登录
视野拓展
求分式的最值问题
定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.
如$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$,
$\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\frac{(a-1)^2+2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,
则$\frac{x+1}{x-1}$和$\frac{a^2-2a+3}{a-1}$都是“和谐分式”.
(1)将“和谐分式”$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式;
(2)应用:求分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值;
(3)应用:先化简$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}$,并求$x$取什么整数时,该式的值为整数.
求分式的最值问题
定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.
如$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$,
$\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\frac{(a-1)^2+2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,
则$\frac{x+1}{x-1}$和$\frac{a^2-2a+3}{a-1}$都是“和谐分式”.
(1)将“和谐分式”$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式;
(2)应用:求分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值;
(3)应用:先化简$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}$,并求$x$取什么整数时,该式的值为整数.
答案
(1)
$\begin{aligned}\frac{x^2+6x-3}{x-1}&=\frac{x^2-2x+1+8x-4}{x-1}\\&=\frac{(x-1)^2+8x-4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8x-8+4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8(x-1)+4}{x-1}\\&=x-1+8+\frac{4}{x-1}\\&=x+7+\frac{4}{x-1}.\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x^2+5}{x^2+1}&=\frac{2x^2+2+3}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1}\\&=2+\frac{3}{x^2+1}.\end{aligned}$
$\because x^2≥0,$
$\therefore x^2+1$的最小值为1.
$\therefore \frac{3}{x^2+1}$的最大值为3.
$\therefore 2+\frac{3}{x^2+1}$的最大值为5.
$\therefore$ 分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值是5.
(3)
$\begin{aligned}\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\\&=2+\frac{2}{x+1},\end{aligned}$
当$x+1=\pm2$,或$x+1=\pm1$时,$\frac{2}{x+1}$是整数,
即当$x=1,-3,0,-2$时,$\frac{2}{x+1}$是整数.
$\because$ 分母、除式不能为0,
$\therefore x≠-1,0,1,-2.$
$\therefore$ 当$x=-3$时,该式的值为整数.
$\begin{aligned}\frac{x^2+6x-3}{x-1}&=\frac{x^2-2x+1+8x-4}{x-1}\\&=\frac{(x-1)^2+8x-4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8x-8+4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8(x-1)+4}{x-1}\\&=x-1+8+\frac{4}{x-1}\\&=x+7+\frac{4}{x-1}.\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x^2+5}{x^2+1}&=\frac{2x^2+2+3}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1}\\&=2+\frac{3}{x^2+1}.\end{aligned}$
$\because x^2≥0,$
$\therefore x^2+1$的最小值为1.
$\therefore \frac{3}{x^2+1}$的最大值为3.
$\therefore 2+\frac{3}{x^2+1}$的最大值为5.
$\therefore$ 分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值是5.
(3)
$\begin{aligned}\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\\&=2+\frac{2}{x+1},\end{aligned}$
当$x+1=\pm2$,或$x+1=\pm1$时,$\frac{2}{x+1}$是整数,
即当$x=1,-3,0,-2$时,$\frac{2}{x+1}$是整数.
$\because$ 分母、除式不能为0,
$\therefore x≠-1,0,1,-2.$
$\therefore$ 当$x=-3$时,该式的值为整数.
解析
【分析】
(1) 按照“和谐分式”的定义，需将分子凑成含有分母$(x-1)$的整式形式：先把分子$x^2+6x-3$拆成$(x-1)^2$加剩余项，再对剩余项继续凑$(x-1)$的倍数，最终拆分得到整式加分子为常数的分式即可。
(2) 先按和谐分式的拆分方法，将目标分式拆成整式加分子为常数的分式的形式，再根据$x^2≥0$的非负性，找到分母的最小值，即可得到分数部分的最大值，进而求出整个分式的最大值。
(3) 按照分式混合运算顺序：先算除法，将除法转化为乘法约分，再算减法，将结果化简为和谐分式的形式；要使式子值为整数，只需分数部分的分母是分子的因数，列出所有可能的$x$值后，再根据分式有意义的条件（分母、除式不为0）排除不符合的$x$，最终得到符合要求的整数$x$。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\frac{x^2+6x-3}{x-1}&=\frac{x^2-2x+1+8x-4}{x-1}\\&=\frac{(x-1)^2+8x-4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8x-8+4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8(x-1)+4}{x-1}\\&=x-1+8+\frac{4}{x-1}\\&=x+7+\frac{4}{x-1}.\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x^2+5}{x^2+1}&=\frac{2x^2+2+3}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1}\\&=2+\frac{3}{x^2+1}.\end{aligned}$
$\because x^2≥0,$
$\therefore x^2+1$的最小值为1.
$\therefore \frac{3}{x^2+1}$的最大值为3.
$\therefore 2+\frac{3}{x^2+1}$的最大值为5.
$\therefore$ 分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值是5.
(3)
$\begin{aligned}\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\\&=2+\frac{2}{x+1},\end{aligned}$
当$x+1=\pm2$,或$x+1=\pm1$时,$\frac{2}{x+1}$是整数,
即当$x=1,-3,0,-2$时,$\frac{2}{x+1}$是整数.
$\because$ 分母、除式不能为0,
$\therefore x≠-1,0,1,-2.$
$\therefore$ 当$x=-3$时,该式的值为整数.
【答案】
(1) $\frac{x^2+6x-3}{x-1}=x+7+\frac{4}{x-1}$
(2) 分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值为5
(3) 化简结果为$2+\frac{2}{x+1}$，当$x=-3$时，该式的值为整数
【知识点】
分式的拆分技巧；分式混合运算；分式有意义的条件
【点评】
本题以新定义“和谐分式”为背景，综合考查了分式的化简、最值求解、整数解判断等知识点，解题的核心是掌握分式凑项拆分的方法，求解整数解时需注意不要遗漏分式有意义的限制条件，避免多解错解。
【难度系数】
0.6
(1) 按照“和谐分式”的定义，需将分子凑成含有分母$(x-1)$的整式形式：先把分子$x^2+6x-3$拆成$(x-1)^2$加剩余项，再对剩余项继续凑$(x-1)$的倍数，最终拆分得到整式加分子为常数的分式即可。
(2) 先按和谐分式的拆分方法，将目标分式拆成整式加分子为常数的分式的形式，再根据$x^2≥0$的非负性，找到分母的最小值，即可得到分数部分的最大值，进而求出整个分式的最大值。
(3) 按照分式混合运算顺序：先算除法，将除法转化为乘法约分，再算减法，将结果化简为和谐分式的形式；要使式子值为整数，只需分数部分的分母是分子的因数，列出所有可能的$x$值后，再根据分式有意义的条件（分母、除式不为0）排除不符合的$x$，最终得到符合要求的整数$x$。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\frac{x^2+6x-3}{x-1}&=\frac{x^2-2x+1+8x-4}{x-1}\\&=\frac{(x-1)^2+8x-4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8x-8+4}{x-1}\\&=x-1+\frac{8(x-1)+4}{x-1}\\&=x-1+8+\frac{4}{x-1}\\&=x+7+\frac{4}{x-1}.\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x^2+5}{x^2+1}&=\frac{2x^2+2+3}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1}\\&=2+\frac{3}{x^2+1}.\end{aligned}$
$\because x^2≥0,$
$\therefore x^2+1$的最小值为1.
$\therefore \frac{3}{x^2+1}$的最大值为3.
$\therefore 2+\frac{3}{x^2+1}$的最大值为5.
$\therefore$ 分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值是5.
(3)
$\begin{aligned}\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\\&=2+\frac{2}{x+1},\end{aligned}$
当$x+1=\pm2$,或$x+1=\pm1$时,$\frac{2}{x+1}$是整数,
即当$x=1,-3,0,-2$时,$\frac{2}{x+1}$是整数.
$\because$ 分母、除式不能为0,
$\therefore x≠-1,0,1,-2.$
$\therefore$ 当$x=-3$时,该式的值为整数.
【答案】
(1) $\frac{x^2+6x-3}{x-1}=x+7+\frac{4}{x-1}$
(2) 分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值为5
(3) 化简结果为$2+\frac{2}{x+1}$，当$x=-3$时，该式的值为整数
【知识点】
分式的拆分技巧；分式混合运算；分式有意义的条件
【点评】
本题以新定义“和谐分式”为背景，综合考查了分式的化简、最值求解、整数解判断等知识点，解题的核心是掌握分式凑项拆分的方法，求解整数解时需注意不要遗漏分式有意义的限制条件，避免多解错解。
【难度系数】
0.6
1. 计算$\frac{4}{a+2} + a - 2$的结果是（
A.$1$
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$
B
）A.$1$
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$
答案
1. B
解析
【分析】
这是分式与整式的加法运算题，解题思路如下：第一步，将整式$a-2$看作分母为1的代数式，把异分母加减转化为同分母分式加减，确定公分母为$a+2$；第二步，根据分式基本性质对整式通分，再按同分母分式加法法则，分母不变、分子相加；第三步，用平方差公式化简分子，合并同类项得到结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原式变形得：
$\frac{4}{a+2} + \frac{a-2}{1}$
通分（公分母为$a+2$）得：
$=\frac{4}{a+2} + \frac{(a-2)(a+2)}{a+2}$
按照同分母分式加法法则计算：
$=\frac{4 + (a-2)(a+2)}{a+2}$
利用平方差公式展开分子的乘积项：
$=\frac{4 + a^2 - 4}{a+2}$
合并分子同类项：
$=\frac{a^2}{a+2}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，注意要将整式转化为分母为1的形式再通分，化简分子时合理运用乘法公式能简化计算，减少运算失误。
【难度系数】
0.8
这是分式与整式的加法运算题，解题思路如下：第一步，将整式$a-2$看作分母为1的代数式，把异分母加减转化为同分母分式加减，确定公分母为$a+2$；第二步，根据分式基本性质对整式通分，再按同分母分式加法法则，分母不变、分子相加；第三步，用平方差公式化简分子，合并同类项得到结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原式变形得：
$\frac{4}{a+2} + \frac{a-2}{1}$
通分（公分母为$a+2$）得：
$=\frac{4}{a+2} + \frac{(a-2)(a+2)}{a+2}$
按照同分母分式加法法则计算：
$=\frac{4 + (a-2)(a+2)}{a+2}$
利用平方差公式展开分子的乘积项：
$=\frac{4 + a^2 - 4}{a+2}$
合并分子同类项：
$=\frac{a^2}{a+2}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，注意要将整式转化为分母为1的形式再通分，化简分子时合理运用乘法公式能简化计算，减少运算失误。
【难度系数】
0.8
