登录
为什么说$\sqrt{2}$不是有理数.
(1)【阅读与思考】
假设$\sqrt{2}$是有理数，那么$\sqrt{2}$可以写成两个整数$p,q$的比$\frac{p}{q}$($p,q$互质)，于是有$(\frac{p}{q})^2=2$，$p^2=$
因此，$p^2$是偶数，$p$是偶数.
于是可设$p=2m$，那么$p^2=$
这就是说，$q^2$是偶数，$q$也是偶数. 这与“$p,q$是互质的两个整数”的假设矛盾.
这个矛盾说明，$\sqrt{2}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{2}$不是有理数.
(2)【运用并解决】
类比上述的【阅读与思考】，推理说明：
①$\sqrt{3}$不是有理数.
②$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
(1)【阅读与思考】
假设$\sqrt{2}$是有理数，那么$\sqrt{2}$可以写成两个整数$p,q$的比$\frac{p}{q}$($p,q$互质)，于是有$(\frac{p}{q})^2=2$，$p^2=$
2q²
.因此，$p^2$是偶数，$p$是偶数.
于是可设$p=2m$，那么$p^2=$
4m²
$=2q^2$，$q^2=$2m²
.这就是说，$q^2$是偶数，$q$也是偶数. 这与“$p,q$是互质的两个整数”的假设矛盾.
这个矛盾说明，$\sqrt{2}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{2}$不是有理数.
(2)【运用并解决】
类比上述的【阅读与思考】，推理说明：
①$\sqrt{3}$不是有理数.
②$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
答案
(1)$2q^2$，$4m^2$，$2m^2$
(2)①假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^2=3$，$m^2=3n^2$. 因此，$m^2$是3的倍数，$m$是3的倍数. 于是可设$m=3t$，那么$m^2=9t^2=3n^2$，$n^2=3t^2$. 这就是说，$n^2$是3的倍数，$n$也是3的倍数. 这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数.
②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^3=6$，$a^3=6b^3$. 因此，$a^3$是偶数，$a$是偶数. 于是可设$a=2s$，那么$a^3=8s^3=6b^3$，$3b^3=4s^3$. 这就是说，$3b^3$是偶数，$b^3$是偶数，$b$也是偶数. 这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
(2)①假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^2=3$，$m^2=3n^2$. 因此，$m^2$是3的倍数，$m$是3的倍数. 于是可设$m=3t$，那么$m^2=9t^2=3n^2$，$n^2=3t^2$. 这就是说，$n^2$是3的倍数，$n$也是3的倍数. 这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数.
②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^3=6$，$a^3=6b^3$. 因此，$a^3$是偶数，$a$是偶数. 于是可设$a=2s$，那么$a^3=8s^3=6b^3$，$3b^3=4s^3$. 这就是说，$3b^3$是偶数，$b^3$是偶数，$b$也是偶数. 这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
解析
【分析】
本题采用反证法完成证明，解题思路如下：①反证法核心逻辑为：先假设待证结论不成立，通过合理推导得出矛盾，进而证明原结论正确。②第(1)问只需对等式做简单变形即可填空：将$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$两边平方整理可得$p^2$的表达式，再将$p=2m$代入后化简即可得到剩余两个空的结果。③第(2)问类比第(1)问的证明步骤：先假设待证的数是有理数，将其写成两个互质整数的比，再两边乘方得到整式等式，推导得出两个整数有公共质因数，与“两数互质”的前提矛盾，即可证明原数不是有理数。
【解析】
(1) 由$(\frac{p}{q})^2=2$，两边同乘$q^2$得$p^2=2q^2$；
将$p=2m$代入得$p^2=(2m)^2=4m^2$，结合$p^2=2q^2$得$4m^2=2q^2$，两边同除以2得$q^2=2m^2$。
(2)① 假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^2=3$，$m^2=3n^2$。因此，$m^2$是3的倍数，$m$是3的倍数。于是可设$m=3t$，那么$m^2=9t^2=3n^2$，$n^2=3t^2$。这就是说，$n^2$是3的倍数，$n$也是3的倍数。这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾。这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数。
② 假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^3=6$，$a^3=6b^3$。因此，$a^3$是偶数，$a$是偶数。于是可设$a=2s$，那么$a^3=8s^3=6b^3$，$3b^3=4s^3$。这就是说，$3b^3$是偶数，$b^3$是偶数，$b$也是偶数。这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾。这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数。
【答案】
(1)$2q^2$，$4m^2$，$2m^2$
(2)①假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^2=3$，$m^2=3n^2$. 因此，$m^2$是3的倍数，$m$是3的倍数. 于是可设$m=3t$，那么$m^2=9t^2=3n^2$，$n^2=3t^2$. 这就是说，$n^2$是3的倍数，$n$也是3的倍数. 这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数.
②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^3=6$，$a^3=6b^3$. 因此，$a^3$是偶数，$a$是偶数. 于是可设$a=2s$，那么$a^3=8s^3=6b^3$，$3b^3=4s^3$. 这就是说，$3b^3$是偶数，$b^3$是偶数，$b$也是偶数. 这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
【知识点】
反证法，有理数的定义，无理数的判定
【点评】
本题以阅读材料的形式引导学生掌握反证法证明无理数的通用思路，通过类比推理完成后续证明，既考查了对反证法逻辑的理解，也锻炼了知识迁移和逻辑推理能力，有助于加深对有理数和无理数本质区别的认识。
【难度系数】
0.6
本题采用反证法完成证明，解题思路如下：①反证法核心逻辑为：先假设待证结论不成立，通过合理推导得出矛盾，进而证明原结论正确。②第(1)问只需对等式做简单变形即可填空：将$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$两边平方整理可得$p^2$的表达式，再将$p=2m$代入后化简即可得到剩余两个空的结果。③第(2)问类比第(1)问的证明步骤：先假设待证的数是有理数，将其写成两个互质整数的比，再两边乘方得到整式等式，推导得出两个整数有公共质因数，与“两数互质”的前提矛盾，即可证明原数不是有理数。
【解析】
(1) 由$(\frac{p}{q})^2=2$，两边同乘$q^2$得$p^2=2q^2$；
将$p=2m$代入得$p^2=(2m)^2=4m^2$，结合$p^2=2q^2$得$4m^2=2q^2$，两边同除以2得$q^2=2m^2$。
(2)① 假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^2=3$，$m^2=3n^2$。因此，$m^2$是3的倍数，$m$是3的倍数。于是可设$m=3t$，那么$m^2=9t^2=3n^2$，$n^2=3t^2$。这就是说，$n^2$是3的倍数，$n$也是3的倍数。这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾。这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数。
② 假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^3=6$，$a^3=6b^3$。因此，$a^3$是偶数，$a$是偶数。于是可设$a=2s$，那么$a^3=8s^3=6b^3$，$3b^3=4s^3$。这就是说，$3b^3$是偶数，$b^3$是偶数，$b$也是偶数。这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾。这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数。
【答案】
(1)$2q^2$，$4m^2$，$2m^2$
(2)①假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^2=3$，$m^2=3n^2$. 因此，$m^2$是3的倍数，$m$是3的倍数. 于是可设$m=3t$，那么$m^2=9t^2=3n^2$，$n^2=3t^2$. 这就是说，$n^2$是3的倍数，$n$也是3的倍数. 这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数.
②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^3=6$，$a^3=6b^3$. 因此，$a^3$是偶数，$a$是偶数. 于是可设$a=2s$，那么$a^3=8s^3=6b^3$，$3b^3=4s^3$. 这就是说，$3b^3$是偶数，$b^3$是偶数，$b$也是偶数. 这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾. 这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
【知识点】
反证法，有理数的定义，无理数的判定
【点评】
本题以阅读材料的形式引导学生掌握反证法证明无理数的通用思路，通过类比推理完成后续证明，既考查了对反证法逻辑的理解，也锻炼了知识迁移和逻辑推理能力，有助于加深对有理数和无理数本质区别的认识。
【难度系数】
0.6
