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10. (★★)当温度不变时,某气球内的气压p(单位:kPa)与气体体积V(单位:m³)成反比例函数关系(其图象如图所示),已知当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球内气体体积V满足的条件是 m³.
答案
$V≥0.6$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据题目中气压p与体积V成反比例函数的关系，设出反比例函数的一般形式；第二步，利用图像给出的点A的坐标，代入函数式求出未知系数，得到p关于V的函数解析式；第三步，结合“气压不大于120kPa才安全”的条件，列出不等式，结合体积V为正数的实际意义求解不等式，即可得到V的取值范围。
【解析】
解：设p与V的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
由图像可知，函数过点$A(1.2,60)$，将$V=1.2$，$p=60$代入解析式得：
$60=\frac{k}{1.2}$
解得$k=60×1.2=72$，因此函数解析式为$p=\frac{72}{V}$（$V＞0$）。
为了安全，需满足气压$p≤120\mathrm{kPa}$，代入解析式得：
$\frac{72}{V}≤120$
$\because V$是气体体积，$\therefore V＞0$，不等式两边同时乘$V$，不等号方向不变，得：
$72≤120V$
解得$V≥0.6$。
【答案】
$V≥0.6$
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；解不等式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先正确求出反比例函数解析式，再结合安全限制条件列不等式求解，解题时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据题目中气压p与体积V成反比例函数的关系，设出反比例函数的一般形式；第二步，利用图像给出的点A的坐标，代入函数式求出未知系数，得到p关于V的函数解析式；第三步，结合“气压不大于120kPa才安全”的条件，列出不等式，结合体积V为正数的实际意义求解不等式，即可得到V的取值范围。
【解析】
解：设p与V的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
由图像可知，函数过点$A(1.2,60)$，将$V=1.2$，$p=60$代入解析式得：
$60=\frac{k}{1.2}$
解得$k=60×1.2=72$，因此函数解析式为$p=\frac{72}{V}$（$V＞0$）。
为了安全，需满足气压$p≤120\mathrm{kPa}$，代入解析式得：
$\frac{72}{V}≤120$
$\because V$是气体体积，$\therefore V＞0$，不等式两边同时乘$V$，不等号方向不变，得：
$72≤120V$
解得$V≥0.6$。
【答案】
$V≥0.6$
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；解不等式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先正确求出反比例函数解析式，再结合安全限制条件列不等式求解，解题时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义。
【难度系数】
0.8
11.(★★)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)之间的函数关系如图所示.若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，则用电器的可变电阻至少为Ω.
答案
解：由题意，设电流$I$与电阻$R$的函数关系式为$I=\frac{U}{R}$（$U$为定值，$U＞0$，$R＞0$）。
将图象过的点$(8,3)$代入函数关系式，得
$3=\frac{U}{8}$，
解得$U=24$，
因此$I$与$R$的函数关系式为$I=\frac{24}{R}$（$R＞0$）。
由电流不得超过10A，可得$I≤10$，即
$\frac{24}{R}≤10$，
因为$R＞0$，不等式两边同乘$R$得$24≤10R$，
解得$R≥2.4$。
$\boldsymbol{2.4}$
将图象过的点$(8,3)$代入函数关系式，得
$3=\frac{U}{8}$，
解得$U=24$，
因此$I$与$R$的函数关系式为$I=\frac{24}{R}$（$R＞0$）。
由电流不得超过10A，可得$I≤10$，即
$\frac{24}{R}≤10$，
因为$R＞0$，不等式两边同乘$R$得$24≤10R$，
解得$R≥2.4$。
$\boldsymbol{2.4}$
解析
【分析】
首先根据电学常识，电压为定值时电流I与电阻R成反比例关系，因此可设反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值电压，$R＞0$）；接下来从图像中提取已知点$(8,3)$，将其代入解析式即可求出定值电压U，得到I与R的具体函数关系；最后根据“电流不得超过10A”的限制条件列出不等式，结合R的实际意义求解不等式，即可得到电阻的最小值。
【解析】
解：由题意设电流I与电阻R的函数关系式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值电压，$U＞0$，$R＞0$）。
∵函数图象过点$(8,3)$，将其代入解析式得：
$3=\frac{U}{8}$，
解得$U=24$，
∴I与R的函数关系式为$I=\frac{24}{R}$（$R＞0$）。
∵限制电流不得超过10 A，即$I≤10$，
∴$\frac{24}{R}≤10$，
又
∵$R＞0$，不等式两边同时乘R，不等号方向不变，得：
$24≤10R$，
解得$R≥2.4$，
即用电器的可变电阻至少为2.4 Ω。
【答案】
2.4
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法；解一元一次不等式
【点评】
本题是跨学科的实际应用类题目，结合了电学常识与反比例函数知识，解题的核心是先利用待定系数法求出函数解析式，再结合限制条件列不等式求解，能够考查学生知识迁移与解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先根据电学常识，电压为定值时电流I与电阻R成反比例关系，因此可设反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值电压，$R＞0$）；接下来从图像中提取已知点$(8,3)$，将其代入解析式即可求出定值电压U，得到I与R的具体函数关系；最后根据“电流不得超过10A”的限制条件列出不等式，结合R的实际意义求解不等式，即可得到电阻的最小值。
【解析】
解：由题意设电流I与电阻R的函数关系式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值电压，$U＞0$，$R＞0$）。
∵函数图象过点$(8,3)$，将其代入解析式得：
$3=\frac{U}{8}$，
解得$U=24$，
∴I与R的函数关系式为$I=\frac{24}{R}$（$R＞0$）。
∵限制电流不得超过10 A，即$I≤10$，
∴$\frac{24}{R}≤10$，
又
∵$R＞0$，不等式两边同时乘R，不等号方向不变，得：
$24≤10R$，
解得$R≥2.4$，
即用电器的可变电阻至少为2.4 Ω。
【答案】
2.4
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法；解一元一次不等式
【点评】
本题是跨学科的实际应用类题目，结合了电学常识与反比例函数知识，解题的核心是先利用待定系数法求出函数解析式，再结合限制条件列不等式求解，能够考查学生知识迁移与解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
12. (★★)近年来,我国大力推进青少年近视防控工作,并取得了一定成效.通过查阅资料,发现近视眼镜镜片的度数y(单位:度)是关于镜片焦距x(单位:m)的反比例函数,其函数图象如图所示.已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2 m.经过一段时间的矫正治疗后,小明的镜片焦距由0.25 m调整到0.5 m,则近视眼镜的度数减少了度.
答案
$\boldsymbol{200}$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：第一步，根据题意明确y是x的反比例函数，设出反比例函数的一般形式；第二步，将已知的x=0.2，y=500代入解析式，求出未知系数k，得到完整的函数解析式；第三步，分别将x=0.25和x=0.5代入解析式，求出对应镜片的度数；第四步，将两个度数作差，即可得到度数减少的量。
【解析】
设近视眼镜镜片度数y与焦距x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=500×0.2=100$，因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当$x=0.25\ \mathrm{m}$时，对应的镜片度数为$y_1=\frac{100}{0.25}=400$度；
当$x=0.5\ \mathrm{m}$时，对应的镜片度数为$y_2=\frac{100}{0.5}=200$度；
则度数减少了$400-200=200$度。
【答案】
$\boldsymbol{200}$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合近视防控的生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用已知点确定函数解析式，再代入自变量计算对应函数值作差求解，整体思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：第一步，根据题意明确y是x的反比例函数，设出反比例函数的一般形式；第二步，将已知的x=0.2，y=500代入解析式，求出未知系数k，得到完整的函数解析式；第三步，分别将x=0.25和x=0.5代入解析式，求出对应镜片的度数；第四步，将两个度数作差，即可得到度数减少的量。
【解析】
设近视眼镜镜片度数y与焦距x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=500×0.2=100$，因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当$x=0.25\ \mathrm{m}$时，对应的镜片度数为$y_1=\frac{100}{0.25}=400$度；
当$x=0.5\ \mathrm{m}$时，对应的镜片度数为$y_2=\frac{100}{0.5}=200$度；
则度数减少了$400-200=200$度。
【答案】
$\boldsymbol{200}$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合近视防控的生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用已知点确定函数解析式，再代入自变量计算对应函数值作差求解，整体思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
13. (★★)潜水时，潜水深度的增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短.经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间$t$(单位:min)是潜水深度$h$(单位:m)的反比例函数，其部分图象如图所示.
(1)当潜水深度为30 m时，求气瓶可用时间；
(2)为保证安全，要求气瓶可用时间不少于15 min且不超过40 min，潜水深度应控制在什么范围内？
(1)当潜水深度为30 m时，求气瓶可用时间；
(2)为保证安全，要求气瓶可用时间不少于15 min且不超过40 min，潜水深度应控制在什么范围内？
答案
解：
(1) 设$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{k}{h}(k≠0, h＞0)$。
将点$(10,60)$代入解析式，得$60=\frac{k}{10}$，
解得$k=600$，
因此$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{600}{h}(h＞0)$。
当$h=30$时，$t=\frac{600}{30}=20$。
即当潜水深度为30 m时，气瓶可用时间为20 min。
(2) 由题意得$15≤ t≤40$，
将$t=15$代入$t=\frac{600}{h}$，得$15=\frac{600}{h}$，解得$h=40$；
将$t=40$代入$t=\frac{600}{h}$，得$40=\frac{600}{h}$，解得$h=15$。
因为$k=600＞0$，在$h＞0$的范围内，$t$随$h$的增大而减小，
所以当$15≤ t≤40$时，$15≤ h≤40$。
答：(1) 当潜水深度为30 m时，气瓶可用时间为20 min；(2) 潜水深度应控制在不小于15 m且不大于40 m的范围内。
(1) 设$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{k}{h}(k≠0, h＞0)$。
将点$(10,60)$代入解析式，得$60=\frac{k}{10}$，
解得$k=600$，
因此$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{600}{h}(h＞0)$。
当$h=30$时，$t=\frac{600}{30}=20$。
即当潜水深度为30 m时，气瓶可用时间为20 min。
(2) 由题意得$15≤ t≤40$，
将$t=15$代入$t=\frac{600}{h}$，得$15=\frac{600}{h}$，解得$h=40$；
将$t=40$代入$t=\frac{600}{h}$，得$40=\frac{600}{h}$，解得$h=15$。
因为$k=600＞0$，在$h＞0$的范围内，$t$随$h$的增大而减小，
所以当$15≤ t≤40$时，$15≤ h≤40$。
答：(1) 当潜水深度为30 m时，气瓶可用时间为20 min；(2) 潜水深度应控制在不小于15 m且不大于40 m的范围内。
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用题，解题思路如下：首先题目明确说明气瓶可用时间$t$是潜水深度$h$的反比例函数，因此我们可以先设出反比例函数的一般形式$t=\frac{k}{h}(k\ne0,h＞0)$；再结合图像给出的点$(10,60)$，将其代入解析式求出常数$k$，即可得到$t$与$h$的函数关系式。第(1)问直接将$h=30$代入解析式计算即可得到对应$t$值；第(2)问先根据题意列出$t$的取值范围，再结合反比例函数的增减性，将$t$的端点值代入解析式求出对应的$h$值，即可得到潜水深度的控制范围，注意要结合函数增减性判断$h$的大小关系，避免范围颠倒。
【解析】
(1) 设$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{k}{h}(k\ne0, h＞0)$。
将点$(10,60)$代入解析式，得$60=\frac{k}{10}$，
解得$k=600$，
因此$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{600}{h}(h＞0)$。
当$h=30$时，$t=\frac{600}{30}=20$。
(2) 由题意得$15\le t\le40$，
将$t=15$代入$t=\frac{600}{h}$，得$15=\frac{600}{h}$，解得$h=40$；
将$t=40$代入$t=\frac{600}{h}$，得$40=\frac{600}{h}$，解得$h=15$。
因为$k=600＞0$，在$h＞0$的范围内，$t$随$h$的增大而减小，
所以当$15\le t\le40$时，$15\le h\le40$。
【答案】
(1) 当潜水深度为30 m时，气瓶可用时间为20 min；
(2) 潜水深度应控制在不小于15 m且不大于40 m的范围内。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是先通过待定系数法确定函数解析式，再结合函数增减性求解变量的取值范围，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，避免因忽略函数增减性导致取值范围颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用题，解题思路如下：首先题目明确说明气瓶可用时间$t$是潜水深度$h$的反比例函数，因此我们可以先设出反比例函数的一般形式$t=\frac{k}{h}(k\ne0,h＞0)$；再结合图像给出的点$(10,60)$，将其代入解析式求出常数$k$，即可得到$t$与$h$的函数关系式。第(1)问直接将$h=30$代入解析式计算即可得到对应$t$值；第(2)问先根据题意列出$t$的取值范围，再结合反比例函数的增减性，将$t$的端点值代入解析式求出对应的$h$值，即可得到潜水深度的控制范围，注意要结合函数增减性判断$h$的大小关系，避免范围颠倒。
【解析】
(1) 设$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{k}{h}(k\ne0, h＞0)$。
将点$(10,60)$代入解析式，得$60=\frac{k}{10}$，
解得$k=600$，
因此$t$与$h$的函数解析式为$t=\frac{600}{h}(h＞0)$。
当$h=30$时，$t=\frac{600}{30}=20$。
(2) 由题意得$15\le t\le40$，
将$t=15$代入$t=\frac{600}{h}$，得$15=\frac{600}{h}$，解得$h=40$；
将$t=40$代入$t=\frac{600}{h}$，得$40=\frac{600}{h}$，解得$h=15$。
因为$k=600＞0$，在$h＞0$的范围内，$t$随$h$的增大而减小，
所以当$15\le t\le40$时，$15\le h\le40$。
【答案】
(1) 当潜水深度为30 m时，气瓶可用时间为20 min；
(2) 潜水深度应控制在不小于15 m且不大于40 m的范围内。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是先通过待定系数法确定函数解析式，再结合函数增减性求解变量的取值范围，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，避免因忽略函数增减性导致取值范围颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
