知识梳理
知识点 因式分解法解一元二次方程
1. 因式分解法的定义:先,使方程化为的形式,再使这两个一次式分别等于,从而实现.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
2. 因式分解法的理论依据:两个因式的积等于0,则这两个因式中至少有一个等于0.用式子表示为:若$a· b=0$,则.
3. 因式分解的方法:.
4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤

重点提示
在解方程时,一定要注意不能把方程两边同时除以一个含有未知数的式子,否则可能丢失原方程的根.

1. 分解因式 两个一次式的乘积等于0 0 降次
2. $a=0$或$b=0$
3. 提公因式法、公式法(平方差公式或完全平方公式)

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础概念，可结合对应知识点逐个填空：
1. 回忆因式分解法的定义逻辑：解一元二次方程时先对左侧式子分解因式，把方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再令两个一次式分别等于0，即可将二次方程转化为一次方程，实现降次求解，对应填第一部分的空；
2. 结合0的乘法性质：两个数的乘积为0时，至少有一个乘数为0，对应填第二部分的空；
3. 回忆初中阶段常用的因式分解方法，对应填第三部分的空。
【解析】
1. 按照因式分解法的定义：先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
2. 根据乘积为0的性质：若$a·b=0$，则$a=0$或$b=0$。
3. 初中阶段常用的因式分解方法为提公因式法、公式法（平方差公式或完全平方公式）。
【答案】
1. 分解因式 两个一次式的乘积等于0 0 降次
2. $a=0$或$b=0$
3. 提公因式法、公式法(平方差公式或完全平方公式)
【知识点】
1. 因式分解法定义
2. 因式分解的方法
3. 零乘积性质
【点评】
本题是基础识记类题目，是使用因式分解法求解一元二次方程的基础，熟练掌握相关概念才能灵活运用该方法解方程。
【难度系数】
0.9

例 用因式分解法解一元二次方程：
(1)$3(x-3)=(x-3)^2$；
(2)$(2x+3)^2=24x$.
解:(1)方程变形,得$3(x-3)-(x-3)^2=0$.
分解因式,得$(x-3)(3-x+3)=0$.
解得$x_1=3,x_2=6$.
(2)方程整理,得$4x^2-12x+9=0$.
分解因式,得$(2x-3)^2=0$.
解得$x_1=x_2=\frac{3}{2}$.
方法点拨 本题按照用因式分解法解一元二次方程的一般步骤来解即可.注意:方程两边不能轻易除以含有未知数的公因式,这样会使方程丢根,应利用因式分解法中的提公因式法或公式法求解.

解：
(1) 方程变形，得$3(x-3)-(x-3)^2=0$.
分解因式，得$(x-3)(3-x+3)=0$.
即$(x-3)(6-x)=0$.
$\therefore x-3=0$ 或 $6-x=0$.
解得$x_1=3$，$x_2=6$.
(2) 方程整理，得$4x^2-12x+9=0$.
分解因式，得$(2x-3)^2=0$.
$\therefore 2x-3=0$.
解得$x_1=x_2=\frac{3}{2}$.

【分析】
解这两个一元二次方程均采用因式分解法，解题思路如下：(1)观察到方程两边都含有公因式$(x-3)$，注意不能直接给方程两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个根，正确做法是先移项，把所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-3)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别令每个因式等于0求解即可。(2)先将等号左侧的完全平方式展开，再移项合并同类项整理为一元二次方程的一般形式，观察可知整理后的方程左侧符合完全平方差公式的结构，直接因式分解为完全平方式等于0的形式，再求解即可。
【解析】
(1) 方程变形，得$3(x-3)-(x-3)^2=0$。
分解因式，得$(x-3)(3-x+3)=0$。
即$(x-3)(6-x)=0$。
$\therefore x-3=0$ 或 $6-x=0$。
解得$x_1=3$，$x_2=6$。
(2) 方程整理，得$4x^2-12x+9=0$。
分解因式，得$(2x-3)^2=0$。
$\therefore 2x-3=0$。
解得$x_1=x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=6$；(2) $x_1=x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时要注意不能随意给方程两边除以含未知数的整式，避免出现丢根的问题，熟练掌握提公因式、完全平方公式等因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.75