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1[中]方程$2y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y-$
$$中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是$y=-\frac{5}{3}$，则这个常数应是（
A.1
B.2
C.3
D.4
$$中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是$y=-\frac{5}{3}$，则这个常数应是（C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C 【解析】设阴影部分表示的数为a. 将$y=-\frac{5}{3}$代入,得$-\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{6}-a$,$-\frac{20}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{5}{6}-a$,两边同时加上$\frac{23}{6}$,得0=3-a,两边同时加上a,得a=3.故选C.
2[2026安徽合肥期末,中]已知有理数a,b,c满足$a+b=ab=c$,则下列结论正确的是（
①若$a=3$,则$b+c=6$;
②若$a=b=c$,则$a+b+c=0$;
③若$a=b=c$,则$abc=0$.
A.①
B.①②
C.①③
D.①②③
D
）①若$a=3$,则$b+c=6$;
②若$a=b=c$,则$a+b+c=0$;
③若$a=b=c$,则$abc=0$.
A.①
B.①②
C.①③
D.①②③
答案
D 【解析】①当a=3时,由a+b=ab得3+b=3b,根据等式的性质1,2可得$b=\frac{3}{2}$,则$c=ab=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$,故$b+c=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6$,正确;②设a=b=c=k,则a+b=2k=c=k,可得k=0,此时a+b+c=0,正确;③因为a=b=c,则由a+b=ab=c可得2a=a²=a,所以a=0,所以abc=0,正确.故选D.
3[2025天津红桥区期末,中]记$2x-1$为$M$,$3x-2$为$N$.我们知道,当这两个代数式中的$x$取某一确定的有理数时,$M$和$N$的值也随之确定,例如当$x=2$时,$M=2x-1=3$.若$x$和$M$,$N$的值如表所示,则$a=$
4
,$c=$1
.答案
4 1 【解析】当x=2时,N=3x-2=3×2-2=4,所以a=4.当x=c时,M=2x-1=2c-1=b,N=3x-2=3c-2=b,所以2c-1=3c-2,所以c=1.
4[中]王老师在黑板上写了一个等式$(m-3)x=5(m-3)$，小明说$x=5$；小刚说不一定，当$x≠5$时，这个等式也可能成立。你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由。
答案
【解】小明的说法错误,小刚的说法正确.
理由如下:
当m-3=0时,x为任意数;
当m-3≠0时,x=5.
理由如下:
当m-3=0时,x为任意数;
当m-3≠0时,x=5.
5[较难]小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化$0.\dot{3}$为分数，方法如下：
设$x = 0.\dot{3}$，即$x = 0.333···$。将方程两边都乘10，得$10x = 3.333···$，即$10x = 3 + 0.333···$。又因为$x = 0.333···$，所以$10x = 3 + x$，所以$9x = 3$，则$x = \frac{1}{3}$，所以$0.\dot{3} = \frac{1}{3}$。
尝试解决下列各题：
(1)把$0.\dot{1}$化成分数为
(2)利用小明的方法，把纯循环小数$0.\dot{1}\dot{6}$化成分数。
设$x = 0.\dot{3}$，即$x = 0.333···$。将方程两边都乘10，得$10x = 3.333···$，即$10x = 3 + 0.333···$。又因为$x = 0.333···$，所以$10x = 3 + x$，所以$9x = 3$，则$x = \frac{1}{3}$，所以$0.\dot{3} = \frac{1}{3}$。
尝试解决下列各题：
(1)把$0.\dot{1}$化成分数为
$\frac{1}{9}$
。(2)利用小明的方法，把纯循环小数$0.\dot{1}\dot{6}$化成分数。
答案
(1)$\frac{1}{9}$
(2)设$x=0.\dot{1}\dot{6}$,即x=0.161 6…. 将方程两边都乘100,得100x=16.161 6…,即100x=16+0.161 6…. 又因为x=0.161 6…,所以100x=16+x,所以99x=16,则$x=\frac{16}{99}$,所以$0.\dot{1}\dot{6}=\frac{16}{99}$.
(2)设$x=0.\dot{1}\dot{6}$,即x=0.161 6…. 将方程两边都乘100,得100x=16.161 6…,即100x=16+0.161 6…. 又因为x=0.161 6…,所以100x=16+x,所以99x=16,则$x=\frac{16}{99}$,所以$0.\dot{1}\dot{6}=\frac{16}{99}$.
6 核心素养运算能力[难]观察下列两个等式:1−$\frac{2}{3}$=2×1×$\frac{2}{3}$−1,2−$\frac{3}{5}$=2×2×$\frac{3}{5}$−1.给出定义如下:我们称使等式$a−b=2ab−1$成立的一对有理数$a,b$为“同心有理数对”,记为$(a,b)$.如:数对$(1,\frac{2}{3}),(2,\frac{3}{5})$都是“同心有理数对”.根据上述材料,解答下列问题:
(1)数对$(−2,1),(3,\frac{4}{7})$中,是“同心有理数对”的是
(2)若$(a,3)$是“同心有理数对”,求$a$的值;
(3)若$(m,n)$是“同心有理数对”,则$(−n,−m)$是否为“同心有理数对”?请说明理由.
(1)数对$(−2,1),(3,\frac{4}{7})$中,是“同心有理数对”的是
$(3,\frac{4}{7})$
;(2)若$(a,3)$是“同心有理数对”,求$a$的值;
(3)若$(m,n)$是“同心有理数对”,则$(−n,−m)$是否为“同心有理数对”?请说明理由.
答案
(1)$(3,\frac{4}{7})$
(2)因为(a,3)是“同心有理数对”,所以a-3=6a-1.
等式两边同时减去a,得a-3-a=6a-a-1.
整理得-3=5a-1.
等式两边同时加上1,得-3+1=5a-1+1.
整理得-2=5a.
等式两边同时除以5,得$a=-\frac{2}{5}$.
(3)是“同心有理数对”.理由如下:
因为(m,n)是“同心有理数对”,所以m-n=2mn-1,而-n-(-m)=-n+m=m-n=2×(-n)×(-m)-1=2mn-1,所以(-n,-m)是“同心有理数对”.
(2)因为(a,3)是“同心有理数对”,所以a-3=6a-1.
等式两边同时减去a,得a-3-a=6a-a-1.
整理得-3=5a-1.
等式两边同时加上1,得-3+1=5a-1+1.
整理得-2=5a.
等式两边同时除以5,得$a=-\frac{2}{5}$.
(3)是“同心有理数对”.理由如下:
因为(m,n)是“同心有理数对”,所以m-n=2mn-1,而-n-(-m)=-n+m=m-n=2×(-n)×(-m)-1=2mn-1,所以(-n,-m)是“同心有理数对”.
