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1. 新情境 [2024 常州中考] 如图,在纸上画有$∠ AOB$,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点$P$在$∠ AOB$的平分线上,则(
A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
A
)A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等。首先明确题图中d₁是点P到∠AOB的边OB的垂直距离，d₂是点P到∠AOB的边OA的垂直距离，已知P在∠AOB的平分线上，结合角平分线的性质即可判断d₁和d₂的关系；而l₁、l₂没有对应的相等判定条件，无法确定二者大小关系，据此即可选出正确选项。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等。
由题图可知：d₁是点P到∠AOB的边OB的垂直距离，d₂是点P到∠AOB的边OA的垂直距离。
已知点P在∠AOB的平分线上，因此可得d₁=d₂，即d₁与d₂一定相等。
题图中没有给出能够判定l₁和l₂相等的相关条件，无法确定l₁与l₂的大小关系。
综上，选项A正确，B、C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合直尺摆放的实际情境考查角平分线的性质，解题核心是准确识别d₁、d₂的几何意义，对应角平分线上的点到角两边的距离，属于对基础性质的应用考查，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等。首先明确题图中d₁是点P到∠AOB的边OB的垂直距离，d₂是点P到∠AOB的边OA的垂直距离，已知P在∠AOB的平分线上，结合角平分线的性质即可判断d₁和d₂的关系；而l₁、l₂没有对应的相等判定条件，无法确定二者大小关系，据此即可选出正确选项。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等。
由题图可知：d₁是点P到∠AOB的边OB的垂直距离，d₂是点P到∠AOB的边OA的垂直距离。
已知点P在∠AOB的平分线上，因此可得d₁=d₂，即d₁与d₂一定相等。
题图中没有给出能够判定l₁和l₂相等的相关条件，无法确定l₁与l₂的大小关系。
综上，选项A正确，B、C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合直尺摆放的实际情境考查角平分线的性质，解题核心是准确识别d₁、d₂的几何意义，对应角平分线上的点到角两边的距离，属于对基础性质的应用考查，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. [2026 扬州仪征期中] 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP的长的最小值为
3
.答案
∵ BD ⊥ CD, ∠A = 90°,
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°,∠CBD + ∠C = 90°.
∵ ∠ADB = ∠C,
∴ ∠ABD = ∠CBD. 由“垂线段最短”得,当 DP ⊥ BC 时,DP 的长最小,此时由角平分线的性质,得 DP = AD = 3.
解析
【分析】
要求DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可确定当DP⊥BC时，DP的长度最小；接下来需要推导DP和已知线段AD的数量关系，结合已知∠A=90°、BD⊥CD，且∠ADB=∠C，利用等角的余角相等可推出∠ABD=∠CBD，即BD是∠ABC的角平分线；最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，AD是点D到AB的距离，DP是点D到BC的距离，即可得出DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
∵ BD ⊥ CD, ∠A = 90°,
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°,∠CBD + ∠C = 90°.
∵ ∠ADB = ∠C,
∴ ∠ABD = ∠CBD，即BD平分∠ABC.
根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP的长最小。
由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得此时DP = AD = 3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；等角的余角相等
【点评】
本题将线段最值问题与角平分线性质相结合，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的等量关系证明BD为角平分线，进而利用性质求解，能有效考查对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可确定当DP⊥BC时，DP的长度最小；接下来需要推导DP和已知线段AD的数量关系，结合已知∠A=90°、BD⊥CD，且∠ADB=∠C，利用等角的余角相等可推出∠ABD=∠CBD，即BD是∠ABC的角平分线；最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，AD是点D到AB的距离，DP是点D到BC的距离，即可得出DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
∵ BD ⊥ CD, ∠A = 90°,
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°,∠CBD + ∠C = 90°.
∵ ∠ADB = ∠C,
∴ ∠ABD = ∠CBD，即BD平分∠ABC.
根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP的长最小。
由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得此时DP = AD = 3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；等角的余角相等
【点评】
本题将线段最值问题与角平分线性质相结合，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的等量关系证明BD为角平分线，进而利用性质求解，能有效考查对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. [2026 常州金坛区期中] 如图,AD 是$△ ABC$的角平分线,$DH ⊥ AC$,垂足为 H. 若$DH=2,AB=6$,则$△ ABD$的面积是
6
.答案
过点 D 作 DM ⊥ AB 于点 M.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,DH ⊥ AC,DH = 2,
∴ DM = DH = 2.
∵ AB = 6,
∴ S_△ABD = 1/2 AB · DM = 1/2 ×6 ×2 =6.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,DH ⊥ AC,DH = 2,
∴ DM = DH = 2.
∵ AB = 6,
∴ S_△ABD = 1/2 AB · DM = 1/2 ×6 ×2 =6.
解析
【分析】
要计算$△ ABD$的面积，已知底$AB=6$，根据三角形面积公式，只需求出$AB$边上的高即可。已知$AD$是$△ ABC$的角平分线，$DH⊥ AC$且$DH=2$，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点$D$作$AB$的垂线，得到的垂线段长度就等于$DH$的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
过点$D$作$DM⊥ AB$于点$M$。
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线，$DH⊥ AC$，$DH=2$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得$DM=DH=2$。
又$\because AB=6$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM=\frac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合角平分线的性质构造出$△ ABD$中$AB$边上的高，熟练掌握角平分线的性质是快速解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
要计算$△ ABD$的面积，已知底$AB=6$，根据三角形面积公式，只需求出$AB$边上的高即可。已知$AD$是$△ ABC$的角平分线，$DH⊥ AC$且$DH=2$，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点$D$作$AB$的垂线，得到的垂线段长度就等于$DH$的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
过点$D$作$DM⊥ AB$于点$M$。
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线，$DH⊥ AC$，$DH=2$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得$DM=DH=2$。
又$\because AB=6$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM=\frac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合角平分线的性质构造出$△ ABD$中$AB$边上的高，熟练掌握角平分线的性质是快速解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
4. 如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN. 
答案
证明:
∵ BD 为∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中,
∵ AB = CB,∠ABD = ∠CBD,BD = BD,
∴ △ABD≌△CBD(SAS),
∴ ∠ADB = ∠CDB,
∴ DB 平分∠ADC.
又
∵ 点 P 在 BD 上,PM ⊥ AD,PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.
∵ BD 为∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中,
∵ AB = CB,∠ABD = ∠CBD,BD = BD,
∴ △ABD≌△CBD(SAS),
∴ ∠ADB = ∠CDB,
∴ DB 平分∠ADC.
又
∵ 点 P 在 BD 上,PM ⊥ AD,PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.
解析
【分析】
要证明PM=PN，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，只需先证明BD是∠ADC的平分线，即∠ADB=∠CDB。要得到这组角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又已知AB=BC，且BD是两个三角形的公共边，满足SAS全等的判定条件，即可证得两三角形全等，进而得到对应角∠ADB=∠CDB，最终结合角平分线的性质即可得证结论。
【解析】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = CB\\∠ABD = ∠CBD\\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD≌△CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即DB平分∠ADC。
又
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN。
【答案】
证明:
∵ BD 为∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中,
∵ AB = CB,∠ABD = ∠CBD,BD = BD,
∴ △ABD≌△CBD(SAS),
∴ ∠ADB = ∠CDB,
∴ DB 平分∠ADC.
又
∵ 点 P 在 BD 上,PM ⊥ AD,PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，结合了全等三角形和角平分线的相关知识考查，解题的关键是先通过全等证明得到角相等，再利用角平分线的性质推导线段相等，逻辑链条清晰，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，只需先证明BD是∠ADC的平分线，即∠ADB=∠CDB。要得到这组角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又已知AB=BC，且BD是两个三角形的公共边，满足SAS全等的判定条件，即可证得两三角形全等，进而得到对应角∠ADB=∠CDB，最终结合角平分线的性质即可得证结论。
【解析】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = CB\\∠ABD = ∠CBD\\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD≌△CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即DB平分∠ADC。
又
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN。
【答案】
证明:
∵ BD 为∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中,
∵ AB = CB,∠ABD = ∠CBD,BD = BD,
∴ △ABD≌△CBD(SAS),
∴ ∠ADB = ∠CDB,
∴ DB 平分∠ADC.
又
∵ 点 P 在 BD 上,PM ⊥ AD,PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，结合了全等三角形和角平分线的相关知识考查，解题的关键是先通过全等证明得到角相等，再利用角平分线的性质推导线段相等，逻辑链条清晰，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. [2026 泰州姜堰区期中] 三条直线两两相交有三个交点,到这三条直线距离都相等的点有
4
个.答案
到三条直线的距离相等的点有4个,即三个内角的平分线的交点有1个,相邻两个外角的平分线的交点有3个.
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要找到到三条两两相交直线距离都相等的点，本质是找同时在每两条直线所成角的平分线上的点。首先三条直线两两相交且有三个交点，构成三角形结构：①先考虑三角形内部：三个内角的角平分线会交于同一点，该点到三条直线距离相等；②再考虑三角形外部：直线是无限延伸的，相邻两个外角的角平分线也会交于一点，这类点也满足到三条直线距离相等，共有3个，两类相加即可得到总个数。
【解析】
已知三条直线两两相交有三个交点，说明三条直线不共点，围成一个三角形。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等：
1. 三角形的三个内角的角平分线交于1个点，这个点到三条直线（三角形三边所在直线）的距离都相等；
2. 三角形任意两个相邻外角的角平分线交于1个点，这类点到三条直线的距离也都相等，共有3个这样的点。
所以总共有1+3=4个符合要求的点。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形内外角平分线特征
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，易错点是仅考虑到三角形内部的内角平分线交点，忽略外部外角平分线交点的情况，解题时要注意直线具有无限延伸性，全面分析所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.5
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要找到到三条两两相交直线距离都相等的点，本质是找同时在每两条直线所成角的平分线上的点。首先三条直线两两相交且有三个交点，构成三角形结构：①先考虑三角形内部：三个内角的角平分线会交于同一点，该点到三条直线距离相等；②再考虑三角形外部：直线是无限延伸的，相邻两个外角的角平分线也会交于一点，这类点也满足到三条直线距离相等，共有3个，两类相加即可得到总个数。
【解析】
已知三条直线两两相交有三个交点，说明三条直线不共点，围成一个三角形。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等：
1. 三角形的三个内角的角平分线交于1个点，这个点到三条直线（三角形三边所在直线）的距离都相等；
2. 三角形任意两个相邻外角的角平分线交于1个点，这类点到三条直线的距离也都相等，共有3个这样的点。
所以总共有1+3=4个符合要求的点。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形内外角平分线特征
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，易错点是仅考虑到三角形内部的内角平分线交点，忽略外部外角平分线交点的情况，解题时要注意直线具有无限延伸性，全面分析所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.5
6. [2026 徐州沛县期中] 证明:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知:如图,点P在∠AOB内，
求证:
证明:
已知:如图,点P在∠AOB内，
PC⊥OA于点C
PD⊥OB于点D，PC=PD
.求证:
点P在∠AOB的平分线上
.证明:
答案
连接 OP.
∵ PC ⊥ OA,PD ⊥ OB,
∴ ∠OCP = ∠ODP = 90°.
在 Rt△POC 和 Rt△POD 中,
{PC = PD,
PO = PO,
∴ Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴ ∠COP = ∠DOP,
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
∵ PC ⊥ OA,PD ⊥ OB,
∴ ∠OCP = ∠ODP = 90°.
在 Rt△POC 和 Rt△POD 中,
{PC = PD,
PO = PO,
∴ Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴ ∠COP = ∠DOP,
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
解析
【分析】
这是角平分线判定定理的证明题，首先要明确已知条件和待证结论：已知点P在∠AOB内部，且P到OA、OB的垂线段PC、PD长度相等，要证明点P在∠AOB的平分线上。解题思路是：要证明点在角平分线上，本质是证明该点与角顶点的连线平分∠AOB，即证∠COP=∠DOP，可通过证明两个直角三角形全等推导角相等；连接辅助线OP后，Rt△POC和Rt△POD有公共斜边OP，且已知直角边PC=PD，符合直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后对应角相等，即可完成证明。
【解析】
首先补全已知与求证：
已知：点P在∠AOB内，PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明：
连接OP.
∵ PC ⊥ OA,PD ⊥ OB,
∴ ∠OCP = ∠ODP = 90°.
在 Rt△POC 和 Rt△POD 中,
$\{\begin{array}{l}PC = PD,\\ PO = PO,\end{array} $
∴ Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴ ∠COP = ∠DOP,
即OP平分∠AOB，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上。
【答案】
已知：PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD；
求证：点P在∠AOB的平分线上；
证明：连接OP.
∵ PC ⊥ OA,PD ⊥ OB,
∴ ∠OCP = ∠ODP = 90°.
在 Rt△POC 和 Rt△POD 中,
$\{\begin{array}{l}PC = PD,\\ PO = PO,\end{array} $
∴ Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴ ∠COP = ∠DOP,
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上。
【知识点】
HL全等判定，全等三角形的性质，角平分线判定
【点评】
本题是几何定理证明的基础题，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，利用直角三角形的特殊判定方法推导角相等，能帮助理解几何命题的证明逻辑，掌握角平分线判定的推导过程。
【难度系数】
0.8
这是角平分线判定定理的证明题，首先要明确已知条件和待证结论：已知点P在∠AOB内部，且P到OA、OB的垂线段PC、PD长度相等，要证明点P在∠AOB的平分线上。解题思路是：要证明点在角平分线上，本质是证明该点与角顶点的连线平分∠AOB，即证∠COP=∠DOP，可通过证明两个直角三角形全等推导角相等；连接辅助线OP后，Rt△POC和Rt△POD有公共斜边OP，且已知直角边PC=PD，符合直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后对应角相等，即可完成证明。
【解析】
首先补全已知与求证：
已知：点P在∠AOB内，PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明：
连接OP.
∵ PC ⊥ OA,PD ⊥ OB,
∴ ∠OCP = ∠ODP = 90°.
在 Rt△POC 和 Rt△POD 中,
$\{\begin{array}{l}PC = PD,\\ PO = PO,\end{array} $
∴ Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴ ∠COP = ∠DOP,
即OP平分∠AOB，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上。
【答案】
已知：PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD；
求证：点P在∠AOB的平分线上；
证明：连接OP.
∵ PC ⊥ OA,PD ⊥ OB,
∴ ∠OCP = ∠ODP = 90°.
在 Rt△POC 和 Rt△POD 中,
$\{\begin{array}{l}PC = PD,\\ PO = PO,\end{array} $
∴ Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴ ∠COP = ∠DOP,
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上。
【知识点】
HL全等判定，全等三角形的性质，角平分线判定
【点评】
本题是几何定理证明的基础题，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，利用直角三角形的特殊判定方法推导角相等，能帮助理解几何命题的证明逻辑，掌握角平分线判定的推导过程。
【难度系数】
0.8
7. 新趋势·尺规作图 [2026无锡江阴期中]如图，七年级和八年级有两个班的学生在M，N处参加植树活动，要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到AB，AC两条道路的距离相等，而且要使PM = PN，请你用尺规作图的方法找出P点.（不写画法，但保留作图痕迹）
答案
如图,点 P 即为所求.
解析
【分析】
要找到同时满足两个条件的点P，可分别分析每个条件对应的点的轨迹：①要求P到AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P一定在∠BAC的角平分线上；②要求PM=PN，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点P一定在线段MN的垂直平分线上。两条轨迹的交点即可同时满足两个条件，就是所求的P点。
【解析】
先作∠BAC的角平分线，再作线段MN的垂直平分线，两条线的交点即为满足要求的点P，作图痕迹如参考答案所示。
【答案】
如图,点 P 即为所求.
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是尺规作图的实际应用问题，解题核心是将题目中的距离条件转化为对应的几何轨迹，通过找两个轨迹的交点确定所求点，需要熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本尺规作图方法。
【难度系数】
0.7
要找到同时满足两个条件的点P，可分别分析每个条件对应的点的轨迹：①要求P到AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P一定在∠BAC的角平分线上；②要求PM=PN，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点P一定在线段MN的垂直平分线上。两条轨迹的交点即可同时满足两个条件，就是所求的P点。
【解析】
先作∠BAC的角平分线，再作线段MN的垂直平分线，两条线的交点即为满足要求的点P，作图痕迹如参考答案所示。
【答案】
如图,点 P 即为所求.
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是尺规作图的实际应用问题，解题核心是将题目中的距离条件转化为对应的几何轨迹，通过找两个轨迹的交点确定所求点，需要熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本尺规作图方法。
【难度系数】
0.7
8. [2026 徐州邳州期中] 如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA = CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD = BE. (1)求证:OC平分∠MON；(2)若AO =14，BO =6，求AD的长. 
答案
(1)证明:
∵ CD ⊥ OM,CE ⊥ ON,
∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中,{AC = BC,
AD = BE,
∴ Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),
∴ CD = CE.
又
∵ CD ⊥ OM,CE ⊥ ON,
∴ OC 平分∠MON.
(2)解:由(1),知 OC 平分∠MON,
∴ ∠COD = ∠COE.
∵ CD ⊥ OM,CE ⊥ ON,
∴ ∠ODC = ∠OEC = 90°.
又
∵ ∠COD + ∠ODC + ∠OCD = 180°,∠COE + ∠OEC + ∠OCE = 180°,
∴ ∠OCD = ∠OCE,
∴ CO 平分∠DCE.
又
∵ OM ⊥ CD,ON ⊥ CE,
∴ OD = OE,
∴ AO - AD = OB + BE.
∵ AO =14,BO =6,
∴ 14 - AD =6 + AD,
∴ AD =4.
∵ CD ⊥ OM,CE ⊥ ON,
∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中,{AC = BC,
AD = BE,
∴ Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),
∴ CD = CE.
又
∵ CD ⊥ OM,CE ⊥ ON,
∴ OC 平分∠MON.
(2)解:由(1),知 OC 平分∠MON,
∴ ∠COD = ∠COE.
∵ CD ⊥ OM,CE ⊥ ON,
∴ ∠ODC = ∠OEC = 90°.
又
∵ ∠COD + ∠ODC + ∠OCD = 180°,∠COE + ∠OEC + ∠OCE = 180°,
∴ ∠OCD = ∠OCE,
∴ CO 平分∠DCE.
又
∵ OM ⊥ CD,ON ⊥ CE,
∴ OD = OE,
∴ AO - AD = OB + BE.
∵ AO =14,BO =6,
∴ 14 - AD =6 + AD,
∴ AD =4.
解析
【分析】
（1）要证明OC平分∠MON，根据角平分线的判定定理，需证明点C到OM、ON的距离相等，即CD=CE。已知△ADC和△BEC均为直角三角形，且给出AC=BC、AD=BE，可通过HL定理证明两直角三角形全等，得到CD=CE，即可完成证明。
（2）求AD的长度时，先由OC平分∠MON，结合CD⊥OM、CE⊥ON，可推出OD=OE。再根据线段和差关系：OD=AO-AD，OE=BO+BE，结合第一问全等可得AD=BE，将BE替换为AD后代入已知的AO、BO长度，列方程即可求解AD的值。
【解析】
(1)证明：
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°。
在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC\\AD = BE\end{array} $
∴ Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴ CD = CE。
又
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ OC 平分∠MON。
(2)解：由(1)知 OC 平分∠MON，
∴ ∠COD = ∠COE。
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ ∠ODC = ∠OEC = 90°。
∵ ∠COD + ∠ODC + ∠OCD = 180°，∠COE + ∠OEC + ∠OCE = 180°，
∴ ∠OCD = ∠OCE。
又
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ OD = OE，
∴ AO - AD = OB + BE。
由(1)中Rt△ADC≌Rt△BEC可得AD=BE，
∵ AO =14，BO =6，
∴ 14 - AD =6 + AD，
解得AD =4。
【答案】
(1)OC平分∠MON得证；(2)AD的长为4
【知识点】
HL全等判定，角平分线的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关的常规综合题，侧重考查全等三角形的判定与性质的应用，第二问通过线段的和差关系建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明OC平分∠MON，根据角平分线的判定定理，需证明点C到OM、ON的距离相等，即CD=CE。已知△ADC和△BEC均为直角三角形，且给出AC=BC、AD=BE，可通过HL定理证明两直角三角形全等，得到CD=CE，即可完成证明。
（2）求AD的长度时，先由OC平分∠MON，结合CD⊥OM、CE⊥ON，可推出OD=OE。再根据线段和差关系：OD=AO-AD，OE=BO+BE，结合第一问全等可得AD=BE，将BE替换为AD后代入已知的AO、BO长度，列方程即可求解AD的值。
【解析】
(1)证明：
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°。
在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC\\AD = BE\end{array} $
∴ Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴ CD = CE。
又
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ OC 平分∠MON。
(2)解：由(1)知 OC 平分∠MON，
∴ ∠COD = ∠COE。
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ ∠ODC = ∠OEC = 90°。
∵ ∠COD + ∠ODC + ∠OCD = 180°，∠COE + ∠OEC + ∠OCE = 180°，
∴ ∠OCD = ∠OCE。
又
∵ CD ⊥ OM，CE ⊥ ON，
∴ OD = OE，
∴ AO - AD = OB + BE。
由(1)中Rt△ADC≌Rt△BEC可得AD=BE，
∵ AO =14，BO =6，
∴ 14 - AD =6 + AD，
解得AD =4。
【答案】
(1)OC平分∠MON得证；(2)AD的长为4
【知识点】
HL全等判定，角平分线的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关的常规综合题，侧重考查全等三角形的判定与性质的应用，第二问通过线段的和差关系建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
