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1. (★)已知抛物线过点$A(2,5)$和$B(-1,5)$,则该抛物线的对称轴为.
答案
直线$x=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知两点的坐标特征，发现两点纵坐标相等，根据二次函数的对称性可知，抛物线上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，因此对称轴是这两点连线的垂直平分线；由于两点连线平行于x轴，其垂直平分线为垂直于x轴的直线，直线的横坐标等于两点横坐标的平均值，据此即可求出对称轴。
【解析】
解：
∵抛物线过点$A(2,5)$和$B(-1,5)$，两点的纵坐标相等，
∴点$A$和点$B$是抛物线上关于对称轴对称的点，
∴抛物线的对称轴为两点连线的垂直平分线，
两点横坐标的平均值为$\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$，
即该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
直线$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性，中点坐标计算
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题关键是抓住抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称的性质，无需代入解析式求解即可快速得出结果，能有效降低计算量。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察已知两点的坐标特征，发现两点纵坐标相等，根据二次函数的对称性可知，抛物线上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，因此对称轴是这两点连线的垂直平分线；由于两点连线平行于x轴，其垂直平分线为垂直于x轴的直线，直线的横坐标等于两点横坐标的平均值，据此即可求出对称轴。
【解析】
解：
∵抛物线过点$A(2,5)$和$B(-1,5)$，两点的纵坐标相等，
∴点$A$和点$B$是抛物线上关于对称轴对称的点，
∴抛物线的对称轴为两点连线的垂直平分线，
两点横坐标的平均值为$\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$，
即该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
直线$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性，中点坐标计算
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题关键是抓住抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称的性质，无需代入解析式求解即可快速得出结果，能有效降低计算量。
【难度系数】
0.9
2.(★)已知抛物线$y=-x^2+bx+4$经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，则$n$的值为.
答案
$\boldsymbol{-4}$
解析
【分析】
已知抛物线上两个点的纵坐标相同，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，第一步先根据两点横坐标求出对称轴，第二步结合二次函数的对称轴公式求出参数b的值，第三步将其中一个点的坐标代入抛物线解析式，即可计算出n的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=-x^2+bx+4$经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，两点纵坐标相等，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-1$，
∴ $\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$。
∴ 抛物线解析式为$y=-x^2+2x+4$，
将$x=-2$代入解析式得：
$n=-(-2)^2+2×(-2)+4=-4-4+4=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用纵坐标相同的点关于对称轴对称的特点快速求出对称轴，再代入计算未知参数，掌握二次函数的基本性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
已知抛物线上两个点的纵坐标相同，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，第一步先根据两点横坐标求出对称轴，第二步结合二次函数的对称轴公式求出参数b的值，第三步将其中一个点的坐标代入抛物线解析式，即可计算出n的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=-x^2+bx+4$经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，两点纵坐标相等，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-1$，
∴ $\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$。
∴ 抛物线解析式为$y=-x^2+2x+4$，
将$x=-2$代入解析式得：
$n=-(-2)^2+2×(-2)+4=-4-4+4=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用纵坐标相同的点关于对称轴对称的特点快速求出对称轴，再代入计算未知参数，掌握二次函数的基本性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
3. (★)已知抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + a + 2(a ≠ 0) $ 与x轴的一个交点坐标为(-3,0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为。
答案
解：
对于抛物线$y=ax^2+2ax+a+2(a≠0)$，
由二次函数对称轴公式可得对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴直线$x=-1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_0$，
则$\frac{-3+x_0}{2}=-1$，
解得$x_0=1$。
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$。
对于抛物线$y=ax^2+2ax+a+2(a≠0)$，
由二次函数对称轴公式可得对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴直线$x=-1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_0$，
则$\frac{-3+x_0}{2}=-1$，
解得$x_0=1$。
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$。
解析
【分析】
解题思路如下：二次函数的图像是抛物线，抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此我们可以先求出该抛物线的对称轴，再利用对称点的坐标性质求出另一个交点的坐标。具体思考路径：①先根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入解析式的对应系数算出对称轴；②已知一个交点坐标，设另一个交点的横坐标为$x_0$，根据“两个对称点的横坐标的平均数等于对称轴的横坐标”列方程，求解得到$x_0$，即可得到另一个与x轴交点的坐标（纵坐标为0）。
【解析】
对于抛物线$y=ax^2+2ax+a+2(a≠0)$，
由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=2a$，可得对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴直线$x=-1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_0$，
则$\frac{-3+x_0}{2}=-1$，
解得$x_0=1$。
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,0)}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，通过对称性解题可避免代入参数计算的繁琐，熟练掌握该技巧能够大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：二次函数的图像是抛物线，抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此我们可以先求出该抛物线的对称轴，再利用对称点的坐标性质求出另一个交点的坐标。具体思考路径：①先根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入解析式的对应系数算出对称轴；②已知一个交点坐标，设另一个交点的横坐标为$x_0$，根据“两个对称点的横坐标的平均数等于对称轴的横坐标”列方程，求解得到$x_0$，即可得到另一个与x轴交点的坐标（纵坐标为0）。
【解析】
对于抛物线$y=ax^2+2ax+a+2(a≠0)$，
由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=2a$，可得对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴直线$x=-1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_0$，
则$\frac{-3+x_0}{2}=-1$，
解得$x_0=1$。
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,0)}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，通过对称性解题可避免代入参数计算的繁琐，熟练掌握该技巧能够大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.85
4. (★★)已知抛物线$y=a(x-h)^2 +k$经过$(0,4),(6,5)$两点，若$a＜0,0＜h＜6$，则$h$的值可能为.
答案
解：
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2+k$中$a＜0$，
∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=h$的距离越小，对应的函数值越大。
∵ 点$(0,4)$，$(6,5)$在抛物线上，且$5＞4$，
∴ 点$(6,5)$到对称轴$x=h$的距离小于点$(0,4)$到对称轴$x=h$的距离，
即 $|6-h| ＜ |0-h|$，
两边平方得：$(6-h)^2 ＜ h^2$，
展开整理得：$36 -12h ＜0$，
解得 $h＞3$，
又∵ $0＜h＜6$，
∴ $3＜h＜6$，
故h可取区间$(3,6)$内的任意实数，例如$\boldsymbol{4}$（答案不唯一，满足$3＜h＜6$即可）。
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2+k$中$a＜0$，
∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=h$的距离越小，对应的函数值越大。
∵ 点$(0,4)$，$(6,5)$在抛物线上，且$5＞4$，
∴ 点$(6,5)$到对称轴$x=h$的距离小于点$(0,4)$到对称轴$x=h$的距离，
即 $|6-h| ＜ |0-h|$，
两边平方得：$(6-h)^2 ＜ h^2$，
展开整理得：$36 -12h ＜0$，
解得 $h＞3$，
又∵ $0＜h＜6$，
∴ $3＜h＜6$，
故h可取区间$(3,6)$内的任意实数，例如$\boldsymbol{4}$（答案不唯一，满足$3＜h＜6$即可）。
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质，已知$a＜0$，可知抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴$x=h$的距离越小，对应的函数值越大。观察给出的两个点的函数值，$5＞4$，说明点$(6,5)$到对称轴的距离比点$(0,4)$更近，据此列出关于$h$的绝对值不等式，求解不等式再结合$h$的取值范围$0＜h＜6$，即可得到$h$的可取值区间，从中任选一个数值即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2 +k$中$a＜0$，
∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=h$的距离越小，对应的函数值越大。
∵ 点$(0,4)$、$(6,5)$在抛物线上，且$5＞4$，
∴ 点$(6,5)$到对称轴$x=h$的距离小于点$(0,4)$到对称轴$x=h$的距离，
即 $|6-h| ＜ |0-h|$，
两边平方得：$(6-h)^2 ＜ h^2$，
展开整理得：$36 -12h ＜0$，
解得 $h＞3$，
又
∵ $0＜h＜6$，
∴ $3＜h＜6$，
故$h$可取区间$(3,6)$内的任意实数。
【答案】
4（答案不唯一，满足$3＜h＜6$即可）
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称性，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，无需代入两点求解参数，只需利用开口向下时函数值与点到对称轴距离的关系列不等式即可解题，核心是掌握不同开口方向下二次函数的函数值变化规律，是二次函数性质应用的典型题目。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质，已知$a＜0$，可知抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴$x=h$的距离越小，对应的函数值越大。观察给出的两个点的函数值，$5＞4$，说明点$(6,5)$到对称轴的距离比点$(0,4)$更近，据此列出关于$h$的绝对值不等式，求解不等式再结合$h$的取值范围$0＜h＜6$，即可得到$h$的可取值区间，从中任选一个数值即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2 +k$中$a＜0$，
∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=h$的距离越小，对应的函数值越大。
∵ 点$(0,4)$、$(6,5)$在抛物线上，且$5＞4$，
∴ 点$(6,5)$到对称轴$x=h$的距离小于点$(0,4)$到对称轴$x=h$的距离，
即 $|6-h| ＜ |0-h|$，
两边平方得：$(6-h)^2 ＜ h^2$，
展开整理得：$36 -12h ＜0$，
解得 $h＞3$，
又
∵ $0＜h＜6$，
∴ $3＜h＜6$，
故$h$可取区间$(3,6)$内的任意实数。
【答案】
4（答案不唯一，满足$3＜h＜6$即可）
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称性，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，无需代入两点求解参数，只需利用开口向下时函数值与点到对称轴距离的关系列不等式即可解题，核心是掌握不同开口方向下二次函数的函数值变化规律，是二次函数性质应用的典型题目。
【难度系数】
0.6
5. (★★)点$A(m-1,y_{1})$,$B(m,y_{2})$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上.若$y_{1}＜y_{2}$,则$m$的取值范围为.
答案
$\boldsymbol{m＞\dfrac{3}{2}}$
解析
【分析】
本题考查二次函数的性质应用，解题思路如下：第一步，先确定给定二次函数的开口方向和对称轴，该二次函数为顶点式$y=(x-1)^2+n$，可知开口向上，对称轴为直线$x=1$；第二步，已知$y_1＜y_2$，可选择代入作差法求解：将A、B两点的横坐标代入函数表达式，分别表示出$y_1$和$y_2$，再根据$y_1＜y_2$列出不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围，该方法符合九年级知识要求，直观易理解。
【解析】
解：
∵二次函数的解析式为$y=(x-1)^2+n$，
∴将点$A(m-1,y_1)$代入函数得：$y_1=(m-1-1)^2 +n=(m-2)^2 +n$，
将点$B(m,y_2)$代入函数得：$y_2=(m-1)^2 +n$，
∵$y_1＜y_2$，
∴$(m-2)^2 +n ＜ (m-1)^2 +n$，
两边同时消去$n$得：$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$，
展开不等式两边：$m^2 -4m +4 ＜ m^2 -2m +1$，
移项、合并同类项得：$-2m ＜ -3$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$m＞\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{m＞\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，既可以通过代入点坐标列不等式直接求解，也可以利用二次函数的增减性结合点到对称轴的距离快速判断，解题时需注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的性质应用，解题思路如下：第一步，先确定给定二次函数的开口方向和对称轴，该二次函数为顶点式$y=(x-1)^2+n$，可知开口向上，对称轴为直线$x=1$；第二步，已知$y_1＜y_2$，可选择代入作差法求解：将A、B两点的横坐标代入函数表达式，分别表示出$y_1$和$y_2$，再根据$y_1＜y_2$列出不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围，该方法符合九年级知识要求，直观易理解。
【解析】
解：
∵二次函数的解析式为$y=(x-1)^2+n$，
∴将点$A(m-1,y_1)$代入函数得：$y_1=(m-1-1)^2 +n=(m-2)^2 +n$，
将点$B(m,y_2)$代入函数得：$y_2=(m-1)^2 +n$，
∵$y_1＜y_2$，
∴$(m-2)^2 +n ＜ (m-1)^2 +n$，
两边同时消去$n$得：$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$，
展开不等式两边：$m^2 -4m +4 ＜ m^2 -2m +1$，
移项、合并同类项得：$-2m ＜ -3$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$m＞\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{m＞\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，既可以通过代入点坐标列不等式直接求解，也可以利用二次函数的增减性结合点到对称轴的距离快速判断，解题时需注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
6. (★)已知二次函数$y=x^2 -2x -1$，则当$0≤x≤3$时，函数的最大值为。
答案
解：对二次函数配方，得
$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
在$0≤ x≤3$的范围内：
当$x=1$时，函数取得最小值$-2$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-1$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-1=2$。
比较得，当$0≤ x≤3$时，函数的最大值为$\boldsymbol{2}$。
$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
在$0≤ x≤3$的范围内：
当$x=1$时，函数取得最小值$-2$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-1$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-1=2$。
比较得，当$0≤ x≤3$时，函数的最大值为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
要求二次函数在固定区间$0≤x≤3$内的最大值，首先需明确二次函数的图象特征：首先通过配方将一般式转化为顶点式，可直接得到抛物线的开口方向与对称轴；由于该二次函数二次项系数大于0，抛物线开口向上，此时对称轴处为函数最小值点，区间内的最大值会出现在离对称轴更远的区间端点处，因此只需计算区间两个端点的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
对二次函数配方得：
$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
在$0≤ x≤3$的范围内：
当$x=1$时，函数取得最小值$-2$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-1=-1$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-1=2$。
比较两个端点的函数值，$2＞-1$，因此当$0≤ x≤3$时，函数的最大值为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数的图象与性质；定区间二次函数最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，解题核心是先通过配方确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合定区间范围比较端点处的函数值得到最值，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要求二次函数在固定区间$0≤x≤3$内的最大值，首先需明确二次函数的图象特征：首先通过配方将一般式转化为顶点式，可直接得到抛物线的开口方向与对称轴；由于该二次函数二次项系数大于0，抛物线开口向上，此时对称轴处为函数最小值点，区间内的最大值会出现在离对称轴更远的区间端点处，因此只需计算区间两个端点的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
对二次函数配方得：
$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
在$0≤ x≤3$的范围内：
当$x=1$时，函数取得最小值$-2$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-1=-1$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-1=2$。
比较两个端点的函数值，$2＞-1$，因此当$0≤ x≤3$时，函数的最大值为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数的图象与性质；定区间二次函数最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，解题核心是先通过配方确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合定区间范围比较端点处的函数值得到最值，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
7. (★★)若二次函数$y=x^2+2x-3$($m≤x≤2$)的最小值为-4，最大值为5，则m的取值范围是。
答案
解：
将二次函数配方得：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
令$y=5$，代入函数得：
$x^2+2x-3=5$
整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
由区间$m≤ x≤2$上函数最小值为$-4$，可知顶点$x=-1$在该区间内，因此$m≤ -1$；
由区间上函数最大值为$5$，可知区间内所有点的函数值不超过5，因此$m≥ -4$。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{-4≤ m≤ -1}$。
将二次函数配方得：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
令$y=5$，代入函数得：
$x^2+2x-3=5$
整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
由区间$m≤ x≤2$上函数最小值为$-4$，可知顶点$x=-1$在该区间内，因此$m≤ -1$；
由区间上函数最大值为$5$，可知区间内所有点的函数值不超过5，因此$m≥ -4$。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{-4≤ m≤ -1}$。
解析
【分析】
解决给定区间的二次函数最值问题，第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数的增减性；第二步结合最值要求分析对称轴与区间的位置关系：因为函数开口向上，顶点处取最小值-4，因此对称轴$x=-1$必须在区间$[m,2]$内，可得到m的上限；第三步求出函数值等于最大值5对应的x值，要保证区间内函数值不超过5，即可得到m的下限，二者结合就能得到m的取值范围。
【解析】
解：先将二次函数配方为顶点式：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
∵二次项系数$1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$，即函数在顶点处取得最小值$-4$。
令$y=5$，代入函数解析式得：
$x^2+2x-3=5$
整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
∵区间$m≤ x≤2$上函数的最小值为$-4$，
∴对称轴$x=-1$必须在该区间内，即$m≤ -1$；
∵区间上函数的最大值为$5$，
∴区间左端点不能小于$-4$，否则当$x＜-4$时函数值会大于$5$，即$m≥ -4$。
综上，m的取值范围是$-4≤ m≤ -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-4≤ m≤ -1}$
【知识点】
二次函数配方；二次函数的最值；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数最值的典型基础题型，解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，需要熟练掌握二次函数配方方法，同时能结合函数图像的对称性分析区间端点的取值要求，考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解决给定区间的二次函数最值问题，第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数的增减性；第二步结合最值要求分析对称轴与区间的位置关系：因为函数开口向上，顶点处取最小值-4，因此对称轴$x=-1$必须在区间$[m,2]$内，可得到m的上限；第三步求出函数值等于最大值5对应的x值，要保证区间内函数值不超过5，即可得到m的下限，二者结合就能得到m的取值范围。
【解析】
解：先将二次函数配方为顶点式：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
∵二次项系数$1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$，即函数在顶点处取得最小值$-4$。
令$y=5$，代入函数解析式得：
$x^2+2x-3=5$
整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
∵区间$m≤ x≤2$上函数的最小值为$-4$，
∴对称轴$x=-1$必须在该区间内，即$m≤ -1$；
∵区间上函数的最大值为$5$，
∴区间左端点不能小于$-4$，否则当$x＜-4$时函数值会大于$5$，即$m≥ -4$。
综上，m的取值范围是$-4≤ m≤ -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-4≤ m≤ -1}$
【知识点】
二次函数配方；二次函数的最值；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数最值的典型基础题型，解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，需要熟练掌握二次函数配方方法，同时能结合函数图像的对称性分析区间端点的取值要求，考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
8. (★★)已知抛物线$y=2x^2 -4x +3$在自变量x的值满足$m≤x≤m+2$时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为.
答案
解：
将抛物线解析式配方得：
$y=2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1$
抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$，顶点处取得函数最小值。
令$y=9$，代入解析式得：
$2x^2-4x+3=9$
整理得$x^2-2x-3=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
① 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴左侧，即$m+2≤1$，也就是$m≤-1$时，函数在该区间单调递减，最大值在$x=m$处取得，故$m=-1$，符合条件；
② 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴右侧，即$m≥1$时，函数在该区间单调递增，最大值在$x=m+2$处取得，故$m+2=3$，解得$m=1$，符合条件；
③ 当区间跨对称轴，即$-1＜m＜1$时，区间两端点到对称轴的距离均小于2，对应的函数值均小于9，不符合题意。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$。
将抛物线解析式配方得：
$y=2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1$
抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$，顶点处取得函数最小值。
令$y=9$，代入解析式得：
$2x^2-4x+3=9$
整理得$x^2-2x-3=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
① 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴左侧，即$m+2≤1$，也就是$m≤-1$时，函数在该区间单调递减，最大值在$x=m$处取得，故$m=-1$，符合条件；
② 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴右侧，即$m≥1$时，函数在该区间单调递增，最大值在$x=m+2$处取得，故$m+2=3$，解得$m=1$，符合条件；
③ 当区间跨对称轴，即$-1＜m＜1$时，区间两端点到对称轴的距离均小于2，对应的函数值均小于9，不符合题意。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
解决本题首先要利用二次函数的性质分析最值的取值规律：首先将抛物线一般式配方为顶点式，确定开口方向、对称轴，开口向上的二次函数，点距离对称轴越远，对应的函数值越大。先求出函数值为9时对应的自变量x的取值，再分三类讨论区间[m, m+2]与对称轴的位置关系：区间在对称轴左侧、区间在对称轴右侧、区间跨对称轴，分别判断最大值的取值点，求解m后验证是否符合对应分类的前提条件即可。
【解析】
将抛物线解析式配方得：
$y=2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$，函数在顶点处取得最小值。
令$y=9$，代入解析式得：
$2x^2-4x+3=9$
整理得$x^2-2x-3=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
分情况讨论：
① 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴左侧，即$m+2≤1$，也就是$m≤-1$时，函数在该区间单调递减，最大值在$x=m$处取得，故$m=-1$，符合条件；
② 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴右侧，即$m≥1$时，函数在该区间单调递增，最大值在$x=m+2$处取得，故$m+2=3$，解得$m=1$，符合条件；
③ 当区间跨对称轴，即$-1＜m＜1$时，区间两端点到对称轴的距离均小于2，对应的函数值均小于9，不符合题意，舍去。
综上，m的值为-1或1。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用，解题核心是先明确二次函数的开口方向与对称轴，再结合区间与对称轴的位置关系判断最值的取值位置，求解后要注意验证结果是否符合分类的前提条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要利用二次函数的性质分析最值的取值规律：首先将抛物线一般式配方为顶点式，确定开口方向、对称轴，开口向上的二次函数，点距离对称轴越远，对应的函数值越大。先求出函数值为9时对应的自变量x的取值，再分三类讨论区间[m, m+2]与对称轴的位置关系：区间在对称轴左侧、区间在对称轴右侧、区间跨对称轴，分别判断最大值的取值点，求解m后验证是否符合对应分类的前提条件即可。
【解析】
将抛物线解析式配方得：
$y=2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$，函数在顶点处取得最小值。
令$y=9$，代入解析式得：
$2x^2-4x+3=9$
整理得$x^2-2x-3=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
分情况讨论：
① 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴左侧，即$m+2≤1$，也就是$m≤-1$时，函数在该区间单调递减，最大值在$x=m$处取得，故$m=-1$，符合条件；
② 当区间$m≤ x≤ m+2$在对称轴右侧，即$m≥1$时，函数在该区间单调递增，最大值在$x=m+2$处取得，故$m+2=3$，解得$m=1$，符合条件；
③ 当区间跨对称轴，即$-1＜m＜1$时，区间两端点到对称轴的距离均小于2，对应的函数值均小于9，不符合题意，舍去。
综上，m的值为-1或1。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用，解题核心是先明确二次函数的开口方向与对称轴，再结合区间与对称轴的位置关系判断最值的取值位置，求解后要注意验证结果是否符合分类的前提条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
9. (★★)已知二次函数$y=ax^2 - 2ax + a + 2$（$a≠0$），若$-1≤x≤2$时，函数的最大值与最小值的差为4，则$a$的值为.
答案
解：将二次函数解析式配方，得
$y=a(x-1)^2 + 2$
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴$x=1$的距离大于$x=2$到对称轴的距离，
∴ $x=-1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$(4a+2)-2=4$，
解得$a=1$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴$x=1$的距离大于$x=2$到对称轴的距离，
∴ $x=-1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$2-(4a+2)=4$，
解得$a=-1$。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$。
$y=a(x-1)^2 + 2$
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴$x=1$的距离大于$x=2$到对称轴的距离，
∴ $x=-1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$(4a+2)-2=4$，
解得$a=1$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴$x=1$的距离大于$x=2$到对称轴的距离，
∴ $x=-1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$2-(4a+2)=4$，
解得$a=-1$。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
解决本题首先要将二次函数解析式配方，确定其对称轴与顶点坐标，判断出对称轴落在给定区间$-1≤x≤2$内。由于二次函数的最值受开口方向影响，因此需分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：先分别找到区间内的最大值和最小值，再结合“最大值与最小值的差为4”的条件列方程求解，最后汇总符合条件的a值即可。
【解析】
将二次函数解析式配方，得：
$y=ax^2 - 2ax + a + 2=a(x-1)^2 + 2$
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$，且$x=1$在区间$-1≤x≤2$内。
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$|-1-1|=2$，$x=2$到对称轴的距离为$|2-1|=1$，$2＞1$，
∴ $x=-1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$(4a+2)-2=4$，
解得$a=1$，符合$a＞0$的条件。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴的距离大于$x=2$到对称轴的距离，
∴ $x=-1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$2-(4a+2)=4$，
解得$a=-1$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为1或$-1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象与性质；区间最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间内的最值计算，解题关键是先定位对称轴位置，再结合开口方向判断最值点，求解时需注意对参数a的正负分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要将二次函数解析式配方，确定其对称轴与顶点坐标，判断出对称轴落在给定区间$-1≤x≤2$内。由于二次函数的最值受开口方向影响，因此需分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：先分别找到区间内的最大值和最小值，再结合“最大值与最小值的差为4”的条件列方程求解，最后汇总符合条件的a值即可。
【解析】
将二次函数解析式配方，得：
$y=ax^2 - 2ax + a + 2=a(x-1)^2 + 2$
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$，且$x=1$在区间$-1≤x≤2$内。
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$|-1-1|=2$，$x=2$到对称轴的距离为$|2-1|=1$，$2＞1$，
∴ $x=-1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$(4a+2)-2=4$，
解得$a=1$，符合$a＞0$的条件。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，
在$-1≤ x≤2$范围内，$x=1$时函数取得最大值$y_{\mathrm{max}}=2$，
∵ $x=-1$到对称轴的距离大于$x=2$到对称轴的距离，
∴ $x=-1$时函数取得最小值$y_{\mathrm{min}}=a(-1-1)^2+2=4a+2$。
由题意得：$2-(4a+2)=4$，
解得$a=-1$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为1或$-1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象与性质；区间最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间内的最值计算，解题关键是先定位对称轴位置，再结合开口方向判断最值点，求解时需注意对参数a的正负分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. (★★★)如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得$△ APC$的面积最大?若存在,请求出点P的坐标和$△ APC$的面积最大值;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得$△ APC$的面积最大?若存在,请求出点P的坐标和$△ APC$的面积最大值;若不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 将$B(1,0)$，$C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ c=3\end{cases}$
所以抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2 -2x +3}$。
(2) 存在满足条件的点P，求解如下：
令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，因此点A的坐标为$(-3,0)$。
设直线AC的解析式为$y=kx+m$，将$A(-3,0)$，$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}-3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1 \\ m=3\end{cases}$，即直线AC的解析式为$y=x+3$。
设点P的坐标为$(x, -x^2-2x+3)$，其中$-3＜x＜0$，过点P作PD⊥x轴，交直线AC于点D，则点D的坐标为$(x, x+3)$。
可得：
$PD = (-x^2-2x+3) - (x+3) = -x^2 -3x$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ CPD} = \frac{1}{2} · PD · (x+3) + \frac{1}{2} · PD · (-x) = \frac{3}{2}PD$
将PD代入得面积表达式：
$S_{△ APC} = \frac{3}{2}(-x^2 -3x) = -\frac{3}{2}x^2 -\frac{9}{2}x = -\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ APC}$取得最大值，最大值为$\frac{27}{8}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得点P的纵坐标为：
$-(-\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{3}{2})+3 = \frac{15}{4}$
即点P的坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
综上，第二象限抛物线上存在点P使得$△ APC$面积最大，点P坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})}$，$△ APC$的面积最大值为$\boldsymbol{\frac{27}{8}}$。
(1) 将$B(1,0)$，$C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ c=3\end{cases}$
所以抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2 -2x +3}$。
(2) 存在满足条件的点P，求解如下：
令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，因此点A的坐标为$(-3,0)$。
设直线AC的解析式为$y=kx+m$，将$A(-3,0)$，$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}-3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1 \\ m=3\end{cases}$，即直线AC的解析式为$y=x+3$。
设点P的坐标为$(x, -x^2-2x+3)$，其中$-3＜x＜0$，过点P作PD⊥x轴，交直线AC于点D，则点D的坐标为$(x, x+3)$。
可得：
$PD = (-x^2-2x+3) - (x+3) = -x^2 -3x$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ CPD} = \frac{1}{2} · PD · (x+3) + \frac{1}{2} · PD · (-x) = \frac{3}{2}PD$
将PD代入得面积表达式：
$S_{△ APC} = \frac{3}{2}(-x^2 -3x) = -\frac{3}{2}x^2 -\frac{9}{2}x = -\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ APC}$取得最大值，最大值为$\frac{27}{8}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得点P的纵坐标为：
$-(-\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{3}{2})+3 = \frac{15}{4}$
即点P的坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
综上，第二象限抛物线上存在点P使得$△ APC$面积最大，点P坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})}$，$△ APC$的面积最大值为$\boldsymbol{\frac{27}{8}}$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线上两个点的坐标，可直接将两点坐标代入二次函数表达式，得到关于未知系数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，进而得到解析式。
(2) 要找使△APC面积最大的点P，首先先求点A的坐标：令抛物线解析式中y=0，解方程即可得到A点坐标。再用待定系数法求出直线AC的解析式。计算不规则三角形面积可采用“铅垂高法”：过P作x轴的垂线交AC于点D，将△APC拆分为两个同底PD的三角形，两个三角形的高之和为A、C两点横坐标差的绝对值，即可将△APC的面积表示为关于P点横坐标x的二次函数，结合P点在第二象限的取值范围，利用二次函数的性质求最值即可。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$，$C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ c=3\end{cases}$
所以抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 -2x +3$。
(2) 存在满足条件的点P，求解如下：
令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，因此点A的坐标为$(-3,0)$。
设直线AC的解析式为$y=kx+m$，将$A(-3,0)$，$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}-3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1 \\ m=3\end{cases}$，即直线AC的解析式为$y=x+3$。
设点P的坐标为$(x, -x^2-2x+3)$，其中$-3＜x＜0$，过点P作PD⊥x轴，交直线AC于点D，则点D的坐标为$(x, x+3)$。
可得：
$PD = (-x^2-2x+3) - (x+3) = -x^2 -3x$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ CPD} = \frac{1}{2} · PD · (x+3) + \frac{1}{2} · PD · (-x) = \frac{3}{2}PD$
将PD代入得面积表达式：
$S_{△ APC} = \frac{3}{2}(-x^2 -3x) = -\frac{3}{2}x^2 -\frac{9}{2}x = -\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ APC}$取得最大值，最大值为$\frac{27}{8}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得点P的纵坐标为：
$-(-\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{3}{2})+3 = \frac{15}{4}$
即点P的坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
【答案】
(1) $y=-x^2 -2x +3$
(2) 存在，点P坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$，$△ APC$面积最大值为$\frac{27}{8}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数常规综合题，第一问考查基础的待定系数法应用，难度较低；第二问结合几何面积求解，利用铅垂法将三角形面积转化为二次函数表达式，再结合二次函数性质求最值，是二次函数章节的典型考法，解题时需注意自变量取值范围对最值的影响。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线上两个点的坐标，可直接将两点坐标代入二次函数表达式，得到关于未知系数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，进而得到解析式。
(2) 要找使△APC面积最大的点P，首先先求点A的坐标：令抛物线解析式中y=0，解方程即可得到A点坐标。再用待定系数法求出直线AC的解析式。计算不规则三角形面积可采用“铅垂高法”：过P作x轴的垂线交AC于点D，将△APC拆分为两个同底PD的三角形，两个三角形的高之和为A、C两点横坐标差的绝对值，即可将△APC的面积表示为关于P点横坐标x的二次函数，结合P点在第二象限的取值范围，利用二次函数的性质求最值即可。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$，$C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ c=3\end{cases}$
所以抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 -2x +3$。
(2) 存在满足条件的点P，求解如下：
令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，因此点A的坐标为$(-3,0)$。
设直线AC的解析式为$y=kx+m$，将$A(-3,0)$，$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}-3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1 \\ m=3\end{cases}$，即直线AC的解析式为$y=x+3$。
设点P的坐标为$(x, -x^2-2x+3)$，其中$-3＜x＜0$，过点P作PD⊥x轴，交直线AC于点D，则点D的坐标为$(x, x+3)$。
可得：
$PD = (-x^2-2x+3) - (x+3) = -x^2 -3x$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ CPD} = \frac{1}{2} · PD · (x+3) + \frac{1}{2} · PD · (-x) = \frac{3}{2}PD$
将PD代入得面积表达式：
$S_{△ APC} = \frac{3}{2}(-x^2 -3x) = -\frac{3}{2}x^2 -\frac{9}{2}x = -\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ APC}$取得最大值，最大值为$\frac{27}{8}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得点P的纵坐标为：
$-(-\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{3}{2})+3 = \frac{15}{4}$
即点P的坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
【答案】
(1) $y=-x^2 -2x +3$
(2) 存在，点P坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$，$△ APC$面积最大值为$\frac{27}{8}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数常规综合题，第一问考查基础的待定系数法应用，难度较低；第二问结合几何面积求解，利用铅垂法将三角形面积转化为二次函数表达式，再结合二次函数性质求最值，是二次函数章节的典型考法，解题时需注意自变量取值范围对最值的影响。
【难度系数】
0.6
