8. 在平面直角坐标系中，一个正方形的一条边上的两个顶点坐标分别为$A(1, 0)$，$B(3, 0)$，求该正方形另两个顶点的坐标.

(1, 2), (3, 2)或(1, -2), (3, -2)

【分析】
解题时先分析已知两个顶点的坐标特征：A(1,0)和B(3,0)的纵坐标相同，说明AB边在x轴上，先计算AB的长度得到正方形的边长为2。接下来根据正方形邻边互相垂直的性质，AB是水平线段，所以它的邻边是竖直线段，因此另外两个顶点的横坐标分别和A、B的横坐标相同，再结合边长为2，分“顶点在AB上方”和“顶点在AB下方”两种情况计算纵坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知$A(1, 0)$，$B(3, 0)$，两点纵坐标相等，因此AB平行于x轴，长度为$3-1=2$，即正方形的边长为2。
2. 分析另外两个顶点的坐标特征：
正方形的邻边与AB垂直，因此邻边平行于y轴，另外两个顶点的横坐标分别等于A、B的横坐标，即分别为1和3。
3. 分情况计算纵坐标：
① 若另外两个顶点在AB的上方：纵坐标为$0+2=2$，对应坐标为$(1,2)$、$(3,2)$；
② 若另外两个顶点在AB的下方：纵坐标为$0-2=-2$，对应坐标为$(1,-2)$、$(3,-2)$。
【答案】
$(1, 2), (3, 2)$或$(1, -2), (3, -2)$
【知识点】
1. 点的坐标特征
2. 正方形的性质
3. 平行于坐标轴的线段长度计算
【点评】
本题重点考查坐标系中几何图形顶点坐标的求解，需要结合图形性质分析点的位置关系，解题时要注意分类讨论，避免漏解，是对几何性质和坐标系结合应用的基础考查。
【难度系数】
0.7

9. 在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为$(-5,0)$，$(3,0)$，且三角形ABC的面积为12.试描述点C的坐标特点.

点C的纵坐标为3或-3,横坐标为任意实数

【分析】
首先观察点A、B的坐标，发现两点都在x轴上，可先计算出线段AB的长度；将AB作为三角形ABC的底，那么三角形的高就是点C到x轴（即AB所在直线）的距离，也就是点C纵坐标的绝对值；再结合已知的三角形面积，利用面积公式求出高的大小，即可得到点C纵坐标的取值，横坐标不影响点到x轴的距离，因此横坐标可取任意实数。
【解析】
解：
∵点A(-5,0)、B(3,0)都在x轴上
∴AB的长度为 $ 3 - (-5) = 8 $
设点C的纵坐标为$ y $，则AB边上的高为点C到x轴的距离，即$ |y| $
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2} × 底 × 高 $，代入已知条件得：
$ \frac{1}{2} × 8 × |y| = 12 $
化简得$ 4|y|=12 $，解得$ |y|=3 $，即$ y=3 $或$ y=-3 $
由于点C的横坐标不影响它到x轴的距离，因此点C的横坐标可以为任意实数。
【答案】
点C的纵坐标为3或-3,横坐标为任意实数
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题解题的核心是抓住A、B两点在x轴上的特点，将AB作为底转化为求点C到x轴的距离，解题时要注意纵坐标可以取正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.8