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5.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$是$AB$的中点,过点$D$作$AB$的垂线交$AC$于点$E$.若$BC=6$,$\sin A=\dfrac{3}{5}$,则$DE$的长为________.
答案
5. $\dfrac{15}{4}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据锐角三角函数中正弦的定义，结合已知的$\sin A$和$BC$的长度，求出斜边$AB$的长度，再利用勾股定理求出$AC$的长度；第二步，根据$D$是$AB$中点，计算出$AD$的长度；第三步，由$DE$垂直$AB$可得$∠ ADE=∠ C=90°$，结合公共角$∠ A$，可证$△ ADE∽△ ACB$，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出$DE$的长度，也可直接在$\mathrm{Rt}△ADE$中利用$\tan A$的值计算$DE$。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，$BC=6$，
$\therefore \frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because D$是$AB$的中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=5$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ C=90°$，
又$\because ∠ A=∠ A$，$\therefore △ADE∽ △ACB$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DE}{6}=\frac{5}{8}$，
解得$DE=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，结合了相似三角形的性质进行考查，解题的核心是先利用三角函数求出三角形的边长，再通过公共角得到相似关系求解未知线段，难度适中，是常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据锐角三角函数中正弦的定义，结合已知的$\sin A$和$BC$的长度，求出斜边$AB$的长度，再利用勾股定理求出$AC$的长度；第二步，根据$D$是$AB$中点，计算出$AD$的长度；第三步，由$DE$垂直$AB$可得$∠ ADE=∠ C=90°$，结合公共角$∠ A$，可证$△ ADE∽△ ACB$，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出$DE$的长度，也可直接在$\mathrm{Rt}△ADE$中利用$\tan A$的值计算$DE$。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，$BC=6$，
$\therefore \frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because D$是$AB$的中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=5$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ C=90°$，
又$\because ∠ A=∠ A$，$\therefore △ADE∽ △ACB$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DE}{6}=\frac{5}{8}$，
解得$DE=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，结合了相似三角形的性质进行考查，解题的核心是先利用三角函数求出三角形的边长，再通过公共角得到相似关系求解未知线段，难度适中，是常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，某梯子长10 m，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为$α$时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处。现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为$β$。已知$\sin α = \cos β = \frac{3}{5}$，则梯子顶端上升了（
A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
C
）A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
答案
6. C
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是抓住梯子长度始终为10m这一不变量。首先利用正弦的定义，求出梯子与地面夹角为α时顶端距离地面的高度；再根据已知的cosβ，用同角三角函数的平方关系求出sinβ，结合正弦定义求出夹角为β时顶端的高度；最后将两个高度作差，即可得到顶端上升的距离。
【解析】
解：已知梯子长度恒为10m。
1. 当梯子与地面夹角为α时，顶端高度为$h_1$，根据正弦的定义：
$h_1 = 10×\sinα$，代入$\sinα=\frac{3}{5}$，得$h_1=10×\frac{3}{5}=6\ \mathrm{m}$。
2. 当梯子与地面夹角为β时，β为锐角，根据同角三角函数基本关系$\sin^2β+\cos^2β=1$：
$\sinβ=\sqrt{1-\cos^2β}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$，此时顶端高度$h_2=10×\sinβ=10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{m}$。
3. 顶端上升的高度为$h_2-h_1=8-6=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形应用，同角三角函数关系，三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，结合三角函数相关性质计算即可，解题思路清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是抓住梯子长度始终为10m这一不变量。首先利用正弦的定义，求出梯子与地面夹角为α时顶端距离地面的高度；再根据已知的cosβ，用同角三角函数的平方关系求出sinβ，结合正弦定义求出夹角为β时顶端的高度；最后将两个高度作差，即可得到顶端上升的距离。
【解析】
解：已知梯子长度恒为10m。
1. 当梯子与地面夹角为α时，顶端高度为$h_1$，根据正弦的定义：
$h_1 = 10×\sinα$，代入$\sinα=\frac{3}{5}$，得$h_1=10×\frac{3}{5}=6\ \mathrm{m}$。
2. 当梯子与地面夹角为β时，β为锐角，根据同角三角函数基本关系$\sin^2β+\cos^2β=1$：
$\sinβ=\sqrt{1-\cos^2β}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$，此时顶端高度$h_2=10×\sinβ=10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{m}$。
3. 顶端上升的高度为$h_2-h_1=8-6=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形应用，同角三角函数关系，三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，结合三角函数相关性质计算即可，解题思路清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.7
7.[方程思想]如图，甲建筑物AD与乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从点E(点A，E，B在同一条水平线上)测得点D的仰角为30°，测得点C的仰角为60°，则这两座建筑物顶端C，D间的距离为
$20 \sqrt{39}$
m.(结果保留根号)答案
7. $20 \sqrt{39}$
解析
【分析】
本题是仰角背景下的解直角三角形问题，可采用方程思想求解：第一步，设甲建筑物高度AD为x m，根据题意得乙建筑物高度BC=6x m，设AE=a m，则EB=(90-a)m；第二步，分别在Rt△ADE、Rt△BCE中利用30°、60°的正切值列方程，解出x的值；第三步，过D作BC的垂线构造直角三角形，结合矩形的性质得到直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理求出CD的长度。
【解析】
解：设AD = x m，则BC = 6x m，设AE = a m，则EB = (90 - a)m。
在Rt△ADE中，∠DAE=90°，∠DEA=30°，
∵ $\tan30° = \frac{AD}{AE}$，
∴ $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{a}$，即$a = \sqrt{3}x$。
在Rt△BCE中，∠CBE=90°，∠CEB=60°，
∵ $\tan60° = \frac{BC}{EB}$，
∴ $\sqrt{3} = \frac{6x}{90 - a}$。
将$a = \sqrt{3}x$代入上式得：
$\sqrt{3}(90 - \sqrt{3}x) = 6x$
$90\sqrt{3} - 3x = 6x$
解得$x = 10\sqrt{3}$。
过点D作DF⊥BC于点F，
则四边形ABFD为矩形，
∴ DF = AB = 90 m，CF = BC - AD = 6x - x = 5x = $50\sqrt{3}$ m。
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DF^2 + CF^2} = \sqrt{90^2 + (50\sqrt{3})^2} = \sqrt{8100 + 7500} = \sqrt{15600} = 20\sqrt{39}$（m）。
【答案】
$20 \sqrt{39}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 勾股定理
3. 锐角三角函数
【点评】
本题结合仰角场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是合理设未知数列方程求出建筑物高度，再通过构造直角三角形将所求线段转化为直角三角形的斜边求解，渗透了方程思想与转化思想。
【难度系数】
0.6
本题是仰角背景下的解直角三角形问题，可采用方程思想求解：第一步，设甲建筑物高度AD为x m，根据题意得乙建筑物高度BC=6x m，设AE=a m，则EB=(90-a)m；第二步，分别在Rt△ADE、Rt△BCE中利用30°、60°的正切值列方程，解出x的值；第三步，过D作BC的垂线构造直角三角形，结合矩形的性质得到直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理求出CD的长度。
【解析】
解：设AD = x m，则BC = 6x m，设AE = a m，则EB = (90 - a)m。
在Rt△ADE中，∠DAE=90°，∠DEA=30°，
∵ $\tan30° = \frac{AD}{AE}$，
∴ $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{a}$，即$a = \sqrt{3}x$。
在Rt△BCE中，∠CBE=90°，∠CEB=60°，
∵ $\tan60° = \frac{BC}{EB}$，
∴ $\sqrt{3} = \frac{6x}{90 - a}$。
将$a = \sqrt{3}x$代入上式得：
$\sqrt{3}(90 - \sqrt{3}x) = 6x$
$90\sqrt{3} - 3x = 6x$
解得$x = 10\sqrt{3}$。
过点D作DF⊥BC于点F，
则四边形ABFD为矩形，
∴ DF = AB = 90 m，CF = BC - AD = 6x - x = 5x = $50\sqrt{3}$ m。
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DF^2 + CF^2} = \sqrt{90^2 + (50\sqrt{3})^2} = \sqrt{8100 + 7500} = \sqrt{15600} = 20\sqrt{39}$（m）。
【答案】
$20 \sqrt{39}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 勾股定理
3. 锐角三角函数
【点评】
本题结合仰角场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是合理设未知数列方程求出建筑物高度，再通过构造直角三角形将所求线段转化为直角三角形的斜边求解，渗透了方程思想与转化思想。
【难度系数】
0.6
8. 如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°。已知树高EF=6 m，求DF的长及教学楼AB的高度。(结果保留一位小数，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73,\sin53°\approx\frac{4}{5},\cos53°\approx\frac{3}{5},\tan53°\approx\frac{4}{3}$)
答案
8. DF 的长约为 4.5 m,教学楼 AB 的高度约为19.8 m.
解析
【分析】
解题时首先明确AB、EF、CD均垂直于水平地面BD，三者互相平行，可得俯角α与∠EBF相等，仰角β与∠EDF相等。解题思路如下：①先在Rt△EFD中，利用已知的EF长度和∠EDF的正切值，求出DF的长度；②再在Rt△BEF中，利用EF长度和∠EBF的正切值求出BF的长度，得到BD的总长度；③最后在Rt△ABD中，利用BD的长度和∠ADB的正切值求出AB的高度即可。
【解析】
解：由题意可知AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，
∴∠EFB=∠EFD=∠ABD=90°，
∵从C处看B点的俯角α=30°，CD//EF，
∴∠EBF=α=30°，
∵从D处看A点的仰角β=53°，
∴∠EDF=β=53°。
1. 求DF的长：
在Rt△EFD中，$\tan∠ EDF=\frac{EF}{DF}$，
已知EF=6m，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，
代入得：$DF=\frac{EF}{\tan53°}=\frac{6}{\frac{4}{3}}=4.5\ \mathrm{m}$。
2. 求AB的高度：
在Rt△BEF中，$\tan∠ EBF=\frac{EF}{BF}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入得：$BF=\frac{EF}{\tan30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}\approx6×1.73=10.38\ \mathrm{m}$，
∴$BD=BF+DF\approx10.38+4.5=14.88\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABD中，$\tan∠ ADB=\frac{AB}{BD}$，
代入得：$AB=BD·\tan53°\approx14.88×\frac{4}{3}\approx19.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
DF的长约为4.5 m，教学楼AB的高度约为19.8 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，平行线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，核心是结合仰角、俯角的定义找准对应直角三角形中的已知角，再利用锐角三角函数建立边的关系求解，解题时注意边和角的对应关系不要混淆，计算时按要求保留近似值即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确AB、EF、CD均垂直于水平地面BD，三者互相平行，可得俯角α与∠EBF相等，仰角β与∠EDF相等。解题思路如下：①先在Rt△EFD中，利用已知的EF长度和∠EDF的正切值，求出DF的长度；②再在Rt△BEF中，利用EF长度和∠EBF的正切值求出BF的长度，得到BD的总长度；③最后在Rt△ABD中，利用BD的长度和∠ADB的正切值求出AB的高度即可。
【解析】
解：由题意可知AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，
∴∠EFB=∠EFD=∠ABD=90°，
∵从C处看B点的俯角α=30°，CD//EF，
∴∠EBF=α=30°，
∵从D处看A点的仰角β=53°，
∴∠EDF=β=53°。
1. 求DF的长：
在Rt△EFD中，$\tan∠ EDF=\frac{EF}{DF}$，
已知EF=6m，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，
代入得：$DF=\frac{EF}{\tan53°}=\frac{6}{\frac{4}{3}}=4.5\ \mathrm{m}$。
2. 求AB的高度：
在Rt△BEF中，$\tan∠ EBF=\frac{EF}{BF}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入得：$BF=\frac{EF}{\tan30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}\approx6×1.73=10.38\ \mathrm{m}$，
∴$BD=BF+DF\approx10.38+4.5=14.88\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABD中，$\tan∠ ADB=\frac{AB}{BD}$，
代入得：$AB=BD·\tan53°\approx14.88×\frac{4}{3}\approx19.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
DF的长约为4.5 m，教学楼AB的高度约为19.8 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，平行线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，核心是结合仰角、俯角的定义找准对应直角三角形中的已知角，再利用锐角三角函数建立边的关系求解，解题时注意边和角的对应关系不要混淆，计算时按要求保留近似值即可。
【难度系数】
0.7
