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10.已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB,OC,使∠AOB=72°,∠BOC=36°,则∠AOC的度数为
108°或36°
.答案
10.$108°$或$36°$
解析
【分析】
本题未明确射线OC的位置，需分两种情况讨论求解：①当射线OC在∠AOB内部时，利用角的差计算∠AOC；②当射线OC在∠AOB外部时，利用角的和计算∠AOC，即可得到所有符合条件的结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC = ∠AOB - ∠BOC
已知∠AOB=72°，∠BOC=36°，代入得：
∠AOC = 72° - 36° = 36°
2. 当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
代入角度数计算得：
∠AOC = 72° + 36° = 108°
综上，∠AOC的度数为36°或108°。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC的位置不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时要结合图形的多种可能性全面分析。
【难度系数】
0.6
本题未明确射线OC的位置，需分两种情况讨论求解：①当射线OC在∠AOB内部时，利用角的差计算∠AOC；②当射线OC在∠AOB外部时，利用角的和计算∠AOC，即可得到所有符合条件的结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC = ∠AOB - ∠BOC
已知∠AOB=72°，∠BOC=36°，代入得：
∠AOC = 72° - 36° = 36°
2. 当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
代入角度数计算得：
∠AOC = 72° + 36° = 108°
综上，∠AOC的度数为36°或108°。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC的位置不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时要结合图形的多种可能性全面分析。
【难度系数】
0.6
11. 如图，$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$，$∠ AOD = 126°$，则$∠ BOC$的度数为 （
A.$36°$
B.$44°$
C.$54°$
D.$63°$
C
）A.$36°$
B.$44°$
C.$54°$
D.$63°$
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先梳理图中角的和差关系：首先已知∠AOD和∠AOC的度数，可先求出∠COD的度数，再结合∠BOD是直角，用∠BOD减去∠COD即可得到∠BOC的度数；也可直接利用“∠AOC+∠BOD=∠AOD+∠BOC”的和差关系代入数值计算。
【解析】
解：
∵ ∠AOD = 126°，∠AOC = 90°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算，直角的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对角的和差关系的理解与运用，解题时只要清晰区分各角的位置关系，结合已知条件逐步计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理图中角的和差关系：首先已知∠AOD和∠AOC的度数，可先求出∠COD的度数，再结合∠BOD是直角，用∠BOD减去∠COD即可得到∠BOC的度数；也可直接利用“∠AOC+∠BOD=∠AOD+∠BOC”的和差关系代入数值计算。
【解析】
解：
∵ ∠AOD = 126°，∠AOC = 90°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算，直角的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对角的和差关系的理解与运用，解题时只要清晰区分各角的位置关系，结合已知条件逐步计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
12. 下列角度中，不能用一副三角尺画出来的是（
A.$15°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$165°$
C
）A.$15°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$165°$
答案
12.C
解析
【分析】
解题时首先要明确一副三角尺包含的固定角度：30°、45°、60°、90°，用三角尺画角的本质是通过这几个角度的相加或相减得到新角度，因此能画出的角一定是15°的整数倍，接下来只需逐一验证每个选项能否通过上述角度的和差得到即可。
【解析】
一副三角尺的内角度数分别为30°、45°、60°、90°，我们通过角的和差逐一判断：
A. $45°-30°=15°$，可以用三角尺画出，不符合题意；
B. $60°+45°=105°$，可以用三角尺画出，不符合题意；
C. 125°无法通过30°、45°、60°、90°的和或差计算得到，不能用三角尺画出，符合题意；
D. $90°+45°+30°=165°$，可以用三角尺画出，不符合题意。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.三角尺的角度特征 2.角的和差运算
【点评】
本题主要考查对三角尺角度的熟悉度，解题关键是牢记三角尺的各个角度，灵活运用角的和差关系判断可画出的角，也可直接用“能画出的角都是15°的整数倍”这一规律快速筛选答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一副三角尺包含的固定角度：30°、45°、60°、90°，用三角尺画角的本质是通过这几个角度的相加或相减得到新角度，因此能画出的角一定是15°的整数倍，接下来只需逐一验证每个选项能否通过上述角度的和差得到即可。
【解析】
一副三角尺的内角度数分别为30°、45°、60°、90°，我们通过角的和差逐一判断：
A. $45°-30°=15°$，可以用三角尺画出，不符合题意；
B. $60°+45°=105°$，可以用三角尺画出，不符合题意；
C. 125°无法通过30°、45°、60°、90°的和或差计算得到，不能用三角尺画出，符合题意；
D. $90°+45°+30°=165°$，可以用三角尺画出，不符合题意。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.三角尺的角度特征 2.角的和差运算
【点评】
本题主要考查对三角尺角度的熟悉度，解题关键是牢记三角尺的各个角度，灵活运用角的和差关系判断可画出的角，也可直接用“能画出的角都是15°的整数倍”这一规律快速筛选答案。
【难度系数】
0.8
13. 如图，OD是∠AOB的平分线，∠AOC=2∠BOC，∠COD=21°20′，则∠AOB的度数为
128°
。答案
13.$128°$
解析
【分析】
解题时可通过设未知数列方程的方法简化运算：首先观察图形中角的数量关系，设较小的∠BOC为x，根据已知的倍数关系表示出∠AOC和∠AOB，再利用角平分线的性质表示出∠BOD，最后根据∠COD是∠BOD与∠BOC的差建立等式求解即可。
【解析】
设$∠ BOC=x$，
$\because ∠ AOC=2∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOC=2x$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=2x+x=3x$，
$\because OD$是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{3}{2}x$，
又$\because ∠ COD=∠ BOD-∠ BOC=21°20'$，
$\therefore \frac{3}{2}x - x=21°20'$，
即$\frac{1}{2}x=21°20'$，
解得$x=42°40'$，
$\therefore ∠ AOB=3x=3×42°40'=126°+120'=128°$。
【答案】
$128°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，通过设未知数梳理角度间的数量关系，能更清晰地结合角平分线性质和角的和差规律求解，是角的运算部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可通过设未知数列方程的方法简化运算：首先观察图形中角的数量关系，设较小的∠BOC为x，根据已知的倍数关系表示出∠AOC和∠AOB，再利用角平分线的性质表示出∠BOD，最后根据∠COD是∠BOD与∠BOC的差建立等式求解即可。
【解析】
设$∠ BOC=x$，
$\because ∠ AOC=2∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOC=2x$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=2x+x=3x$，
$\because OD$是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{3}{2}x$，
又$\because ∠ COD=∠ BOD-∠ BOC=21°20'$，
$\therefore \frac{3}{2}x - x=21°20'$，
即$\frac{1}{2}x=21°20'$，
解得$x=42°40'$，
$\therefore ∠ AOB=3x=3×42°40'=126°+120'=128°$。
【答案】
$128°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，通过设未知数梳理角度间的数量关系，能更清晰地结合角平分线性质和角的和差规律求解，是角的运算部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
14.新定义:若∠α的度数是∠β的度数的n倍,则∠α叫作∠β的n倍角.
(1)若∠M=10°21',请直接写出∠M的4倍角的度数.
(2)如图1所示,若∠AOB=∠BOC=∠COD,请直接写出图中∠COD的2倍角.
(3)如图2所示,若∠AOC是∠AOB的3倍角,∠COD是∠AOB的4倍角,且∠BOD=90°,求∠BOC的度数.
(1)若∠M=10°21',请直接写出∠M的4倍角的度数.
(2)如图1所示,若∠AOB=∠BOC=∠COD,请直接写出图中∠COD的2倍角.
(3)如图2所示,若∠AOC是∠AOB的3倍角,∠COD是∠AOB的4倍角,且∠BOD=90°,求∠BOC的度数.
答案
14. 解:(1)$∠M$的4倍角的度数为 $4×10°21'=41°24'.$
(2)$\because ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD, \therefore ∠ AOC=2∠ COD,$
$∠ BOD=2∠ COD. \therefore$ 图中$∠ COD$的2倍角有$∠ AOC,$
$∠ BOD.$
(3)$\because ∠ AOC$是$∠ AOB$的3倍角,$∠ COD$是
$∠ AOB$的4倍角,设$∠ AOB=∠α,$ 则$∠ AOC=3∠α,$
$∠ COD=4∠α, \therefore ∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=7∠α,$
$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=2∠α. \therefore ∠ BOD=∠ AOD-$
$∠ AOB=6∠α. \because ∠ BOD=90°, \therefore 6∠α=90°. \therefore ∠α=15°.$
$\therefore ∠ BOC=2∠α=30°.$
(2)$\because ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD, \therefore ∠ AOC=2∠ COD,$
$∠ BOD=2∠ COD. \therefore$ 图中$∠ COD$的2倍角有$∠ AOC,$
$∠ BOD.$
(3)$\because ∠ AOC$是$∠ AOB$的3倍角,$∠ COD$是
$∠ AOB$的4倍角,设$∠ AOB=∠α,$ 则$∠ AOC=3∠α,$
$∠ COD=4∠α, \therefore ∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=7∠α,$
$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=2∠α. \therefore ∠ BOD=∠ AOD-$
$∠ AOB=6∠α. \because ∠ BOD=90°, \therefore 6∠α=90°. \therefore ∠α=15°.$
$\therefore ∠ BOC=2∠α=30°.$
解析
【分析】
(1) 求一个角的n倍角，直接用该角的度数乘n即可，注意度分秒为60进制，计算时分满60要向度进1；
(2) 已知三个角相等，找∠COD的2倍角，就是找度数等于2个∠COD之和的角，观察图形，找两个相邻且与∠COD相等的角的和即可；
(3) 多个角存在倍数关系时，适合用设参数的方法，将最小的∠AOB设为未知数，把其余相关角都用该未知数表示，再结合已知∠BOD=90°列方程求解，最后代入计算∠BOC的度数。
【解析】
(1) 计算∠M的4倍角：
$4×10°21'=40°84'=41°24'$
(2) $\because ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD$
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=2∠ COD$，$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=2∠ COD$
即∠COD的2倍角为$∠ AOC$、$∠ BOD$。
(3) 设$∠ AOB=∠α$，
由题意得$∠ AOC=3∠α$，$∠ COD=4∠α$，
则$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=3∠α-∠α=2∠α$，
$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=2∠α+4∠α=6∠α$，
$\because ∠ BOD=90°$，
$\therefore 6∠α=90°$，解得$∠α=15°$，
$\therefore ∠ BOC=2×15°=30°$。
【答案】
(1) $41°24'$
(2) $∠ AOC$、$∠ BOD$
(3) $30°$
【知识点】
1. 度分秒运算
2. 角的和差关系
3. 方程法求角度
【点评】
本题围绕角的倍数关系展开考查，难度层层递进，前两问侧重基础概念和图形中角的和差识别，第三问通过设参数梳理角度关系列方程求解，能有效锻炼学生分析角度数量关系的能力。
【难度系数】
0.75
(1) 求一个角的n倍角，直接用该角的度数乘n即可，注意度分秒为60进制，计算时分满60要向度进1；
(2) 已知三个角相等，找∠COD的2倍角，就是找度数等于2个∠COD之和的角，观察图形，找两个相邻且与∠COD相等的角的和即可；
(3) 多个角存在倍数关系时，适合用设参数的方法，将最小的∠AOB设为未知数，把其余相关角都用该未知数表示，再结合已知∠BOD=90°列方程求解，最后代入计算∠BOC的度数。
【解析】
(1) 计算∠M的4倍角：
$4×10°21'=40°84'=41°24'$
(2) $\because ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD$
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=2∠ COD$，$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=2∠ COD$
即∠COD的2倍角为$∠ AOC$、$∠ BOD$。
(3) 设$∠ AOB=∠α$，
由题意得$∠ AOC=3∠α$，$∠ COD=4∠α$，
则$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=3∠α-∠α=2∠α$，
$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=2∠α+4∠α=6∠α$，
$\because ∠ BOD=90°$，
$\therefore 6∠α=90°$，解得$∠α=15°$，
$\therefore ∠ BOC=2×15°=30°$。
【答案】
(1) $41°24'$
(2) $∠ AOC$、$∠ BOD$
(3) $30°$
【知识点】
1. 度分秒运算
2. 角的和差关系
3. 方程法求角度
【点评】
本题围绕角的倍数关系展开考查，难度层层递进，前两问侧重基础概念和图形中角的和差识别，第三问通过设参数梳理角度关系列方程求解，能有效锻炼学生分析角度数量关系的能力。
【难度系数】
0.75
15.综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师将一张长方形纸片折叠一角，得到折痕EF，如图1，同学们发现折痕有角平分线的作用（能重合的两个角的度数相等）。
【问题解决】
(1)若∠EFA'=35°，则∠A'FB=
【实践探究】
(2)希望小组受此问题的启发，将长方形纸片按图2所示的方式折叠，EF，FG为折痕，点A'，B'，F恰好在同一条直线上，求∠EFG的度数。
【拓展延伸】
(3)智慧小组将长方形纸片按图3所示的方式折叠，DE，CE为折痕。若∠A'EB'=15°，请直接写出∠DEC的度数。
【问题情境】数学活动课上，老师将一张长方形纸片折叠一角，得到折痕EF，如图1，同学们发现折痕有角平分线的作用（能重合的两个角的度数相等）。
【问题解决】
(1)若∠EFA'=35°，则∠A'FB=
110°
。【实践探究】
(2)希望小组受此问题的启发，将长方形纸片按图2所示的方式折叠，EF，FG为折痕，点A'，B'，F恰好在同一条直线上，求∠EFG的度数。
【拓展延伸】
(3)智慧小组将长方形纸片按图3所示的方式折叠，DE，CE为折痕。若∠A'EB'=15°，请直接写出∠DEC的度数。
答案
15. 解:(1)$110°$
(2)依题意,得$∠ A'FE=∠ AFE=\frac{1}{2}∠ A'FA,$
$∠ B'FG=∠ GFB=\frac{1}{2}∠ B'FB, \therefore ∠ EFG=∠ A' FE+$
$∠ B'FG=\frac{1}{2}(∠ A'FA+∠ B'FB)=\frac{1}{2}×180°=90°.$
(3)$∠ DEC=82.5°.$
(2)依题意,得$∠ A'FE=∠ AFE=\frac{1}{2}∠ A'FA,$
$∠ B'FG=∠ GFB=\frac{1}{2}∠ B'FB, \therefore ∠ EFG=∠ A' FE+$
$∠ B'FG=\frac{1}{2}(∠ A'FA+∠ B'FB)=\frac{1}{2}×180°=90°.$
(3)$∠ DEC=82.5°.$
解析
【分析】
本题围绕长方形折叠场景，结合折叠性质、角平分线定义和平角性质求解各小问：
(1) 首先根据折叠后对应角相等，得∠EFA=∠EFA'=35°，再结合平角∠AFB=180°，用平角度数减去两个相等的角即可求出∠A'FB；
(2) 由折叠性质可知EF平分∠A'FA、FG平分∠B'FB，且∠A'FA与∠B'FB组成平角，因此∠EFG为两个角和的一半，代入平角度数计算即可；
(3) 同理可得DE平分∠AEA'、CE平分∠BEB'，平角∠AEB的度数加上重叠的∠A'EB'的度数，恰好是2倍的∠DEC，除以2即可得结果。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得$∠ EFA=∠ EFA'=35°$，
∵$∠ AFB$是平角，即$∠ AFB=180°$，
∴$∠ A'FB=180°-∠ EFA-∠ EFA'=180°-35°-35°=110°$。
(2) 依题意，根据折叠的性质得：
$∠ A'FE=∠ AFE=\frac{1}{2}∠ A'FA$，$∠ B'FG=∠ GFB=\frac{1}{2}∠ B'FB$，
∵$∠ A'FA+∠ B'FB=180°$（平角的定义），
∴$∠ EFG=∠ A'FE+∠ B'FG=\frac{1}{2}(∠ A'FA+∠ B'FB)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
(3) 由折叠的性质得：$∠ AED=∠ A'ED$，$∠ BEC=∠ B'EC$，
∴$∠ AEA'=2∠ A'ED$，$∠ BEB'=2∠ B'EC$，
∵$∠ AEA'+∠ BEB'-∠ A'EB'=180°$，$∠ A'EB'=15°$，
∴$2∠ A'ED+2∠ B'EC=180°+15°=195°$，即$∠ A'ED+∠ B'EC=97.5°$，
∴$∠ DEC=∠ A'ED+∠ B'EC-∠ A'EB'=97.5°-15°=82.5°$。
【答案】
(1)$110°$；(2)$90°$；(3)$82.5°$
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题以长方形折叠为载体考查角的计算，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合角平分线、平角的性质推导计算，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕长方形折叠场景，结合折叠性质、角平分线定义和平角性质求解各小问：
(1) 首先根据折叠后对应角相等，得∠EFA=∠EFA'=35°，再结合平角∠AFB=180°，用平角度数减去两个相等的角即可求出∠A'FB；
(2) 由折叠性质可知EF平分∠A'FA、FG平分∠B'FB，且∠A'FA与∠B'FB组成平角，因此∠EFG为两个角和的一半，代入平角度数计算即可；
(3) 同理可得DE平分∠AEA'、CE平分∠BEB'，平角∠AEB的度数加上重叠的∠A'EB'的度数，恰好是2倍的∠DEC，除以2即可得结果。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得$∠ EFA=∠ EFA'=35°$，
∵$∠ AFB$是平角，即$∠ AFB=180°$，
∴$∠ A'FB=180°-∠ EFA-∠ EFA'=180°-35°-35°=110°$。
(2) 依题意，根据折叠的性质得：
$∠ A'FE=∠ AFE=\frac{1}{2}∠ A'FA$，$∠ B'FG=∠ GFB=\frac{1}{2}∠ B'FB$，
∵$∠ A'FA+∠ B'FB=180°$（平角的定义），
∴$∠ EFG=∠ A'FE+∠ B'FG=\frac{1}{2}(∠ A'FA+∠ B'FB)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
(3) 由折叠的性质得：$∠ AED=∠ A'ED$，$∠ BEC=∠ B'EC$，
∴$∠ AEA'=2∠ A'ED$，$∠ BEB'=2∠ B'EC$，
∵$∠ AEA'+∠ BEB'-∠ A'EB'=180°$，$∠ A'EB'=15°$，
∴$2∠ A'ED+2∠ B'EC=180°+15°=195°$，即$∠ A'ED+∠ B'EC=97.5°$，
∴$∠ DEC=∠ A'ED+∠ B'EC-∠ A'EB'=97.5°-15°=82.5°$。
【答案】
(1)$110°$；(2)$90°$；(3)$82.5°$
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题以长方形折叠为载体考查角的计算，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合角平分线、平角的性质推导计算，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
