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8. 如图,将$△ ABC$绕点$C$旋转$180°$后得到$△ DEC$,过点$A$作$AF// BC$交$DE$的延长线于点$F$,试问:$∠ B$与$∠ F$相等吗?为什么?
答案
8.$∠ B$与$∠ F$相等.理由如下:
$\because \quad$ 将$△ ABC$绕点$C$旋转$180°$后得到$△ DEC$,
$\therefore \quad ∠B=∠DEC,B,C,E$三点在同一条直线上.
$\because \quad AF// BC,$
$\therefore \quad ∠F=∠DEC.$
$\therefore \quad ∠B=∠F.$
$\because \quad$ 将$△ ABC$绕点$C$旋转$180°$后得到$△ DEC$,
$\therefore \quad ∠B=∠DEC,B,C,E$三点在同一条直线上.
$\because \quad AF// BC,$
$\therefore \quad ∠F=∠DEC.$
$\therefore \quad ∠B=∠F.$
解析
【分析】
要判断∠B与∠F是否相等，可通过中间角等量代换推导：首先看到△ABC绕点C旋转180°得到△DEC，属于中心对称变换，根据中心对称性质可得对应角∠B=∠DEC，且对应点B、E的连线经过旋转中心C，即B、C、E三点共线；再结合AF//BC的条件，利用平行线的性质可得∠F与∠DEC相等；最后通过等量代换即可得出∠B和∠F的关系。
【解析】
∠B与∠F相等，理由如下：
∵ 将△ABC绕点C旋转180°后得到△DEC，
∴ ∠B=∠DEC，B、C、E三点在同一条直线上。
∵ AF//BC，
∴ ∠F=∠DEC。
∴ ∠B=∠F。
【答案】
∠B与∠F相等，理由如下：
∵ 将△ABC绕点C旋转180°后得到△DEC，
∴ ∠B=∠DEC，B、C、E三点在同一条直线上。
∵ AF//BC，
∴ ∠F=∠DEC。
∴ ∠B=∠F。
【知识点】
中心对称的性质、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题思路清晰直接，核心是从旋转180°的条件中挖掘出对应角相等、三点共线的隐含信息，再结合平行线的性质完成等量代换即可得证。
【难度系数】
0.8
要判断∠B与∠F是否相等，可通过中间角等量代换推导：首先看到△ABC绕点C旋转180°得到△DEC，属于中心对称变换，根据中心对称性质可得对应角∠B=∠DEC，且对应点B、E的连线经过旋转中心C，即B、C、E三点共线；再结合AF//BC的条件，利用平行线的性质可得∠F与∠DEC相等；最后通过等量代换即可得出∠B和∠F的关系。
【解析】
∠B与∠F相等，理由如下：
∵ 将△ABC绕点C旋转180°后得到△DEC，
∴ ∠B=∠DEC，B、C、E三点在同一条直线上。
∵ AF//BC，
∴ ∠F=∠DEC。
∴ ∠B=∠F。
【答案】
∠B与∠F相等，理由如下：
∵ 将△ABC绕点C旋转180°后得到△DEC，
∴ ∠B=∠DEC，B、C、E三点在同一条直线上。
∵ AF//BC，
∴ ∠F=∠DEC。
∴ ∠B=∠F。
【知识点】
中心对称的性质、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题思路清晰直接，核心是从旋转180°的条件中挖掘出对应角相等、三点共线的隐含信息，再结合平行线的性质完成等量代换即可得证。
【难度系数】
0.8
9. 如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,$Rt△ ABC$的三个顶点$A(-2,2)$,$B(0,5)$,$C(0,2)$.
(1)将$△ ABC$以点$C$为旋转中心旋转$180°$得到$△ A_1B_1C$,请画出$△ A_1B_1C$的图形;
(2)平移$△ ABC$,使点$A$的对应点$A_2$的坐标为$(2,-6)$,请画出平移后对应的$△ A_2B_2C_2$的图形;
(3)若将$△ A_1B_1C$绕某一点旋转可得到$△ A_2B_2C_2$,请直接写出旋转中心的坐标.
(1)将$△ ABC$以点$C$为旋转中心旋转$180°$得到$△ A_1B_1C$,请画出$△ A_1B_1C$的图形;
(2)平移$△ ABC$,使点$A$的对应点$A_2$的坐标为$(2,-6)$,请画出平移后对应的$△ A_2B_2C_2$的图形;
(3)若将$△ A_1B_1C$绕某一点旋转可得到$△ A_2B_2C_2$,请直接写出旋转中心的坐标.
答案
9.(1)如图,$△ A_1B_1C$即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(3)旋转中心的坐标为$(2,-2).$
解析
【分析】
(1) 要画以C为旋转中心旋转180°后的△A₁B₁C，需利用中心对称的性质：旋转中心是对应点连线的中点，先求出A、B两点绕C旋转180°后的对应点A₁、B₁的坐标，再描点连线即可。
(2) 平移△ABC时，先根据点A和对应点A₂的坐标变化确定平移规则，再按照该规则求出B、C的对应点B₂、C₂的坐标，最后描点连线得到平移后的图形。
(3) 确定旋转中心时，利用旋转的性质：旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点，本题中△A₁B₁C和△A₂B₂C₂成中心对称，对应点连线的中点即为旋转中心。
【解析】
(1) 已知旋转中心为C(0,2)，点$(x,y)$绕点C旋转180°后的对应点坐标为$(-x,4-y)$。
将A(-2,2)代入得A₁坐标为$(2,2)$，将B(0,5)代入得B₁坐标为$(0,-1)$，点C的对应点仍为C(0,2)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C三点，顺次连接，即得到△A₁B₁C。
(2) 由A(-2,2)平移后得到A₂(2,-6)，可得平移规则为：横坐标加4，纵坐标减8，即向右平移4个单位长度，向下平移8个单位长度。
按照平移规则计算：B(0,5)的对应点B₂坐标为$(0+4,5-8)=(4,-3)$，C(0,2)的对应点C₂坐标为$(0+4,2-8)=(4,-6)$。
在坐标系中描出A₂(2,-6)、B₂(4,-3)、C₂(4,-6)三点，顺次连接，即得到△A₂B₂C₂。
(3) 找两组对应点连线的中点即为旋转中心：
① A₁(2,2)与A₂(2,-6)的中点坐标为$(2,\frac{2+(-6)}{2})=(2,-2)$；
② B₁(0,-1)与B₂(4,-3)连线的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{-1+(-3)}{2})=(2,-2)$。
两个中点重合，即旋转中心坐标为$(2,-2)$。
【答案】
(1)如图,$△ A_1B_1C$即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(3)旋转中心的坐标为$\boldsymbol{(2,-2)}$.
【知识点】
中心对称的性质，图形的平移变换，旋转中心的确定
【点评】
本题综合考查了图形的旋转变换、平移变换的作图及旋转中心的求解，解题的核心是熟练掌握平移、中心对称的坐标变化规律，能灵活运用旋转的性质解决问题，是平面直角坐标系中图形变换的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要画以C为旋转中心旋转180°后的△A₁B₁C，需利用中心对称的性质：旋转中心是对应点连线的中点，先求出A、B两点绕C旋转180°后的对应点A₁、B₁的坐标，再描点连线即可。
(2) 平移△ABC时，先根据点A和对应点A₂的坐标变化确定平移规则，再按照该规则求出B、C的对应点B₂、C₂的坐标，最后描点连线得到平移后的图形。
(3) 确定旋转中心时，利用旋转的性质：旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点，本题中△A₁B₁C和△A₂B₂C₂成中心对称，对应点连线的中点即为旋转中心。
【解析】
(1) 已知旋转中心为C(0,2)，点$(x,y)$绕点C旋转180°后的对应点坐标为$(-x,4-y)$。
将A(-2,2)代入得A₁坐标为$(2,2)$，将B(0,5)代入得B₁坐标为$(0,-1)$，点C的对应点仍为C(0,2)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C三点，顺次连接，即得到△A₁B₁C。
(2) 由A(-2,2)平移后得到A₂(2,-6)，可得平移规则为：横坐标加4，纵坐标减8，即向右平移4个单位长度，向下平移8个单位长度。
按照平移规则计算：B(0,5)的对应点B₂坐标为$(0+4,5-8)=(4,-3)$，C(0,2)的对应点C₂坐标为$(0+4,2-8)=(4,-6)$。
在坐标系中描出A₂(2,-6)、B₂(4,-3)、C₂(4,-6)三点，顺次连接，即得到△A₂B₂C₂。
(3) 找两组对应点连线的中点即为旋转中心：
① A₁(2,2)与A₂(2,-6)的中点坐标为$(2,\frac{2+(-6)}{2})=(2,-2)$；
② B₁(0,-1)与B₂(4,-3)连线的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{-1+(-3)}{2})=(2,-2)$。
两个中点重合，即旋转中心坐标为$(2,-2)$。
【答案】
(1)如图,$△ A_1B_1C$即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(3)旋转中心的坐标为$\boldsymbol{(2,-2)}$.
【知识点】
中心对称的性质，图形的平移变换，旋转中心的确定
【点评】
本题综合考查了图形的旋转变换、平移变换的作图及旋转中心的求解，解题的核心是熟练掌握平移、中心对称的坐标变化规律，能灵活运用旋转的性质解决问题，是平面直角坐标系中图形变换的基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 数学兴趣小组活动时,提出了如下问题:如图①,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决方法:延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD).把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8,则1＜AD＜4.
感悟:解题时,条件中若出现"中点""中线",可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
迁移应用:请参考上述解题方法,证明下列命题:
如图②,在△ABC中,D是边BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF＞EF;
(2)若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的数量关系,并加以证明.
解决方法:延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD).把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8,则1＜AD＜4.
感悟:解题时,条件中若出现"中点""中线",可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
迁移应用:请参考上述解题方法,证明下列命题:
如图②,在△ABC中,D是边BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF＞EF;
(2)若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的数量关系,并加以证明.
答案
10.(1)如图,延长$FD$到点$G$,使得$DG=DF$,连接$BG,EG.$
$\because \quad D$是边$BC$的中点,
$\therefore \quad CD=BD.$
又$\quad ∠CDF=∠BDG,$
$\therefore \quad △ CDF ≌ △ BDG.$
$\therefore \quad CF=BG.$
$\because \quad DE⊥DF,DF=DG,$
$\therefore \quad ED$垂直平分$FG.$
$\therefore \quad EF=EG.$
在$△ BEG$中,$BE+BG＞EG,$
$\therefore \quad BE+CF＞EF.$
(2)$BE^2+CF^2=EF^2.$
证明:$\because \quad ∠A=90°,$
$\therefore \quad ∠EBC+∠FCD=90°.$
由(1)知,$EF=EG,△ CDF ≌ △ BDG.$
$\therefore \quad ∠FCD=∠GBD,CF=BG.$
$\therefore \quad ∠EBC+∠GBD=90°$,即$∠EBG=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ EBG$中,$BE^2+BG^2=EG^2,$
$\therefore \quad BE^2+CF^2=EF^2.$
解析
【分析】
本题可参考题目给出的“遇中点构造中心对称图形”的思路解题：
(1)要证明BE+CF＞EF，需将三条分散的线段转化到同一个三角形中，结合三角形三边关系求证。已知D是BC中点，可延长FD到G使DG=DF，构造△CDF与△BDG全等，将CF转化为BG；再结合DE⊥DF可得ED是FG的垂直平分线，进而得到EF=EG，此时BE、BG、EG均在△BEG中，即可利用三边关系完成证明。
(2)当∠A=90°时，可得△ABC中∠ABC+∠ACB=90°，结合(1)的全等结论可推出∠EBG=90°，在Rt△EBG中利用勾股定理，代入等量线段即可得到BE、CF、EF的数量关系。
【解析】
(1) 如图，延长$FD$到点$G$，使得$DG=DF$，连接$BG,EG.$
$\because \quad D$是边$BC$的中点,
$\therefore \quad CD=BD.$
又$\quad ∠CDF=∠BDG,$
$\therefore \quad △ CDF ≌ △ BDG.$
$\therefore \quad CF=BG.$
$\because \quad DE⊥DF,DF=DG,$
$\therefore \quad ED$垂直平分$FG.$
$\therefore \quad EF=EG.$
在$△ BEG$中,$BE+BG＞EG,$
$\therefore \quad BE+CF＞EF.$
(2) 线段$BE,CF,EF$的数量关系为$BE^2+CF^2=EF^2$，证明如下：
$\because \quad ∠A=90°,$
$\therefore \quad ∠EBC+∠FCD=90°.$
由(1)知,$EF=EG,△ CDF ≌ △ BDG.$
$\therefore \quad ∠FCD=∠GBD,CF=BG.$
$\therefore \quad ∠EBC+∠GBD=90°$,即$∠EBG=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ EBG$中,$BE^2+BG^2=EG^2,$
$\therefore \quad BE^2+CF^2=EF^2.$
【答案】
(1) 证明如上，$BE+CF＞EF$成立；
(2) $BE^2+CF^2=EF^2$，证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理
【点评】
本题属于中点类几何典型题型，核心解题方法是通过构造中心对称全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一个三角形中求解，体现了转化的数学思想，掌握“遇中点构造倍长线段证全等”的技巧可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
本题可参考题目给出的“遇中点构造中心对称图形”的思路解题：
(1)要证明BE+CF＞EF，需将三条分散的线段转化到同一个三角形中，结合三角形三边关系求证。已知D是BC中点，可延长FD到G使DG=DF，构造△CDF与△BDG全等，将CF转化为BG；再结合DE⊥DF可得ED是FG的垂直平分线，进而得到EF=EG，此时BE、BG、EG均在△BEG中，即可利用三边关系完成证明。
(2)当∠A=90°时，可得△ABC中∠ABC+∠ACB=90°，结合(1)的全等结论可推出∠EBG=90°，在Rt△EBG中利用勾股定理，代入等量线段即可得到BE、CF、EF的数量关系。
【解析】
(1) 如图，延长$FD$到点$G$，使得$DG=DF$，连接$BG,EG.$
$\because \quad D$是边$BC$的中点,
$\therefore \quad CD=BD.$
又$\quad ∠CDF=∠BDG,$
$\therefore \quad △ CDF ≌ △ BDG.$
$\therefore \quad CF=BG.$
$\because \quad DE⊥DF,DF=DG,$
$\therefore \quad ED$垂直平分$FG.$
$\therefore \quad EF=EG.$
在$△ BEG$中,$BE+BG＞EG,$
$\therefore \quad BE+CF＞EF.$
(2) 线段$BE,CF,EF$的数量关系为$BE^2+CF^2=EF^2$，证明如下：
$\because \quad ∠A=90°,$
$\therefore \quad ∠EBC+∠FCD=90°.$
由(1)知,$EF=EG,△ CDF ≌ △ BDG.$
$\therefore \quad ∠FCD=∠GBD,CF=BG.$
$\therefore \quad ∠EBC+∠GBD=90°$,即$∠EBG=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ EBG$中,$BE^2+BG^2=EG^2,$
$\therefore \quad BE^2+CF^2=EF^2.$
【答案】
(1) 证明如上，$BE+CF＞EF$成立；
(2) $BE^2+CF^2=EF^2$，证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理
【点评】
本题属于中点类几何典型题型，核心解题方法是通过构造中心对称全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一个三角形中求解，体现了转化的数学思想，掌握“遇中点构造倍长线段证全等”的技巧可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
