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一、选择题
1.下列关于矩形的说法中，正确的是 （
A.对角线相等的四边形是矩形
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
1.下列关于矩形的说法中，正确的是 （
B
）A.对角线相等的四边形是矩形
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查矩形的性质与判定相关知识，解题时先回忆矩形的性质、判定定理以及平行四边形、其他特殊四边形的相关性质，再逐一判断每个选项的正误即可。首先明确：矩形的性质为对角线相等且互相平分，矩形的判定需满足平行四边形的前提再加上对角线相等或有一个角是直角，仅对角线相等或仅互相平分都不能判定是矩形，同时要注意区分矩形和菱形的对角线特征。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但它不属于矩形，故A错误；
B. 根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，故B正确；
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故C错误；
D. 矩形的对角线互相平分且相等，一般的矩形对角线不互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才互相垂直，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对矩形相关性质和判定的掌握，解题的关键是区分矩形与其他特殊四边形的性质差异，避免混淆不同图形的对角线特征。
【难度系数】
0.8
本题考查矩形的性质与判定相关知识，解题时先回忆矩形的性质、判定定理以及平行四边形、其他特殊四边形的相关性质，再逐一判断每个选项的正误即可。首先明确：矩形的性质为对角线相等且互相平分，矩形的判定需满足平行四边形的前提再加上对角线相等或有一个角是直角，仅对角线相等或仅互相平分都不能判定是矩形，同时要注意区分矩形和菱形的对角线特征。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但它不属于矩形，故A错误；
B. 根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，故B正确；
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故C错误；
D. 矩形的对角线互相平分且相等，一般的矩形对角线不互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才互相垂直，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对矩形相关性质和判定的掌握，解题的关键是区分矩形与其他特殊四边形的性质差异，避免混淆不同图形的对角线特征。
【难度系数】
0.8
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是 (
A.AB=CD
B.OA=OC,OB=OD
C.AC⊥BD
D.AB//CD,AD=BC
B
)A.AB=CD
B.OA=OC,OB=OD
C.AC⊥BD
D.AB//CD,AD=BC
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确矩形的核心判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。题目已经给出对角线AC=BD，因此我们只需要找到能判定四边形ABCD是平行四边形的选项，再结合已知条件即可判定为矩形，解题时要注意排除等腰梯形这类也满足对角线相等的特殊四边形的干扰。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：AB=CD，结合已知AC=BD，四边形可能是等腰梯形（等腰梯形两腰相等、对角线相等），无法判定是平行四边形，因此不能判定为矩形，不符合要求。
B选项：OA=OC，OB=OD，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先判定四边形ABCD是平行四边形，又已知AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定该四边形是矩形，符合要求。
C选项：AC⊥BD，仅添加对角线垂直的条件，既不能判定是平行四边形，且矩形的对角线仅要求相等，无需垂直，因此无法判定为矩形，不符合要求。
D选项：AB//CD，AD=BC，四边形可能是等腰梯形（等腰梯形一组对边平行、另一组对边相等、对角线相等），无法判定是平行四边形，因此不能判定为矩形，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；等腰梯形的性质
【点评】
本题考查矩形的判定，解题的关键是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”，不能忽略“平行四边形”这个前提条件，做题时要注意区分等腰梯形和矩形的共性与差异，避免误选。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确矩形的核心判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。题目已经给出对角线AC=BD，因此我们只需要找到能判定四边形ABCD是平行四边形的选项，再结合已知条件即可判定为矩形，解题时要注意排除等腰梯形这类也满足对角线相等的特殊四边形的干扰。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：AB=CD，结合已知AC=BD，四边形可能是等腰梯形（等腰梯形两腰相等、对角线相等），无法判定是平行四边形，因此不能判定为矩形，不符合要求。
B选项：OA=OC，OB=OD，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先判定四边形ABCD是平行四边形，又已知AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定该四边形是矩形，符合要求。
C选项：AC⊥BD，仅添加对角线垂直的条件，既不能判定是平行四边形，且矩形的对角线仅要求相等，无需垂直，因此无法判定为矩形，不符合要求。
D选项：AB//CD，AD=BC，四边形可能是等腰梯形（等腰梯形一组对边平行、另一组对边相等、对角线相等），无法判定是平行四边形，因此不能判定为矩形，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；等腰梯形的性质
【点评】
本题考查矩形的判定，解题的关键是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”，不能忽略“平行四边形”这个前提条件，做题时要注意区分等腰梯形和矩形的共性与差异，避免误选。
【难度系数】
0.7
3.两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2= （
A.$α - 90°$
B.$α - 45°$
C.$180° - α$
D.$270° - α$
C
）A.$α - 90°$
B.$α - 45°$
C.$180° - α$
D.$270° - α$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：矩形的四个内角都是90°，四边形内角和为360°，对顶角相等。我们可以先观察两个矩形重叠形成的四边形，找到该四边形的内角和∠1、∠2的关系：其中两个内角是矩形的内角，均为90°，剩下两个内角分别和∠1、∠2是对顶角，大小相等，再代入四边形内角和公式就能求出∠2的大小。
【解析】
设两个矩形相交形成的四边形中，两个内角分别为两个矩形的内角，根据矩形的性质，这两个角均为90°。
根据对顶角相等，该四边形剩下的两个内角分别等于∠1和∠2。
已知四边形内角和为360°，因此有：
$∠1 + ∠2 + 90° + 90° = 360°$
将$∠1=α$代入上式，得：
$α + ∠2 + 180° = 360°$
解得$∠2=180°-α$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、四边形内角和、对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是找到未知角和已知角的等量关系，结合矩形性质和内角和公式即可求解，有助于巩固多边形角的相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相关性质：矩形的四个内角都是90°，四边形内角和为360°，对顶角相等。我们可以先观察两个矩形重叠形成的四边形，找到该四边形的内角和∠1、∠2的关系：其中两个内角是矩形的内角，均为90°，剩下两个内角分别和∠1、∠2是对顶角，大小相等，再代入四边形内角和公式就能求出∠2的大小。
【解析】
设两个矩形相交形成的四边形中，两个内角分别为两个矩形的内角，根据矩形的性质，这两个角均为90°。
根据对顶角相等，该四边形剩下的两个内角分别等于∠1和∠2。
已知四边形内角和为360°，因此有：
$∠1 + ∠2 + 90° + 90° = 360°$
将$∠1=α$代入上式，得：
$α + ∠2 + 180° = 360°$
解得$∠2=180°-α$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、四边形内角和、对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是找到未知角和已知角的等量关系，结合矩形性质和内角和公式即可求解，有助于巩固多边形角的相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
4.如图,顺次连接四边形ABCD各边的中点,若得到的四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD一定满足
(
A.$AB=CD$
B.$AC=BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AD// BC$
(
C
)A.$AB=CD$
B.$AC=BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AD// BC$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关定理：首先，顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，中点四边形的边分别与原四边形的两条对角线平行，这是由三角形中位线定理推导得到的。其次，矩形的核心性质是邻边互相垂直，因此我们只需要将中点四边形邻边垂直的关系转化为原四边形对角线的位置关系即可得到答案。
【解析】
已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理可得：
$EF// AC$，$EH// BD$，因此四边形EFGH是平行四边形。
若平行四边形EFGH为矩形，则矩形的邻边互相垂直，即$EF⊥ EH$。
结合$EF// AC$、$EH// BD$，由平行线的性质可推出$AC⊥ BD$。
因此四边形ABCD一定满足$AC⊥ BD$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的性质；中点四边形
【点评】
本题考查中点四边形形状与原四边形对角线的关系，解题核心是通过中位线定理建立中点四边形和原四边形对角线的关联，再结合矩形的性质推导结论，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件回忆相关定理：首先，顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，中点四边形的边分别与原四边形的两条对角线平行，这是由三角形中位线定理推导得到的。其次，矩形的核心性质是邻边互相垂直，因此我们只需要将中点四边形邻边垂直的关系转化为原四边形对角线的位置关系即可得到答案。
【解析】
已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理可得：
$EF// AC$，$EH// BD$，因此四边形EFGH是平行四边形。
若平行四边形EFGH为矩形，则矩形的邻边互相垂直，即$EF⊥ EH$。
结合$EF// AC$、$EH// BD$，由平行线的性质可推出$AC⊥ BD$。
因此四边形ABCD一定满足$AC⊥ BD$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的性质；中点四边形
【点评】
本题考查中点四边形形状与原四边形对角线的关系，解题核心是通过中位线定理建立中点四边形和原四边形对角线的关联，再结合矩形的性质推导结论，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.7
5.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B'的位置,AB'与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为 （
A.11
B.16
C.19
D.22
D
）A.11
B.16
C.19
D.22
答案
5.D
解析
【分析】
首先明确阴影部分的周长是两个阴影三角形的周长之和，解题核心是利用折叠性质和矩形性质做线段的等量转化，不需要单独计算每条未知小边的长度。第一步回忆折叠性质：折叠前后对应边长度相等；第二步回忆矩形性质：矩形对边长度相等；第三步将阴影周长的各条边重组，转化为已知的矩形边长的和，即可快速算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=3。
由折叠的性质可得：$AB'=AB=8$，$B'C=BC=3$。
阴影部分的周长为$△ ADE$与$△ B'EC$的周长之和，即：
$C_{\mathrm{阴影}} = AD + DE + AE + EC + B'E + B'C$
对线段进行重组：
$= AD + B'C + (DE + EC) + (AE + B'E)$
其中$DE+EC=CD=8$，$AE+B'E=AB'=8$，代入数值计算：
$= 3 + 3 + 8 + 8 = 22$
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，周长计算
【点评】
本题重点考查几何变换中的线段等量转化能力，解题时无需单独求解各未知线段的长度，通过整体代换的思路计算周长即可，能够有效锻炼学生的转化思想和整体思维。
【难度系数】
0.7
首先明确阴影部分的周长是两个阴影三角形的周长之和，解题核心是利用折叠性质和矩形性质做线段的等量转化，不需要单独计算每条未知小边的长度。第一步回忆折叠性质：折叠前后对应边长度相等；第二步回忆矩形性质：矩形对边长度相等；第三步将阴影周长的各条边重组，转化为已知的矩形边长的和，即可快速算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=3。
由折叠的性质可得：$AB'=AB=8$，$B'C=BC=3$。
阴影部分的周长为$△ ADE$与$△ B'EC$的周长之和，即：
$C_{\mathrm{阴影}} = AD + DE + AE + EC + B'E + B'C$
对线段进行重组：
$= AD + B'C + (DE + EC) + (AE + B'E)$
其中$DE+EC=CD=8$，$AE+B'E=AB'=8$，代入数值计算：
$= 3 + 3 + 8 + 8 = 22$
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，周长计算
【点评】
本题重点考查几何变换中的线段等量转化能力，解题时无需单独求解各未知线段的长度，通过整体代换的思路计算周长即可，能够有效锻炼学生的转化思想和整体思维。
【难度系数】
0.7
6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为（
A.$\frac{48}{5}$
B.$\frac{32}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
C
）A.$\frac{48}{5}$
B.$\frac{32}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质计算对角线长度和△AOD的面积，再将△AOD的面积拆分为△AOE和△DOE的面积之和，通过面积相等建立等式即可求出OE+EF的值。第一步用勾股定理求矩形对角线长度，得到AO、OD的长度；第二步计算△AOD的面积；第三步利用两个小三角形面积和等于大三角形面积列方程求解即可。
【解析】
1. 计算矩形面积和对角线长度：
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，则矩形面积$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×8=48$。
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 利用矩形对角线性质求线段长和△AOD的面积：
矩形对角线相等且互相平分，因此$AO=OD=\frac{1}{2}AC=5$，且对角线将矩形分为4个面积相等的三角形，故$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{4}×48=12$。
3. 用面积法列方程求解：
因为$OE⊥AC$，$EF⊥BD$，所以$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}×AO×OE$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}×OD×EF$。
又$S_{△ AOD}=S_{△ AOE}+S_{△ DOE}$，代入已知值可得：
$\frac{1}{2}×5×OE+\frac{1}{2}×5×EF=12$
提取公因式得$\frac{5}{2}(OE+EF)=12$，解得$OE+EF=\frac{24}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题借助面积法求解线段和，简化了分别计算两条线段长度的运算过程，核心是掌握矩形对角线的性质，学会灵活拆分图形面积建立等量关系。
【难度系数】
0.65
解题时先利用矩形的性质计算对角线长度和△AOD的面积，再将△AOD的面积拆分为△AOE和△DOE的面积之和，通过面积相等建立等式即可求出OE+EF的值。第一步用勾股定理求矩形对角线长度，得到AO、OD的长度；第二步计算△AOD的面积；第三步利用两个小三角形面积和等于大三角形面积列方程求解即可。
【解析】
1. 计算矩形面积和对角线长度：
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，则矩形面积$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×8=48$。
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 利用矩形对角线性质求线段长和△AOD的面积：
矩形对角线相等且互相平分，因此$AO=OD=\frac{1}{2}AC=5$，且对角线将矩形分为4个面积相等的三角形，故$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{4}×48=12$。
3. 用面积法列方程求解：
因为$OE⊥AC$，$EF⊥BD$，所以$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}×AO×OE$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}×OD×EF$。
又$S_{△ AOD}=S_{△ AOE}+S_{△ DOE}$，代入已知值可得：
$\frac{1}{2}×5×OE+\frac{1}{2}×5×EF=12$
提取公因式得$\frac{5}{2}(OE+EF)=12$，解得$OE+EF=\frac{24}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题借助面积法求解线段和，简化了分别计算两条线段长度的运算过程，核心是掌握矩形对角线的性质，学会灵活拆分图形面积建立等量关系。
【难度系数】
0.65
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE==3,AF=5,则AC的长为
（
A.$4\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}$
C.10
D.8
（
A
）A.$4\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}$
C.10
D.8
答案
7.A
解析
【分析】
遇到线段的垂直平分线时，优先利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此我们先连接AE；再结合矩形对边平行的性质，证明三角形全等得到CE的长度，进而得到AE、BC的长度，最后两次使用勾股定理分别求出AB、AC的长度即可。
【解析】
连接AE，设AC与EF的交点为O。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=EC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠OAF=∠OCE。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCE\\ OA=OC\\ ∠ AOF=∠ COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴CE=AF=5，
∴AE=EC=5，BC=BE+EC=3+5=8。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的典型题型，解题的关键是通过连接AE构造直角三角形，结合全等三角形求出相关线段长度，再借助勾股定理计算所求线段，难度适中，考查了学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7
遇到线段的垂直平分线时，优先利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此我们先连接AE；再结合矩形对边平行的性质，证明三角形全等得到CE的长度，进而得到AE、BC的长度，最后两次使用勾股定理分别求出AB、AC的长度即可。
【解析】
连接AE，设AC与EF的交点为O。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=EC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠OAF=∠OCE。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCE\\ OA=OC\\ ∠ AOF=∠ COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴CE=AF=5，
∴AE=EC=5，BC=BE+EC=3+5=8。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的典型题型，解题的关键是通过连接AE构造直角三角形，结合全等三角形求出相关线段长度，再借助勾股定理计算所求线段，难度适中，考查了学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7
