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7.已知关于x的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，若$△ ABC$的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当$△ ABC$是等腰三角形时，k的值为（
A.3或4
B.4或5
C.5
D.4
B
）A.3或4
B.4或5
C.5
D.4
答案
7.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先求解一元二次方程，得到AB、AC对应的两个根的表达式；2. 结合等腰三角形两边相等的性质，分情况讨论哪两条边是腰，注意AB和AC是方程的两个不等根，排除AB=AC的情况；3. 对每种情况求出k值后，验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$
对左侧因式分解可得：
$\begin{aligned}x^2-(2k+1)x+k(k+1)&=0\\(x-k)[x-(k+1)]&=0\end{aligned}$
解得$x_1=k$，$x_2=k+1$，即AB、AC的长分别为k和k+1，显然$k≠k+1$，故AB≠AC。
第二步：结合等腰三角形性质分情况讨论
已知BC=5，△ABC为等腰三角形，分两种情况：
① 若腰长为5，即$k=5$时，三边长为5、5、6，满足$5+5＞6$，符合三角形三边关系，此时k=5；
② 若腰长为5，即$k+1=5$时，解得$k=4$，三边长为4、5、5，满足$4+5＞5$，符合三角形三边关系，此时k=4。
综上，k的值为4或5。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，解题时需注意分类讨论思想的运用，求出k值后要验证是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先求解一元二次方程，得到AB、AC对应的两个根的表达式；2. 结合等腰三角形两边相等的性质，分情况讨论哪两条边是腰，注意AB和AC是方程的两个不等根，排除AB=AC的情况；3. 对每种情况求出k值后，验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$
对左侧因式分解可得：
$\begin{aligned}x^2-(2k+1)x+k(k+1)&=0\\(x-k)[x-(k+1)]&=0\end{aligned}$
解得$x_1=k$，$x_2=k+1$，即AB、AC的长分别为k和k+1，显然$k≠k+1$，故AB≠AC。
第二步：结合等腰三角形性质分情况讨论
已知BC=5，△ABC为等腰三角形，分两种情况：
① 若腰长为5，即$k=5$时，三边长为5、5、6，满足$5+5＞6$，符合三角形三边关系，此时k=5；
② 若腰长为5，即$k+1=5$时，解得$k=4$，三边长为4、5、5，满足$4+5＞5$，符合三角形三边关系，此时k=4。
综上，k的值为4或5。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，解题时需注意分类讨论思想的运用，求出k值后要验证是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$.
(1)试判断该方程的根的情况.
(2)若该方程有一根大于0且小于1,求$k$的取值范围.
(1)试判断该方程的根的情况.
(2)若该方程有一根大于0且小于1,求$k$的取值范围.
答案
8. (1)$\because\quad a=1,b=-(k+1),c=2k-2,$
$\therefore\quad \Delta=b^2-4ac=[-(k+1)]^2-4×1×(2k-2)=k^2-6k+9=(k-3)^2≥0.$
$\therefore\quad$该方程总有两个实数根.
(2)由(1)得,$x=\dfrac{(k+1)\pm\sqrt{(k-3)^2}}{2},$
即$x_1=k-1,x_2=2.$
$\because\quad$该方程有一根大于0且小于1,
$\therefore\quad 0＜k-1＜1.\therefore\quad 1＜k＜2.$
$\therefore\quad \Delta=b^2-4ac=[-(k+1)]^2-4×1×(2k-2)=k^2-6k+9=(k-3)^2≥0.$
$\therefore\quad$该方程总有两个实数根.
(2)由(1)得,$x=\dfrac{(k+1)\pm\sqrt{(k-3)^2}}{2},$
即$x_1=k-1,x_2=2.$
$\because\quad$该方程有一根大于0且小于1,
$\therefore\quad 0＜k-1＜1.\therefore\quad 1＜k＜2.$
解析
【分析】
(1) 判断一元二次方程根的情况的核心方法是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。因此首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式化简，根据化简结果的正负性即可判断根的情况。
(2) 求参数$k$的取值范围，首先需要求出方程的两个根，结合第一问得到$\Delta$是完全平方式的结论，可直接用求根公式写出两根，其中一根为固定值2，显然不在0~1的范围内，因此只需让另一根满足$0＜x＜1$，列不等式求解即可得到$k$的范围。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(k+1)$，常数项$c=2k-2$，
代入根的判别式得：
$\Delta=b^2-4ac=[-(k+1)]^2-4×1×(2k-2)$
$=k^2+2k+1-8k+8$
$=k^2-6k+9$
$=(k-3)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(k-3)^2≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 由(1)可知$\Delta=(k-3)^2$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{(k+1)±\sqrt{(k-3)^2}}{2}$
化简可得两根为$x_1=k-1$，$x_2=2$，
∵ 方程有一根大于0且小于1，而$x_2=2$不在$(0,1)$范围内，
∴ 仅需满足$0＜k-1＜1$，
解得$1＜k＜2$。
【答案】
(1) 该方程总有两个实数根；
(2) $1＜k＜2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程求根公式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查根的判别式的应用，正确代入计算即可求解；第二问需要先求出方程的两根，结合根的范围排除不符合条件的根，再通过解不等式得到参数范围，解题关键是熟练掌握根的判别式和求根公式的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 判断一元二次方程根的情况的核心方法是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。因此首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式化简，根据化简结果的正负性即可判断根的情况。
(2) 求参数$k$的取值范围，首先需要求出方程的两个根，结合第一问得到$\Delta$是完全平方式的结论，可直接用求根公式写出两根，其中一根为固定值2，显然不在0~1的范围内，因此只需让另一根满足$0＜x＜1$，列不等式求解即可得到$k$的范围。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(k+1)$，常数项$c=2k-2$，
代入根的判别式得：
$\Delta=b^2-4ac=[-(k+1)]^2-4×1×(2k-2)$
$=k^2+2k+1-8k+8$
$=k^2-6k+9$
$=(k-3)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(k-3)^2≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 由(1)可知$\Delta=(k-3)^2$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{(k+1)±\sqrt{(k-3)^2}}{2}$
化简可得两根为$x_1=k-1$，$x_2=2$，
∵ 方程有一根大于0且小于1，而$x_2=2$不在$(0,1)$范围内，
∴ 仅需满足$0＜k-1＜1$，
解得$1＜k＜2$。
【答案】
(1) 该方程总有两个实数根；
(2) $1＜k＜2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程求根公式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查根的判别式的应用，正确代入计算即可求解；第二问需要先求出方程的两根，结合根的范围排除不符合条件的根，再通过解不等式得到参数范围，解题关键是熟练掌握根的判别式和求根公式的运用。
【难度系数】
0.7
9. 已知平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$的两个实数根.
(1)当m为何值时,平行四边形ABCD是菱形?并求出此时菱形ABCD的边长.
(2)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少?
(1)当m为何值时,平行四边形ABCD是菱形?并求出此时菱形ABCD的边长.
(2)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少?
答案
9. (1)$\because\quad$四边形$ABCD$为平行四边形,
$\therefore\quad$当$AB=AD$时,四边形$ABCD$为菱形.
$\because\quad AB,AD$的长是关于$x$的方程$x^2-mx+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$的两个实数根,
$\therefore\quad \Delta=m^2-4(\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4})=0.$
解得$m_1=m_2=1.$
此时方程为$x^2-x+\dfrac{1}{4}=0.$
解得$x_1=x_2=\dfrac{1}{2},$
即当$m$为1时,四边形$ABCD$是菱形,此时菱形$ABCD$的边长为$\dfrac{1}{2}.$
(2)把$x=2$代入$x^2-mx+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$中,得$4-2m+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0.$
解得$m=\dfrac{5}{2}.$
把$m=\dfrac{5}{2}$代入$x^2-mx+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$中,得$x^2-\dfrac{5}{2}x+1=0.$
解得$x_1=2,x_2=\dfrac{1}{2}.$
$\therefore\quad AD=\dfrac{1}{2}.$
$\because\quad$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore\quad □ ABCD$的周长是$2×(2+\dfrac{1}{2})=5.$
$\therefore\quad$当$AB=AD$时,四边形$ABCD$为菱形.
$\because\quad AB,AD$的长是关于$x$的方程$x^2-mx+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$的两个实数根,
$\therefore\quad \Delta=m^2-4(\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4})=0.$
解得$m_1=m_2=1.$
此时方程为$x^2-x+\dfrac{1}{4}=0.$
解得$x_1=x_2=\dfrac{1}{2},$
即当$m$为1时,四边形$ABCD$是菱形,此时菱形$ABCD$的边长为$\dfrac{1}{2}.$
(2)把$x=2$代入$x^2-mx+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$中,得$4-2m+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0.$
解得$m=\dfrac{5}{2}.$
把$m=\dfrac{5}{2}$代入$x^2-mx+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$中,得$x^2-\dfrac{5}{2}x+1=0.$
解得$x_1=2,x_2=\dfrac{1}{2}.$
$\therefore\quad AD=\dfrac{1}{2}.$
$\because\quad$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore\quad □ ABCD$的周长是$2×(2+\dfrac{1}{2})=5.$
解析
【分析】
(1) 菱形的判定条件是邻边相等的平行四边形为菱形，因此当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，此时对应一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式Δ=0可列方程求解m，再代入方程求出边长即可。
(2) 已知AB=2，即x=2是方程的一个根，将其代入原方程可求出m的值，再将m代回方程求出另一根AD的长度，最后根据平行四边形对边相等的性质计算周长即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 当AB=AD时，四边形ABCD为菱形。
∵ AB,AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$的两个实数根，
∴ $\Delta = m^2 - 4(\frac{m}{2} - \frac{1}{4}) = 0$，
整理得$m^2 - 2m +1=0$，解得$m_1=m_2=1$。
此时方程为$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$，
解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，
即当m为1时，四边形ABCD是菱形，此时菱形ABCD的边长为$\frac{1}{2}$。
(2) 把x=2代入$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$中，得$4 - 2m + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
把$m=\frac{5}{2}$代入$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$中，得$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$，
解得$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ▱ABCD的周长是$2×(2+\frac{1}{2})=5$。
【答案】
(1) 当m=1时，平行四边形ABCD是菱形，边长为$\frac{1}{2}$；(2) 平行四边形ABCD的周长为5
【知识点】
1. 菱形的判定与性质
2. 一元二次方程根的判别式
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题结合特殊四边形的性质与一元二次方程的知识进行考查，解题核心是将四边形的边长关系转化为一元二次方程的根的相关问题，属于基础综合题，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 菱形的判定条件是邻边相等的平行四边形为菱形，因此当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，此时对应一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式Δ=0可列方程求解m，再代入方程求出边长即可。
(2) 已知AB=2，即x=2是方程的一个根，将其代入原方程可求出m的值，再将m代回方程求出另一根AD的长度，最后根据平行四边形对边相等的性质计算周长即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 当AB=AD时，四边形ABCD为菱形。
∵ AB,AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$的两个实数根，
∴ $\Delta = m^2 - 4(\frac{m}{2} - \frac{1}{4}) = 0$，
整理得$m^2 - 2m +1=0$，解得$m_1=m_2=1$。
此时方程为$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$，
解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，
即当m为1时，四边形ABCD是菱形，此时菱形ABCD的边长为$\frac{1}{2}$。
(2) 把x=2代入$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$中，得$4 - 2m + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
把$m=\frac{5}{2}$代入$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$中，得$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$，
解得$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ▱ABCD的周长是$2×(2+\frac{1}{2})=5$。
【答案】
(1) 当m=1时，平行四边形ABCD是菱形，边长为$\frac{1}{2}$；(2) 平行四边形ABCD的周长为5
【知识点】
1. 菱形的判定与性质
2. 一元二次方程根的判别式
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题结合特殊四边形的性质与一元二次方程的知识进行考查，解题核心是将四边形的边长关系转化为一元二次方程的根的相关问题，属于基础综合题，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
10. 我们规定:对于任意实数 $a,b,c,d$,有$[a,b] * [c,d] = ac - bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2] * [5,1] = 3×5 - 2×1 =13.$
(1)求$[-4,3] * [2,-6]$的值.
(2)已知关于$x$的方程$[x,2x-1] * [mx+1,m] =0$有两个实数根,求$m$的取值范围.
(1)求$[-4,3] * [2,-6]$的值.
(2)已知关于$x$的方程$[x,2x-1] * [mx+1,m] =0$有两个实数根,求$m$的取值范围.
答案
10. (1)$[-4,3] * [2,-6] = -4×2-3×(-6)=10.$
(2)根据题意,得
$x(mx+1)-m(2x-1)=0.$
整理,得$mx^2+(1-2m)x+m=0.$
$\because\quad$关于$x$的方程$[x,2x-1] * [mx+1,m] =0$有两个实数根,
$\therefore\quad \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0,$且$m≠0.$
解得$m≤\dfrac{1}{4},$且$m≠0.$
(2)根据题意,得
$x(mx+1)-m(2x-1)=0.$
整理,得$mx^2+(1-2m)x+m=0.$
$\because\quad$关于$x$的方程$[x,2x-1] * [mx+1,m] =0$有两个实数根,
$\therefore\quad \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0,$且$m≠0.$
解得$m≤\dfrac{1}{4},$且$m≠0.$
解析
【分析】
(1) 第一问是新定义运算的直接应用，解题时只需对应找到新运算规则里$a,b,c,d$的取值，代入$ac-bd$计算即可。
(2) 第二问先根据新定义把含新运算的方程转化为常规整式方程，整理成一元二次方程的一般形式。题目说方程有两个实数根，说明该方程必须是一元二次方程（一次方程最多只有1个实数根），因此要同时满足两个条件：二次项系数不为0，根的判别式$\Delta≥0$，联立两个条件求解就能得到$m$的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$[a,b] * [c,d] = ac - bd$，代入对应数值计算：
$[-4,3] * [2,-6] = (-4)×2 - 3×(-6) = -8 + 18 = 10$
(2) 根据题意，将新运算方程转化为常规方程：
$x(mx+1) - m(2x-1) = 0$
展开并整理得：$mx^2 + (1-2m)x + m = 0$
$\because$ 方程有两个实数根，$\therefore$ 方程为一元二次方程且判别式非负，即：
$\begin{cases}m≠0 \\\Delta=(1-2m)^2 - 4· m· m ≥0\end{cases}$
解判别式不等式：
$(1-2m)^2 - 4m^2 = 1 - 4m + 4m^2 - 4m^2 = 1-4m ≥0$，解得$m≤\dfrac{1}{4}$
结合$m≠0$的条件，最终得$m≤\dfrac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{m≤\dfrac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的整式运算。求解参数范围时要注意“两个实数根”的前提是方程为一元二次方程，很容易遗漏二次项系数不为0的条件导致失分。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问是新定义运算的直接应用，解题时只需对应找到新运算规则里$a,b,c,d$的取值，代入$ac-bd$计算即可。
(2) 第二问先根据新定义把含新运算的方程转化为常规整式方程，整理成一元二次方程的一般形式。题目说方程有两个实数根，说明该方程必须是一元二次方程（一次方程最多只有1个实数根），因此要同时满足两个条件：二次项系数不为0，根的判别式$\Delta≥0$，联立两个条件求解就能得到$m$的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$[a,b] * [c,d] = ac - bd$，代入对应数值计算：
$[-4,3] * [2,-6] = (-4)×2 - 3×(-6) = -8 + 18 = 10$
(2) 根据题意，将新运算方程转化为常规方程：
$x(mx+1) - m(2x-1) = 0$
展开并整理得：$mx^2 + (1-2m)x + m = 0$
$\because$ 方程有两个实数根，$\therefore$ 方程为一元二次方程且判别式非负，即：
$\begin{cases}m≠0 \\\Delta=(1-2m)^2 - 4· m· m ≥0\end{cases}$
解判别式不等式：
$(1-2m)^2 - 4m^2 = 1 - 4m + 4m^2 - 4m^2 = 1-4m ≥0$，解得$m≤\dfrac{1}{4}$
结合$m≠0$的条件，最终得$m≤\dfrac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{m≤\dfrac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的整式运算。求解参数范围时要注意“两个实数根”的前提是方程为一元二次方程，很容易遗漏二次项系数不为0的条件导致失分。
【难度系数】
0.6
