例2 一组按规律排列的数:2,-4,8,-16,32,…,则第2024个数是多少？

$-2^{2024}$

【分析】
解决这道数字规律题可以分两步思考：第一步先忽略符号，分析数的绝对值的变化规律，第二步单独分析符号的变化规律，最后结合两个规律推导第n个数的表达式，再代入n=2024计算即可。首先看绝对值：2、4、8、16、32都是2的幂，第1个数是2的1次方，第2个数是2的2次方，以此类推，第n个数的绝对值就是2的n次方。再看符号：第1个数为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负，即序号为奇数时符号为正，序号为偶数时符号为负。2024是偶数，因此第2024个数符号为负，结合绝对值就能得到结果。
【解析】
解：1. 分析绝对值规律：
第1个数的绝对值：$2 = 2^1$
第2个数的绝对值：$4 = 2^2$
第3个数的绝对值：$8 = 2^3$
……
可得第n个数的绝对值为$2^n$。
2. 分析符号规律：
序号为奇数的数是正数，序号为偶数的数是负数。
3. 计算第2024个数：
2024是偶数，因此该数符号为负，绝对值为$2^{2024}$，所以第2024个数是$-2^{2024}$。
【答案】
$-2^{2024}$
【知识点】
乘方的意义、数字规律探究、有理数符号判断
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是拆分数字的绝对值规律和符号规律分别分析，易错点是容易混淆偶数项的符号，或错将结果写成$(-2)^{2024}$，解题时注意区分即可。
【难度系数】
0.7

3. 先阅读下列算式，再回答问题.
(1) $1^2 + 2×1×2 + 2^2 = (1+2)^2$；
(2) $2^2 + 2×2×3 + 3^2 = (2+3)^2$；
(3) $3^2 + 2×3×4 + 4^2 = (3+4)^2$.
利用你发现的规律求 $8^2 + 2×8×9 + 9^2$ 的结果是.

3. 289

【分析】
首先观察给出的3个已知等式，梳理等式左右两边的结构特征：等式左边是第一个数的平方加两倍的两数乘积再加第二个数的平方，且第二个数比第一个数大1；等式右边是这两个数的和的平方。提炼出通用规律后，将所求式子对应到规律中代入计算即可，不需要分步计算每一项的值，运算更简便。
【解析】
观察已知的三个算式，可总结规律：若两个数为连续整数$a$和$a+1$，则满足$a^2 + 2× a×(a+1) + (a+1)^2=(a+a+1)^2$。
对于$8^2 + 2×8×9 + 9^2$，对应规律中$a=8$，$a+1=9$，代入得：
原式$=(8+9)^2=17^2=289$
【答案】
289
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方运算
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，主要考查观察、归纳总结的能力，只要准确提炼出算式的通用规律，代入数值认真计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8

1. $(-2)^2 + 2^2 = (\ )$

A.0
B.2
C.4
D.8

D

【分析】
解题时先明确运算顺序，本题只包含乘方和加法两类运算，按照有理数混合运算规则，先计算乘方，再计算加法。计算乘方时要牢记负数的偶次幂为正数，分别算出两个乘方项的结果后相加，就能得到最终答案。
【解析】
第一步：计算乘方项
根据乘方的定义：
$(-2)^2 = (-2) × (-2) = 4$
$2^2 = 2 × 2 = 4$
第二步：计算加法
将两个乘方的结果相加：
$4 + 4 = 8$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；有理数加法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查乘方的基本运算规则，做题时要注意负数乘方的符号判断，偶次幂结果为正，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.9

2. 下列各式的运算结果为正数的是（）

A.$-2^4 × 5$
B.$(1-2) ÷ 5$
C.$(1-2^4) × (-5)$
D.$1-(3×5)^6$

2. C

【分析】
这道题要求选出运算结果为正数的选项，解题时需先明确有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算，再结合有理数运算的符号法则，逐个判断每个选项运算结果的正负即可得到答案。
【解析】
我们按照有理数混合运算规则逐个分析选项：
A. $-2^4 × 5$：先算乘方，$2^4=16$，原式$=-16×5=-80$，结果为负数，不符合要求；
B. $(1-2) ÷ 5$：先算括号内的运算，$1-2=-1$，原式$=-1÷5=-\frac{1}{5}$，结果为负数，不符合要求；
C. $(1-2^4) × (-5)$：先算乘方$2^4=16$，再算括号内的运算$1-16=-15$，最后算乘法：$-15×(-5)=75$，结果为正数，符合要求；
D. $1-(3×5)^6$：先算括号内的运算$3×5=15$，再算乘方$15^6$是远大于1的正数，因此原式结果为负数，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；有理数符号判断
【点评】
本题属于基础题型，重点考查有理数混合运算的运算顺序与符号判定规则，解题时要注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8

3. 计算$-2^4 ÷ \dfrac{4}{9} × (-\dfrac{3}{2})^2$的结果是（）

A.$-16$
B.$-81$
C.$16$
D.$81$

3. B

【分析】
解答这道题首先要明确有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算。首先需要注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的区别，$-2^4$表示2的4次方的相反数，结果为负；$(-\frac{3}{2})^2$表示两个$-\frac{3}{2}$相乘，负负得正结果为正。算完乘方后把除法转化为乘法，再按顺序计算，同时注意符号的变化即可得到结果。
【解析】
解：按照有理数混合运算规则逐步计算：
1. 先计算乘方项：
$-2^4 = -(2×2×2×2) = -16$
$(-\dfrac{3}{2})^2 = (-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2}) = \dfrac{9}{4}$
2. 将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）：
原式$= -16 × \dfrac{9}{4} × \dfrac{9}{4}$
3. 从左到右依次计算：
$-16×\dfrac{9}{4} = -36$
$-36×\dfrac{9}{4} = -81$
因此结果为$-81$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘除运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于有理数混合运算的常规题型，易错点是容易误将$-2^4$算成$16$，或是弄错运算顺序、符号处理失误，牢记运算规则和符号判断方法即可正确作答。
【难度系数】
0.6

4.如图,按照操作步骤,若输入x的值为5,则输出的值为.

4. 97

【分析】
解题时首先要根据图中的操作步骤理清运算的先后顺序：先对输入的x做加5的运算，再将得到的和进行平方运算，最后将平方的结果减去3得到输出值。我们可以先根据运算顺序写出对应的代数式，再把x=5代入代数式，按照有理数混合运算的规则逐步计算即可。
【解析】
根据操作步骤，输出结果对应的代数式为：$\boldsymbol{(x+5)^2 - 3}$
当输入$x=5$时，代入代数式按顺序计算：
1. 先算括号内的加法：$5+5=10$
2. 再算乘方运算：$10^2=100$
3. 最后算减法运算：$100-3=97$
【答案】
97
【知识点】
有理数混合运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解运算程序的先后顺序，代入数值计算时严格遵循有理数混合运算的规则，避免因运算顺序判断错误失分。
【难度系数】
0.9

5. 计算: (1) $2×(-5)+2^2 -3÷\frac{1}{2}$;
(2) $(-2)^2 + [18 - (-3)×2]÷4$;
(3) $2×[5 + (-2)^3] - (-|-4|÷\frac{1}{2})$;
(4) $-2^3÷\frac{8}{9}×(-\frac{1}{3})^2 - (-1)^7$;
(5) $(-1)^4 - (1 - 0.5)×\frac{1}{3}×[2 - (-2)^2]$;
(6) $-1^{1018} - (1 - 0.5)×\frac{1}{3}×[2 - (-3)^2]$.

(1) -12；(2) 10；(3) 2；(4) 0；(5) $1\dfrac{1}{3}$；(6) $\dfrac{1}{6}$.

【分析】
这组题属于有理数混合运算类题目，解题严格遵循运算顺序即可：第一步先计算乘方、绝对值；第二步计算乘除，同级运算按照从左到右的顺序依次计算；第三步计算加减，有括号的优先计算括号内的运算，括号内运算也遵循上述优先级。计算时需重点注意符号判断：负数的偶次幂为正、奇次幂为负，注意区分负号是否在乘方的括号内，避免符号失误。
【解析】
(1) 先算乘方：$2^2=4$，再算乘除：$2×(-5)=-10$，$3÷\frac{1}{2}=3×2=6$，最后算加减：
原式$=-10+4-6=-12$
(2) 先算乘方：$(-2)^2=4$，再算中括号内的运算：$18-(-3)×2=18+6=24$，接着算除法：$24÷4=6$，最后算加法：
原式$=4+6=10$
(3) 先算乘方和绝对值：$(-2)^3=-8$，$|-4|=4$，再算括号内运算：$5+(-8)=-3$，再算乘除：$2×(-3)=-6$，$-(-4÷\frac{1}{2})=-(-8)=8$，最后算加减：
原式$=-6+8=2$
(4) 先算乘方：$-2^3=-8$，$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$(-1)^7=-1$，再算乘除：$-8÷\frac{8}{9}×\frac{1}{9}=-9×\frac{1}{9}=-1$，最后算加减：
原式$=-1-(-1)=-1+1=0$
(5) 先算乘方：$(-1)^4=1$，$(-2)^2=4$，再算括号内运算：$1-0.5=\frac{1}{2}$，$2-4=-2$，再算乘法：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×(-2)=-\frac{1}{3}$，最后算加减：
原式$=1-(-\frac{1}{3})=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3}$
(6) 先算乘方：$-1^{1018}=-1$，$(-3)^2=9$，再算括号内运算：$1-0.5=\frac{1}{2}$，$2-9=-7$，再算乘法：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×(-7)=-\frac{7}{6}$，最后算加减：
原式$=-1-(-\frac{7}{6})=-1+\frac{7}{6}=\frac{1}{6}$
【答案】
(1) -12；(2) 10；(3) 2；(4) 0；(5) $1\dfrac{1}{3}$；(6) $\dfrac{1}{6}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值运算
【点评】
这类题目是有理数运算的基础核心题型，解题的关键是牢记运算顺序，重点关注符号的判断，计算时仔细认真即可减少失误，熟练掌握后可以为后续代数运算打下扎实基础。
【难度系数】
0.7

6. 已知 $2+\frac{2}{3}=2^2×\frac{2}{3}$，$3+\frac{3}{8}=3^2×\frac{3}{8}$，$4+\frac{4}{15}=4^2×\frac{4}{15}$，…若 $8+\frac{a}{b}=8^2×\frac{a}{b}$（$a,b$为正整数），则 $a+b$ = 。

6. 71

【分析】
解题时先观察已知等式的结构特征，分别对比每个等式中左边的整数、分数的分子、分母三者之间的关系：首先发现等式左边的整数和分数的分子相等，再进一步计算可得分母是该整数的平方减1，总结出通用规律后，将n=8代入规律即可求出a、b的值，最后计算a+b。
【解析】
观察给出的等式，总结规律：
当等式左边的整数为n（n为大于等于2的正整数）时，分数的分子等于n，分母为$n^2 - 1$，满足：
$n + \frac{n}{n^2 - 1} = n^2 × \frac{n}{n^2 - 1}$
已知$8+\frac{a}{b}=8^2×\frac{a}{b}$，对应规律中n=8，因此：
$a = 8$
$b = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$
则$a + b = 8 + 63 = 71$
【答案】
71
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方运算；代数式求值
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，重点考查观察、归纳总结的能力，找到整数、分子、分母之间的数量关系是解题的关键，是规律类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.7