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11. (★)已知$A(-1,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(4,y_3)$是二次函数$y=ax^2 - 2ax + 1(a＜0)$的图象上的三个点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为【 】
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
D.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
D.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
答案
D
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需要确定二次函数的开口方向和对称轴：已知a＜0，说明二次函数开口向下，这类函数图象上的点离对称轴越近，对应的函数值越大。因此我们先求出函数对称轴，再分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过比较距离大小就能推出函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 - 2ax + 1(a＜0)$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=a$，$b=-2a$得：
对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$
因为$a＜0$，所以二次函数开口向下，点到对称轴$x=1$的距离越近，对应的$y$值越大。
计算三个点到对称轴的距离：
点$A(-1,y_1)$到$x=1$的距离：$|-1-1|=2$
点$B(2,y_2)$到$x=1$的距离：$|2-1|=1$
点$C(4,y_3)$到$x=1$的距离：$|4-1|=3$
距离排序为$1＜2＜3$，因此函数值大小为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，除了通过距离比较的方法，也可以直接把三个点的横坐标代入函数，计算出对应$y_1,y_2,y_3$的表达式后再比较大小，两种方法都能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需要确定二次函数的开口方向和对称轴：已知a＜0，说明二次函数开口向下，这类函数图象上的点离对称轴越近，对应的函数值越大。因此我们先求出函数对称轴，再分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过比较距离大小就能推出函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 - 2ax + 1(a＜0)$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=a$，$b=-2a$得：
对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$
因为$a＜0$，所以二次函数开口向下，点到对称轴$x=1$的距离越近，对应的$y$值越大。
计算三个点到对称轴的距离：
点$A(-1,y_1)$到$x=1$的距离：$|-1-1|=2$
点$B(2,y_2)$到$x=1$的距离：$|2-1|=1$
点$C(4,y_3)$到$x=1$的距离：$|4-1|=3$
距离排序为$1＜2＜3$，因此函数值大小为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，除了通过距离比较的方法，也可以直接把三个点的横坐标代入函数，计算出对应$y_1,y_2,y_3$的表达式后再比较大小，两种方法都能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
12. (★★)在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2+mx+m^2 - m$（$m$为常数）的图象经过点$(0,6)$，其对称轴在$y$轴左侧，则该二次函数有
【】
A.最大值5
B.最大值$\dfrac{15}{4}$
C.最小值5
D.最小值$\dfrac{15}{4}$
【】
A.最大值5
B.最大值$\dfrac{15}{4}$
C.最小值5
D.最小值$\dfrac{15}{4}$
答案
D
解析
【分析】
解题时按照以下思路逐步推导：第一步，将已知点(0,6)代入二次函数解析式，得到关于m的一元二次方程，解出m的两个可能取值；第二步，根据对称轴在y轴左侧的条件，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列出不等式，筛选出符合要求的m值；第三步，根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，最后代入最值公式计算出结果即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2+mx+m^2 - m$的图象经过点$(0,6)$
∴将$x=0,y=6$代入解析式可得：
$6=m^2 - m$
整理得$m^2 - m -6=0$
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$
解得$m=3$或$m=-2$
∵二次函数对称轴在y轴左侧，且对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1,b=m$
∴$-\frac{m}{2}＜0$，解得$m＞0$
故$m=-2$舍去，取$m=3$，代入得二次函数解析式为$y=x^2+3x+6$
∵$a=1＞0$，函数图象开口向上，因此函数有最小值
最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×6-3^2}{4×1}=\frac{15}{4}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求参数；二次函数对称轴；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数基础综合题，重点考查二次函数的核心性质，解题的关键是先确定参数m的取值，再结合开口方向判断最值类型，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时按照以下思路逐步推导：第一步，将已知点(0,6)代入二次函数解析式，得到关于m的一元二次方程，解出m的两个可能取值；第二步，根据对称轴在y轴左侧的条件，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列出不等式，筛选出符合要求的m值；第三步，根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，最后代入最值公式计算出结果即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2+mx+m^2 - m$的图象经过点$(0,6)$
∴将$x=0,y=6$代入解析式可得：
$6=m^2 - m$
整理得$m^2 - m -6=0$
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$
解得$m=3$或$m=-2$
∵二次函数对称轴在y轴左侧，且对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1,b=m$
∴$-\frac{m}{2}＜0$，解得$m＞0$
故$m=-2$舍去，取$m=3$，代入得二次函数解析式为$y=x^2+3x+6$
∵$a=1＞0$，函数图象开口向上，因此函数有最小值
最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×6-3^2}{4×1}=\frac{15}{4}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求参数；二次函数对称轴；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数基础综合题，重点考查二次函数的核心性质，解题的关键是先确定参数m的取值，再结合开口方向判断最值类型，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
13. (★★)在平面直角坐标系中,把抛物线$y=3x^2 -18x +29$先向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得抛物线对应的函数解析式为.
答案
解：先将原抛物线解析式化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=3x^2 -18x +29\\&=3(x^2 -6x) +29\\&=3(x^2 -6x +9 -9) +29\\&=3(x-3)^2 -27 +29\\&=3(x-3)^2 +2\end{aligned}$
根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规则，将抛物线向左平移4个单位长度，可得：
$y=3(x-3+4)^2 +2=3(x+1)^2 +2$
再向下平移3个单位长度，可得：
$\begin{aligned}y&=3(x+1)^2 +2 -3\\&=3(x+1)^2 -1\\&=3x^2 +6x +2\end{aligned}$
所得抛物线对应的函数解析式为 $\boldsymbol{y=3(x+1)^2 -1}$（或$y=3x^2+6x+2$）。
$\begin{aligned}y&=3x^2 -18x +29\\&=3(x^2 -6x) +29\\&=3(x^2 -6x +9 -9) +29\\&=3(x-3)^2 -27 +29\\&=3(x-3)^2 +2\end{aligned}$
根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规则，将抛物线向左平移4个单位长度，可得：
$y=3(x-3+4)^2 +2=3(x+1)^2 +2$
再向下平移3个单位长度，可得：
$\begin{aligned}y&=3(x+1)^2 +2 -3\\&=3(x+1)^2 -1\\&=3x^2 +6x +2\end{aligned}$
所得抛物线对应的函数解析式为 $\boldsymbol{y=3(x+1)^2 -1}$（或$y=3x^2+6x+2$）。
解析
【分析】
解决二次函数平移问题的核心是平移前后二次项系数a不变，我们需要先将原二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，再结合平移规则“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”逐步计算即可。具体思路：第一步用配方法把原抛物线解析式化为顶点式，第二步根据向左平移的规则给x加上平移的单位长度，第三步根据向下平移的规则在常数项处减去平移的单位长度，最后可根据需要整理为一般式或保留顶点式。
【解析】
首先将原抛物线解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=3x^2 -18x +29\\&=3(x^2 -6x) +29\\&=3(x^2 -6x +9 -9) +29\\&=3(x-3)^2 -27 +29\\&=3(x-3)^2 +2\end{aligned}$
根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则：
1. 先向左平移4个单位长度，给自变量x加上4，得：
$y=3(x-3+4)^2 +2=3(x+1)^2 +2$
2. 再向下平移3个单位长度，给常数项减去3，得：
$\begin{aligned}y&=3(x+1)^2 +2 -3\\&=3(x+1)^2 -1\end{aligned}$
若整理为一般式，展开可得$y=3x^2 +6x +2$。
【答案】
$y=3(x+1)^2 -1$（或$y=3x^2+6x+2$）
【知识点】
配方法化顶点式；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的常规基础题，解题关键是熟练掌握配方法的操作，以及平移口诀的正确应用，需要注意“左加右减”是对自变量x本身进行加减，若x前面有系数，要把系数提出来后再加减，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
解决二次函数平移问题的核心是平移前后二次项系数a不变，我们需要先将原二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，再结合平移规则“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”逐步计算即可。具体思路：第一步用配方法把原抛物线解析式化为顶点式，第二步根据向左平移的规则给x加上平移的单位长度，第三步根据向下平移的规则在常数项处减去平移的单位长度，最后可根据需要整理为一般式或保留顶点式。
【解析】
首先将原抛物线解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=3x^2 -18x +29\\&=3(x^2 -6x) +29\\&=3(x^2 -6x +9 -9) +29\\&=3(x-3)^2 -27 +29\\&=3(x-3)^2 +2\end{aligned}$
根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则：
1. 先向左平移4个单位长度，给自变量x加上4，得：
$y=3(x-3+4)^2 +2=3(x+1)^2 +2$
2. 再向下平移3个单位长度，给常数项减去3，得：
$\begin{aligned}y&=3(x+1)^2 +2 -3\\&=3(x+1)^2 -1\end{aligned}$
若整理为一般式，展开可得$y=3x^2 +6x +2$。
【答案】
$y=3(x+1)^2 -1$（或$y=3x^2+6x+2$）
【知识点】
配方法化顶点式；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的常规基础题，解题关键是熟练掌握配方法的操作，以及平移口诀的正确应用，需要注意“左加右减”是对自变量x本身进行加减，若x前面有系数，要把系数提出来后再加减，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
14. (★) 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过 $(-1, -1), (0, 2), (1, 3)$ 三点，求它的开口方向、对称轴和顶点.
答案
解：将三点$(-1,-1)$、$(0,2)$、$(1,3)$分别代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = 2 \\a + b + c = 3\end{cases}$
把$c=2$代入另外两个方程，得：
$\begin{cases}a - b = -3 \\a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$a+b=1$，得$b=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+2$，对解析式配方得：
$y=-(x^2-2x)+2=-(x-1)^2+3$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = 2 \\a + b + c = 3\end{cases}$
把$c=2$代入另外两个方程，得：
$\begin{cases}a - b = -3 \\a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$a+b=1$，得$b=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+2$，对解析式配方得：
$y=-(x^2-2x)+2=-(x-1)^2+3$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
解析
【分析】
要确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点，首先需要求出抛物线的解析式。已知抛物线上三个不共线的点的坐标，可采用待定系数法，将三点坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数后，将解析式配方为顶点式，即可根据$a$的符号判断开口方向，同时直接得到对称轴和顶点坐标。
【解析】
将三点$(-1,-1)$、$(0,2)$、$(1,3)$分别代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = 2 \\a + b + c = 3\end{cases}$
把$c=2$代入另外两个方程，得：
$\begin{cases}a - b = -3 \\a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$a+b=1$，得$b=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+2$，对解析式配方得：
$y=-(x^2-2x)+2=-(x-1)^2+3$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
【答案】
抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数配方
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查利用待定系数法求函数解析式，以及二次函数基本性质的应用，掌握解三元一次方程组的方法和二次函数配方的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点，首先需要求出抛物线的解析式。已知抛物线上三个不共线的点的坐标，可采用待定系数法，将三点坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数后，将解析式配方为顶点式，即可根据$a$的符号判断开口方向，同时直接得到对称轴和顶点坐标。
【解析】
将三点$(-1,-1)$、$(0,2)$、$(1,3)$分别代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = 2 \\a + b + c = 3\end{cases}$
把$c=2$代入另外两个方程，得：
$\begin{cases}a - b = -3 \\a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$a+b=1$，得$b=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+2$，对解析式配方得：
$y=-(x^2-2x)+2=-(x-1)^2+3$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
【答案】
抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数配方
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查利用待定系数法求函数解析式，以及二次函数基本性质的应用，掌握解三元一次方程组的方法和二次函数配方的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
15. (★★★)如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$($a≠0$)与$x$轴交于点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$,与$y$轴交于点$C$.有下列说法:①$abc＜0$;②抛物线的对称轴为$x=-1$;③当$-3＜x＜0$时,$ax^2+bx+c＞0$;④当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大;⑤$am^2+bm≤a-b$($m$为任意实数).其中正确的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题时先从抛物线的图像特征入手：首先由开口方向确定a的符号，结合与x轴的两个交点求出对称轴，进而推导b的符号，再由与y轴交点位置确定c的符号，之后结合二次函数的增减性、最值性质，逐个判断5个说法的正误，最终统计正确说法的个数。
【解析】
1. 判断①：
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
抛物线与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，对称轴为两点横坐标的中点，即$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，结合对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＜0$；
因此$abc=(\mathrm{负})×(\mathrm{负})×(\mathrm{正})＞0$，故①错误。
2. 判断②：
由上述计算可得对称轴为直线$x=-1$，故②正确。
3. 判断③：
结合图像可知，当$-3＜x＜1$时，抛物线位于x轴上方，即$ax^2+bx+c＞0$，$-3＜x＜0$属于该区间，因此此时$ax^2+bx+c＞0$，故③正确。
4. 判断④：
抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$，因此在对称轴右侧（$x＞-1$）时，y随x的增大而减小，故$x＞1$时y随x的增大而减小，④错误。
5. 判断⑤：
抛物线开口向下，$x=-1$时函数取得最大值，因此对任意实数m，都有$am^2+bm+c≤ a×(-1)^2+b×(-1)+c$，两边同时消去c，可得$am^2+bm≤ a-b$，故⑤正确。
综上，正确的说法为②③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系，二次函数的增减性，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常考题型，需要结合图像信息灵活运用二次函数的各项性质判断结论，解题时注意数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从抛物线的图像特征入手：首先由开口方向确定a的符号，结合与x轴的两个交点求出对称轴，进而推导b的符号，再由与y轴交点位置确定c的符号，之后结合二次函数的增减性、最值性质，逐个判断5个说法的正误，最终统计正确说法的个数。
【解析】
1. 判断①：
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
抛物线与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，对称轴为两点横坐标的中点，即$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，结合对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＜0$；
因此$abc=(\mathrm{负})×(\mathrm{负})×(\mathrm{正})＞0$，故①错误。
2. 判断②：
由上述计算可得对称轴为直线$x=-1$，故②正确。
3. 判断③：
结合图像可知，当$-3＜x＜1$时，抛物线位于x轴上方，即$ax^2+bx+c＞0$，$-3＜x＜0$属于该区间，因此此时$ax^2+bx+c＞0$，故③正确。
4. 判断④：
抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$，因此在对称轴右侧（$x＞-1$）时，y随x的增大而减小，故$x＞1$时y随x的增大而减小，④错误。
5. 判断⑤：
抛物线开口向下，$x=-1$时函数取得最大值，因此对任意实数m，都有$am^2+bm+c≤ a×(-1)^2+b×(-1)+c$，两边同时消去c，可得$am^2+bm≤ a-b$，故⑤正确。
综上，正确的说法为②③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系，二次函数的增减性，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常考题型，需要结合图像信息灵活运用二次函数的各项性质判断结论，解题时注意数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
16. (★★★)二次函数$y=ax^2+bx+c$图象上部分点的坐标满足下表：
若点$(-4,y_1),(m^2+2m+7,y_2)$在该函数图象上，则$y_1,y_2$的大小关系为$y_1$$y_2$
若点$(-4,y_1),(m^2+2m+7,y_2)$在该函数图象上，则$y_1,y_2$的大小关系为$y_1$$y_2$答案
$\boldsymbol{≥}$
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，需先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过两点到对称轴的距离结合函数增减性判断：第一步，利用表格中坐标代入求出二次函数解析式，确定开口方向和对称轴；第二步，计算点$(-4,y_1)$到对称轴的距离；第三步，对$m^2+2m+7$配方，得到它到对称轴距离的取值范围；第四步，结合开口向下时“离对称轴越远，函数值越小”的性质比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
1. 求二次函数解析式及相关性质
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，代入表格中三组坐标：
$\begin{cases}a-b+c=-6 \quad \mathrm{(}x=-1,y=-6\mathrm{)}\\a+b+c=-2 \quad \mathrm{(}x=1,y=-2\mathrm{)}\\4a+2b+c=-3 \quad \mathrm{(}x=2,y=-3\mathrm{)}\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$2b=4$，解得$b=2$，
代入化简得$\begin{cases}a+c=-4\\4a+c=-7\end{cases}$，两式相减得$3a=-3$，解得$a=-1$，进一步得$c=-3$。
因此函数解析式为$y=-x^2+2x-3$，其中$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$。
2. 计算两点到对称轴的距离
点$(-4,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为：$|-4-1|=5$；
对$m^2+2m+7$配方得：$m^2+2m+7=(m+1)^2+6$，它到对称轴$x=1$的距离为：$|(m+1)^2+6 -1|=(m+1)^2+5$，
$\because (m+1)^2≥0$，$\therefore$该距离$≥5$。
3. 比较函数值大小
开口向下的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越小：
当距离等于5时，$y_1=y_2$；当距离大于5时，$y_1＞y_2$，因此$y_1≥ y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{≥}$
【知识点】
二次函数的性质；配方法的应用；二次函数的对称性
【点评】
本题核心考查二次函数增减性的应用，解题关键是准确求出函数的对称轴和开口方向，通过点到对称轴的距离判断函数值大小，其中对含参数的代数式配方求取值范围是易错点。
【难度系数】
0.6
要比较$y_1$和$y_2$的大小，需先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过两点到对称轴的距离结合函数增减性判断：第一步，利用表格中坐标代入求出二次函数解析式，确定开口方向和对称轴；第二步，计算点$(-4,y_1)$到对称轴的距离；第三步，对$m^2+2m+7$配方，得到它到对称轴距离的取值范围；第四步，结合开口向下时“离对称轴越远，函数值越小”的性质比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
1. 求二次函数解析式及相关性质
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，代入表格中三组坐标：
$\begin{cases}a-b+c=-6 \quad \mathrm{(}x=-1,y=-6\mathrm{)}\\a+b+c=-2 \quad \mathrm{(}x=1,y=-2\mathrm{)}\\4a+2b+c=-3 \quad \mathrm{(}x=2,y=-3\mathrm{)}\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$2b=4$，解得$b=2$，
代入化简得$\begin{cases}a+c=-4\\4a+c=-7\end{cases}$，两式相减得$3a=-3$，解得$a=-1$，进一步得$c=-3$。
因此函数解析式为$y=-x^2+2x-3$，其中$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$。
2. 计算两点到对称轴的距离
点$(-4,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为：$|-4-1|=5$；
对$m^2+2m+7$配方得：$m^2+2m+7=(m+1)^2+6$，它到对称轴$x=1$的距离为：$|(m+1)^2+6 -1|=(m+1)^2+5$，
$\because (m+1)^2≥0$，$\therefore$该距离$≥5$。
3. 比较函数值大小
开口向下的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越小：
当距离等于5时，$y_1=y_2$；当距离大于5时，$y_1＞y_2$，因此$y_1≥ y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{≥}$
【知识点】
二次函数的性质；配方法的应用；二次函数的对称性
【点评】
本题核心考查二次函数增减性的应用，解题关键是准确求出函数的对称轴和开口方向，通过点到对称轴的距离判断函数值大小，其中对含参数的代数式配方求取值范围是易错点。
【难度系数】
0.6
