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【例1】下列说法错误的是（
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
B
）A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
答案
B
解析
【分析】
这是一道圆的基础概念辨析题，解题时需逐个匹配选项对应的定义判断正误：首先回忆弦、等弧、等圆的核心定义要点，再逐一验证每个选项是否符合概念要求，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦，圆内所有弦中直径长度最长，该说法正确，不符合题意；
B. 等弧的定义是能够完全重合的两条弧，要求长度和弧度都相等，只有在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，选项未说明前提条件，该说法错误，符合题意；
C. 圆的面积由半径决定，若两个圆面积相等则半径一定相等，半径相等的圆是等圆，该说法正确，不符合题意；
D. 半径相等的两个半圆，长度相等且弧度均为180°，可以完全重合，属于等弧，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.弦与直径的定义
2.等弧的判定
3.等圆的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查对圆的易混概念的理解，尤其要注意等弧的判定不能仅看长度相等，必须满足“同圆或等圆中”的前提，能完全重合的弧才是等弧。
【难度系数】
0.7
这是一道圆的基础概念辨析题，解题时需逐个匹配选项对应的定义判断正误：首先回忆弦、等弧、等圆的核心定义要点，再逐一验证每个选项是否符合概念要求，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦，圆内所有弦中直径长度最长，该说法正确，不符合题意；
B. 等弧的定义是能够完全重合的两条弧，要求长度和弧度都相等，只有在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，选项未说明前提条件，该说法错误，符合题意；
C. 圆的面积由半径决定，若两个圆面积相等则半径一定相等，半径相等的圆是等圆，该说法正确，不符合题意；
D. 半径相等的两个半圆，长度相等且弧度均为180°，可以完全重合，属于等弧，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.弦与直径的定义
2.等弧的判定
3.等圆的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查对圆的易混概念的理解，尤其要注意等弧的判定不能仅看长度相等，必须满足“同圆或等圆中”的前提，能完全重合的弧才是等弧。
【难度系数】
0.7
练习1 下列有关圆的一些结论，其中正确的是（
A.圆内接四边形对角互补
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D.任意三点可以确定一个圆
A
）A.圆内接四边形对角互补
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D.任意三点可以确定一个圆
答案
A
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础定理的辨析，解题时需逐个核对每个选项对应的定理完整内容，重点关注定理成立的前提条件，避免因遗漏前提导致判断错误。我们逐一分析每个选项：首先回忆圆内接四边形性质、圆心角与弧的关系定理、垂径定理推论、确定圆的条件这四个知识点的完整表述，再和选项内容比对即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 根据圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补，该选项表述正确；
B. 只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，选项缺少“同圆或等圆”的前提，表述错误；
C. 平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，选项缺少“弦不是直径”的前提，表述错误；
D. 只有不在同一直线上的三点可以确定一个圆，若三点共线则无法确定一个圆，选项缺少“不在同一直线上”的前提，表述错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；垂径定理；确定圆的条件
【点评】
本题属于圆的基础概念考查题，易错点是学生容易忽略各定理成立的前提条件，只记忆结论导致判断失误，学习相关定理时要完整记忆前提和结论两部分内容。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关基础定理的辨析，解题时需逐个核对每个选项对应的定理完整内容，重点关注定理成立的前提条件，避免因遗漏前提导致判断错误。我们逐一分析每个选项：首先回忆圆内接四边形性质、圆心角与弧的关系定理、垂径定理推论、确定圆的条件这四个知识点的完整表述，再和选项内容比对即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 根据圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补，该选项表述正确；
B. 只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，选项缺少“同圆或等圆”的前提，表述错误；
C. 平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，选项缺少“弦不是直径”的前提，表述错误；
D. 只有不在同一直线上的三点可以确定一个圆，若三点共线则无法确定一个圆，选项缺少“不在同一直线上”的前提，表述错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；垂径定理；确定圆的条件
【点评】
本题属于圆的基础概念考查题，易错点是学生容易忽略各定理成立的前提条件，只记忆结论导致判断失误，学习相关定理时要完整记忆前提和结论两部分内容。
【难度系数】
0.8
练习2在数轴上，点A所表示实数为5，点B所表示实数为$a$，$\odot A$半径为3.下列说法不正确的是（
A.当$a＞8$时，点B在$\odot A$外
B.当$a＜8$时，点B在$\odot A$内
C.当$a＜2$时，点B在$\odot A$外
D.当$2＜a＜8$时，点B在$\odot A$内
B
）A.当$a＞8$时，点B在$\odot A$外
B.当$a＜8$时，点B在$\odot A$内
C.当$a＜2$时，点B在$\odot A$外
D.当$2＜a＜8$时，点B在$\odot A$内
答案
B
解析
【分析】
要判断点B和$\odot A$的位置关系，首先需明确点与圆位置关系的判定规则：点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；等于半径时在圆上；小于半径时在圆内。再结合数轴上两点的距离公式，计算点B到圆心A的距离，推导点B在不同位置时$a$的取值范围，最后逐一比对选项即可找出错误说法。
【解析】
设点到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，则：
点在圆外 $\iff d＞r$；
点在圆上 $\iff d=r$；
点在圆内 $\iff d＜r$。
本题中，圆心$A$表示的实数为5，$\odot A$半径$r=3$，点$B$表示的实数为$a$，因此$A$、$B$两点的距离$d=|a-5|$。
1. 若点$B$在$\odot A$外：$|a-5|＞3$，解得$a＞8$或$a＜2$；
2. 若点$B$在$\odot A$上：$|a-5|=3$，解得$a=8$或$a=2$；
3. 若点$B$在$\odot A$内：$|a-5|＜3$，解得$2＜a＜8$。
逐一分析选项：
A. 当$a＞8$时，满足点B在圆外的条件，说法正确；
B. 当$a＜8$时，若$a＜2$，点B在圆外，并非都在圆内，说法错误；
C. 当$a＜2$时，满足点B在圆外的条件，说法正确；
D. 当$2＜a＜8$时，满足点B在圆内的条件，说法正确。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系；数轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合数轴距离公式推导对应参数的取值范围，注意判断范围时不要遗漏另一侧的区间，避免误判选项。
【难度系数】
0.7
要判断点B和$\odot A$的位置关系，首先需明确点与圆位置关系的判定规则：点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；等于半径时在圆上；小于半径时在圆内。再结合数轴上两点的距离公式，计算点B到圆心A的距离，推导点B在不同位置时$a$的取值范围，最后逐一比对选项即可找出错误说法。
【解析】
设点到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，则：
点在圆外 $\iff d＞r$；
点在圆上 $\iff d=r$；
点在圆内 $\iff d＜r$。
本题中，圆心$A$表示的实数为5，$\odot A$半径$r=3$，点$B$表示的实数为$a$，因此$A$、$B$两点的距离$d=|a-5|$。
1. 若点$B$在$\odot A$外：$|a-5|＞3$，解得$a＞8$或$a＜2$；
2. 若点$B$在$\odot A$上：$|a-5|=3$，解得$a=8$或$a=2$；
3. 若点$B$在$\odot A$内：$|a-5|＜3$，解得$2＜a＜8$。
逐一分析选项：
A. 当$a＞8$时，满足点B在圆外的条件，说法正确；
B. 当$a＜8$时，若$a＜2$，点B在圆外，并非都在圆内，说法错误；
C. 当$a＜2$时，满足点B在圆外的条件，说法正确；
D. 当$2＜a＜8$时，满足点B在圆内的条件，说法正确。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系；数轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合数轴距离公式推导对应参数的取值范围，注意判断范围时不要遗漏另一侧的区间，避免误判选项。
【难度系数】
0.7
【例2】在$\odot O$中，直径$AB=15$，弦$DE ⊥ AB$于点$C$，若$OC:OB=3:5$，则$DE$的长为（
A.6
B.9
C.12
D.15
C
）A.6
B.9
C.12
D.15
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：直径垂直于弦，可联想到垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，因此只需计算出弦DE的一半长度，再乘2即可得到DE的总长。具体步骤：①先根据直径长度求出圆的半径，得到OD、OB的长度；②结合OC与OB的比例求出OC的长度；③在Rt△OCD中利用勾股定理求出半弦长CD，最终得到DE的长度。
【解析】
解：连接OD，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=15$，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}AB=\frac{15}{2}$，
∵$OC:OB=3:5$，
∴$OC=\frac{3}{5}× OB=\frac{3}{5}×\frac{15}{2}=\frac{9}{2}$，
∵$DE⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理得：$DE=2CD$，且$∠ OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-(\frac{9}{2})^2}=\sqrt{\frac{225-81}{4}}=\sqrt{36}=6$，
∴$DE=2CD=2×6=12$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是利用垂径定理将求整弦长转化为求半弦长，再结合勾股定理求解，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：直径垂直于弦，可联想到垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，因此只需计算出弦DE的一半长度，再乘2即可得到DE的总长。具体步骤：①先根据直径长度求出圆的半径，得到OD、OB的长度；②结合OC与OB的比例求出OC的长度；③在Rt△OCD中利用勾股定理求出半弦长CD，最终得到DE的长度。
【解析】
解：连接OD，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=15$，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}AB=\frac{15}{2}$，
∵$OC:OB=3:5$，
∴$OC=\frac{3}{5}× OB=\frac{3}{5}×\frac{15}{2}=\frac{9}{2}$，
∵$DE⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理得：$DE=2CD$，且$∠ OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-(\frac{9}{2})^2}=\sqrt{\frac{225-81}{4}}=\sqrt{36}=6$，
∴$DE=2CD=2×6=12$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是利用垂径定理将求整弦长转化为求半弦长，再结合勾股定理求解，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
练习3如图，已知$\odot O$的半径为4，M是$\odot O$内一点，且$OM=2$.则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 （
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
C
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
C
解析
【分析】
要解决过圆内一点的整数弦计数问题，首先明确两个临界弦长：①过该点的直径是最长弦；②与过该点的直径垂直的弦是最短弦。先计算出最长、最短弦的长度，确定弦长的取值范围，再筛选出范围内的整数弦长，最后结合圆的对称性统计对应弦的总数量即可。
【解析】
步骤1：求最长弦长
过点M作$\odot O$的直径AB，
∵$\odot O$半径为4，
∴直径$AB=2×4=8$，这是过点M的最长弦，仅有1条。
步骤2：求最短弦长
过点M作$CD⊥ AB$，交$\odot O$于C、D两点，连接OC。
根据垂径定理，M是CD中点，即$CD=2CM$。
在$Rt△ OMC$中，$OC=4$，$OM=2$，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2 - OM^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴最短弦长$CD=2CM=4\sqrt{3}\approx6.93$
步骤3：统计整数弦的数量
过点M的弦长l的取值范围是$4\sqrt{3}≤ l≤8$，即约$6.93≤ l≤8$，其中整数弦长为7和8：
弦长为8的弦：只有直径AB，共1条；
弦长为7的弦：根据圆的对称性，在直径AB的两侧各有1条，共2条。
总共有$1+2=3$条符合条件的弦。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题解题的核心是先确定弦长的取值范围，再结合圆的对称性计数，需注意长度介于最长和最短之间的弦均存在对称的两条，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.6
要解决过圆内一点的整数弦计数问题，首先明确两个临界弦长：①过该点的直径是最长弦；②与过该点的直径垂直的弦是最短弦。先计算出最长、最短弦的长度，确定弦长的取值范围，再筛选出范围内的整数弦长，最后结合圆的对称性统计对应弦的总数量即可。
【解析】
步骤1：求最长弦长
过点M作$\odot O$的直径AB，
∵$\odot O$半径为4，
∴直径$AB=2×4=8$，这是过点M的最长弦，仅有1条。
步骤2：求最短弦长
过点M作$CD⊥ AB$，交$\odot O$于C、D两点，连接OC。
根据垂径定理，M是CD中点，即$CD=2CM$。
在$Rt△ OMC$中，$OC=4$，$OM=2$，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2 - OM^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴最短弦长$CD=2CM=4\sqrt{3}\approx6.93$
步骤3：统计整数弦的数量
过点M的弦长l的取值范围是$4\sqrt{3}≤ l≤8$，即约$6.93≤ l≤8$，其中整数弦长为7和8：
弦长为8的弦：只有直径AB，共1条；
弦长为7的弦：根据圆的对称性，在直径AB的两侧各有1条，共2条。
总共有$1+2=3$条符合条件的弦。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题解题的核心是先确定弦长的取值范围，再结合圆的对称性计数，需注意长度介于最长和最短之间的弦均存在对称的两条，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.6
练习4如图,在平面直角坐标系中,A,B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点,有一直线l通过P点且与AB垂直,C点为l与y轴的交点.若A,B,C的坐标分别为$(a,0)$,$(0,4)$,$(0,-5)$,其中$a＜0$,则$a$的值为（
A.$-2\sqrt{14}$
B.$-2\sqrt{5}$
C.$-8$
D.$-7$
A
）A.$-2\sqrt{14}$
B.$-2\sqrt{5}$
C.$-8$
D.$-7$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可推出过圆心且垂直于弦的直线是该弦的垂直平分线，因此直线l是AB的垂直平分线。点C在l上，根据垂直平分线的性质，C到A、B两点的距离相等。先算出BC的长度，再结合勾股定理列出关于a的方程，结合a＜0的条件即可求出a的值。
【解析】
解：
∵ 直线l过圆心P且与AB垂直，A、B是圆P上的点
∴ 根据垂径定理，直线l是线段AB的垂直平分线
∵ 点C在直线l上
∴ AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵ B(0,4)，C(0,-5)
∴ BC = 4 - (-5) = 9，即AC=9
在Rt△AOC（O为坐标原点）中，由勾股定理得：
$AC^2 = OA^2 + OC^2$
代入数值：$9^2 = a^2 + 5^2$
$81 = a^2 + 25$
解得$a^2=56$
∵ $a＜0$
∴ $a=-\sqrt{56}=-2\sqrt{14}$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与坐标系结合的中档综合题，核心是利用垂径定理推导出直线l是AB的垂直平分线，将问题转化为勾股定理计算，能很好地考查学生对知识点的关联应用能力。
【难度系数】
0.6
首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可推出过圆心且垂直于弦的直线是该弦的垂直平分线，因此直线l是AB的垂直平分线。点C在l上，根据垂直平分线的性质，C到A、B两点的距离相等。先算出BC的长度，再结合勾股定理列出关于a的方程，结合a＜0的条件即可求出a的值。
【解析】
解：
∵ 直线l过圆心P且与AB垂直，A、B是圆P上的点
∴ 根据垂径定理，直线l是线段AB的垂直平分线
∵ 点C在直线l上
∴ AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵ B(0,4)，C(0,-5)
∴ BC = 4 - (-5) = 9，即AC=9
在Rt△AOC（O为坐标原点）中，由勾股定理得：
$AC^2 = OA^2 + OC^2$
代入数值：$9^2 = a^2 + 5^2$
$81 = a^2 + 25$
解得$a^2=56$
∵ $a＜0$
∴ $a=-\sqrt{56}=-2\sqrt{14}$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与坐标系结合的中档综合题，核心是利用垂径定理推导出直线l是AB的垂直平分线，将问题转化为勾股定理计算，能很好地考查学生对知识点的关联应用能力。
【难度系数】
0.6
