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8. 如图,在矩形纸片ABCD上,连接AC,在边AD和BC上分别取点E和点F。
(1)尺规作图:在矩形纸片ABCD中作出菱形AECF;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)请证明(1)中的作法是正确的。
(1)尺规作图:在矩形纸片ABCD中作出菱形AECF;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)请证明(1)中的作法是正确的。
答案
8.(1)解:如图
,菱形 AECF 即为所求。(2)证明:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD//BC,
∴∠EAC=∠FCA。
∵EF 是 AC 的垂直平分线,
∴EA=EC,FA=FC,
∴∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA,
∴∠FAC=∠ECA,
∴FA//EC,
∴四边形 AECF 是平行四边形。
∵EA=EC,
∴四边形 AECF 是菱形。
解析
【分析】
(1) 作图思路：要得到菱形AECF，已知A、C为定点，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，只需作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与AD、BC的交点即为E、F，顺次连接A、E、C、F即可得到所求菱形，作图时保留垂直平分线的作图痕迹即可。
(2) 证明思路：先利用矩形对边平行的性质得到一组内错角相等，再结合垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到多组等边、等角，推导得出AF//EC，先证四边形AECF是平行四边形，再结合一组邻边相等的条件，即可证明该平行四边形为菱形。
【解析】
(1) 作线段AC的垂直平分线，分别交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE，保留作垂直平分线的圆弧痕迹，所得四边形AECF即为所求菱形。
(2) 证明过程：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAC=∠FCA。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴FA//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵EA=EC，
∴四边形AECF是菱形。
【答案】
(1) 如图，菱形 AECF 即为所求。
(2) 证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAC=∠FCA。
∵EF 是 AC 的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴FA//EC，
∴四边形 AECF 是平行四边形。
∵EA=EC，
∴四边形 AECF 是菱形。
【知识点】
1. 尺规作图（作垂直平分线）
2. 矩形的性质
3. 菱形的判定
【点评】
本题结合尺规作图和几何证明，既考查动手操作能力，也考查对矩形、菱形相关性质和判定的掌握，解题时紧扣菱形的判定条件，结合已知图形的性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：要得到菱形AECF，已知A、C为定点，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，只需作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与AD、BC的交点即为E、F，顺次连接A、E、C、F即可得到所求菱形，作图时保留垂直平分线的作图痕迹即可。
(2) 证明思路：先利用矩形对边平行的性质得到一组内错角相等，再结合垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到多组等边、等角，推导得出AF//EC，先证四边形AECF是平行四边形，再结合一组邻边相等的条件，即可证明该平行四边形为菱形。
【解析】
(1) 作线段AC的垂直平分线，分别交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE，保留作垂直平分线的圆弧痕迹，所得四边形AECF即为所求菱形。
(2) 证明过程：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAC=∠FCA。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴FA//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵EA=EC，
∴四边形AECF是菱形。
【答案】
(1) 如图
，菱形 AECF 即为所求。(2) 证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAC=∠FCA。
∵EF 是 AC 的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴FA//EC，
∴四边形 AECF 是平行四边形。
∵EA=EC，
∴四边形 AECF 是菱形。
【知识点】
1. 尺规作图（作垂直平分线）
2. 矩形的性质
3. 菱形的判定
【点评】
本题结合尺规作图和几何证明，既考查动手操作能力，也考查对矩形、菱形相关性质和判定的掌握，解题时紧扣菱形的判定条件，结合已知图形的性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
9. 如图,等腰直角三角形纸片ABC的斜边AC的中点为点D,∠B=90°,E是边AB上的一个动点,连接DE,过点D作DF⊥DE交BC于点F,当Rt△ABC的面积为10 cm²时,探究并说明四边形BEDF的面积是否变化。若面积变化,求出变化的范围;若面积不变,求出它的面积。
答案
9.解:面积不变。
如图
,连接 BD。∵等腰直角三角形纸片 ABC 的斜边 AC 的中点为点 D,∠B=90°,
∴AB=BC,BD 平分∠ABC,BD⊥AC,BD=$\frac{1}{2}AC=CD$,$∠C=\frac{180°-∠B}{2}=45°$,
∴$∠ABD=\frac{∠ABC}{2}=45°$,
∴∠ABD=∠C。
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=∠BDC=90°,
∴∠EDF-∠BDF=∠BDC-∠BDF,
∴∠BDE=∠CDF,
∴△BDE≌△CDF(ASA),
∴$S_{\mathrm{四边形}BEDF}=S_{△ BDE}+S_{△ BDF}=S_{△ CDF}+S_{△ BDF}=S_{△ BCD}$。
∵$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm^2})$,
∴四边形 BEDF 的面积不变,为 $5\ \mathrm{cm^2}$。
解析
【分析】
要判断四边形BEDF的面积是否变化，首先结合等腰直角三角形斜边中点的特征，优先连接斜边中线BD，利用等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半、平分顶角、垂直于斜边的性质，得到对应边、角的相等关系；再结合DE⊥DF、BD⊥AC的垂直条件，推导得出相等的角，证明△BDE和△CDF全等，即可将四边形BEDF的面积转化为固定的△BCD的面积，进而得到结论。
【解析】
解：四边形BEDF的面积不变，计算过程如下：
如图，连接BD。
∵等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，D是斜边AC的中点，
∴AB=BC，BD平分∠ABC，BD⊥AC，$BD=\frac{1}{2}AC=CD$，$∠C=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
∴$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=45°$，即∠ABD=∠C。
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠EDF-∠BDF=∠BDC-∠BDF，即∠BDE=∠CDF。
在△BDE和△CDF中：
$\begin{cases}∠ABD=∠C \\BD=CD \\∠BDE=∠CDF\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（ASA）。
∴$S_{四边形BEDF}=S_{△ BDE}+S_{△ BDF}=S_{△ CDF}+S_{△ BDF}=S_{△ BCD}$。
∵D是AC中点，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm^2})$，
即四边形BEDF的面积为固定值$5\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
四边形BEDF的面积不变，为$\boxed{5\ \mathrm{cm^2}}$。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题的解题关键是通过连接辅助线BD构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为规则的三角形面积，体现了转化思想在几何问题中的应用，需要熟练掌握等腰直角三角形的特殊性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
要判断四边形BEDF的面积是否变化，首先结合等腰直角三角形斜边中点的特征，优先连接斜边中线BD，利用等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半、平分顶角、垂直于斜边的性质，得到对应边、角的相等关系；再结合DE⊥DF、BD⊥AC的垂直条件，推导得出相等的角，证明△BDE和△CDF全等，即可将四边形BEDF的面积转化为固定的△BCD的面积，进而得到结论。
【解析】
解：四边形BEDF的面积不变，计算过程如下：
如图
，连接BD。∵等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，D是斜边AC的中点，
∴AB=BC，BD平分∠ABC，BD⊥AC，$BD=\frac{1}{2}AC=CD$，$∠C=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
∴$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=45°$，即∠ABD=∠C。
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠EDF-∠BDF=∠BDC-∠BDF，即∠BDE=∠CDF。
在△BDE和△CDF中：
$\begin{cases}∠ABD=∠C \\BD=CD \\∠BDE=∠CDF\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（ASA）。
∴$S_{四边形BEDF}=S_{△ BDE}+S_{△ BDF}=S_{△ CDF}+S_{△ BDF}=S_{△ BCD}$。
∵D是AC中点，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm^2})$，
即四边形BEDF的面积为固定值$5\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
四边形BEDF的面积不变，为$\boxed{5\ \mathrm{cm^2}}$。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题的解题关键是通过连接辅助线BD构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为规则的三角形面积，体现了转化思想在几何问题中的应用，需要熟练掌握等腰直角三角形的特殊性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
