连接EF、CF，△FCE即为所求，此时四边形BCFE是菱形，理由如下：
∵ △FCE与△BEC关于CE的中点O中心对称，
∴ BC=FE，BE=FC，
∴ 四边形BCFE是平行四边形，
又
∵ 由(1)得BC=BE，
∴ 平行四边形BCFE是菱形。
(4) 在Rt△CDE中，∠D=90°，DE=2，$CE=2\sqrt{5}$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{16}=4$，
设BC=x，则BE=BC=x，AD=BC=x，
∴ AE=AD-DE=x-2，
在Rt△ABE中，AB=CD=4，由勾股定理得$AB^2+AE^2=BE^2$，
即$4^2+(x-2)^2=x^2$，解得x=5，即BC=5，
∵ 四边形BCFE是菱形，
∴ CE⊥BF，$OC=\frac{1}{2}CE=\sqrt{5}$，$OB=\frac{1}{2}BF$，
在Rt△BOC中，$OB=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$，
∴ $BF=2OB=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1)△BEC是等腰三角形.
理由:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠DEC=∠BCE.
∵ EC平分∠BED,
∴ ∠DEC=∠BEC.
∴ ∠BEC=∠BCE.
∴ BE=BC.
∴ △BEC是等腰三角形.
(2)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
∴ ∠ABE+∠AEB=90°.
∵ ∠ABE=45°,
∴ ∠AEB=45°.
∴ ∠AEB=∠ABE.
∴ AB=AE=1.
∴ BE=√(AB²+AE²)=√2.
∵ BE=BC,
∴ BC=√2.
(3)如图,△FCE即为所求.此时四边形BCFE是菱形.
理由:
∵ △FCE与△BEC关于CE的中点O中心对称,
∴ BC=FE,BE=FC.
∴ 四边形BCFE是平行四边形.
又 BC=BE,
∴ 四边形BCFE是菱形.
(4)BF=4√5.
【知识点】
矩形的性质、中心对称的性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查了多种几何图形的性质与判定，难度梯度设置合理，既考查了基础几何性质的应用，也锻炼了作图能力和逻辑推理能力，有助于巩固几何图形的相关基础知识。
【难度系数】
0.7
