5 [2024威海]同一条公路连接A,B,C三地,B地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变,乙车中途休息一段时间,继续行驶.甲、乙两车之间的距离$y$(km)与时间$x$(h)的函数关系如图所示.下列结论正确的是 ()

A.甲车行驶$\frac{8}{3}$ h与乙车相遇
B.A,C两地相距220 km
C.甲车的速度是70 km/h
D.乙车中途休息36 min

5. A

【分析】
解题时首先明确函数图象的实际意义：x代表行驶时间，y代表甲、乙两车的距离，初始x=0时y=20km对应A、B两地的距离。首先通过2h~3h的图象变化求甲车速度：这段时间乙处于休息状态，1小时内两车距离从乙在前40km变为甲在前20km，可直接算出甲的速度，排除错误选项C；再计算相遇时间：2h后乙静止，甲以求得的速度追乙，结合追及路程算出追及时间，验证选项A；再根据甲全程行驶4h算A、C总距离，排除选项B；最后通过拐点判断乙休息的起止时间，排除选项D。
【解析】
1. 分析初始条件：x=0时，y=20km，即A、B两地相距20km，乙初始在甲前方20km，两车同向前往C地。
2. 求甲车速度：由图象可知，2h~3h期间乙车休息（速度为0），两车距离从“乙在甲前40km”变为“甲在乙前20km”，1小时内甲车行驶路程为$40+20=60\mathrm{km}$，因此$v_\mathrm{甲}=60÷1=60\mathrm{km/h}$，选项C错误。
3. 计算相遇时间：x=2h时乙在甲前方40km，之后乙静止，甲追乙的追及时间为$40÷60=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，因此相遇总时间为$2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\mathrm{h}$，选项A正确。
4. 计算A、C两地距离：甲车全程行驶4h到达C地，总路程为$60×4=240\mathrm{km}$，即A、C两地相距240km，选项B错误。
5. 计算乙休息时间：乙从x=2h开始休息，x=3h时恢复行驶（3h~4h两车距离缩小，说明乙重新运动），休息时长为$3-2=1\mathrm{h}=60\mathrm{min}$，选项D错误。
综上，只有选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的实际应用，行程追及问题，函数图象信息提取
【点评】
本题需要结合行程问题的公式分析一次函数图象，解题核心是读懂图象拐点对应的实际行程状态，逐一验证选项即可得出正确结论，对信息提取能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

6 [2025 沭阳二模]在一条笔直的公路上依次有 A,B,C 三地,小明、小红两人同时出发.小明从 B 地骑自行车匀速前往 A 地拿东西,停留一段时间后,再以相同的速度匀速前往 C 地,小红匀速步行从 C 地至 A 地.小明、小红两人距 C 地的距离 y(m)与时间 x(min)之间的函数关系如图所示,请结合图象,求:
(1) 小明、小红两人的速度;
(2) 小明从 A 地前往 C 地过程中 y 关于 x 的函数表达式;
(3) 经过多长时间,小明与小红相距 600 m.

6. （1）由题意，得小明骑自行车的速度是$(1\ 200-400)÷ 2=400(\mathrm{m/min})$，小红步行的速度是$1\ 200÷ 12=100(\mathrm{m/min})$ （2）由题意，得小明从 A 地骑自行车到 C 地的时间为$1\ 200÷ 400=3(\mathrm{min})$.设所求函数表达式为$y=kx+b$.将$(9,1\ 200)$，$(12,0)$代入，可得$\begin{cases}9k+b=1\ 200,\\12k+b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-400,\\b=4\ 800,\end{cases}$ $\therefore y=-400x+4\ 800$ （3）由题意，分三种情况讨论. ① 当$0≤ x＜ 2$时，$400x+400-100x=600$，解得$x=\dfrac{2}{3}$；② 当$2≤ x＜ 9$时，$1\ 200-100x=600$，解得$x=6$；③ 当$9≤ x≤ 12$时，$100x+400x-4\ 800=600$，解得$x=\dfrac{54}{5}$.综上所述，经过$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{min}$或$6\ \mathrm{min}$或$\dfrac{54}{5}\ \mathrm{min}$，小明与小红相距$600\ \mathrm{m}$

【分析】
(1)求速度可结合图象对应的路程和时间计算：观察图象可知，小明2min从B地到A地，B地距C地400m，A地距C地1200m，因此B到A的路程为$(1200-400)\mathrm{m}$，用时2min，即可求出小明速度；小红12min走完全程1200m，用总路程除以总时间即可得到小红速度。
(2)先确定小明从A地出发前往C地的时间点：已知A到C路程为1200m，结合小明的速度可算出行驶时间，再结合12min到达C地，可得出发时间为9min，因此该段函数过点$(9,1200)$和$(12,0)$，用待定系数法代入即可求出函数表达式。
(3)根据两人的运动状态分三个时间段讨论：①$0≤ x＜2$时，小明从B往A走，小红从C往A走，根据两人距C地的距离差列方程；②$2≤ x＜9$时，小明在A地停留，距C地距离恒为1200m，小红持续往A走，根据距离差列方程；③$9≤ x≤12$时，小明从A往C走，小红仍往A走，根据距离关系列方程，最终汇总所有符合条件的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，小明2 min行驶的路程为$1200-400=800(\mathrm{m})$，
故小明的速度为$800÷ 2=400(\mathrm{m/min})$；
小红12 min行驶的路程为1200 m，
故小红的速度为$1200÷ 12=100(\mathrm{m/min})$。
(2) 小明从A地到C地的路程为1200 m，所需时间为$1200÷ 400=3(\mathrm{min})$，
因此小明从A地出发的时间为$12-3=9(\mathrm{min})$，即该段函数过点$(9,1200)$和$(12,0)$。
设小明从A地前往C地过程中$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b$，
将$(9,1200)$，$(12,0)$代入得：
$\begin{cases}9k+b=1200\\12k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-400\\b=4800\end{cases}$
$\therefore$ 函数表达式为$y=-400x+4800(9≤ x≤ 12)$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$0≤ x＜2$时，小明距C地的距离为$400+400x$，小红距C地的距离为$100x$，两人相距600m，可得：
$400+400x-100x=600$
解得$x=\dfrac{2}{3}$，符合取值范围；
② 当$2≤ x＜9$时，小明在A地停留，距C地1200m，小红距C地$100x$，可得：
$1200-100x=600$
解得$x=6$，符合取值范围；
③ 当$9≤ x≤ 12$时，小明距C地的距离为$-400x+4800$，小红距C地的距离为$100x$，两人相距600m，可得：
$100x-(-400x+4800)=600$
化简得$500x=5400$，解得$x=\dfrac{54}{5}$，符合取值范围。
【答案】
(1) 小明的速度为$400\ \mathrm{m/min}$，小红的速度为$100\ \mathrm{m/min}$；
(2) $y=-400x+4800(9≤ x≤ 12)$；
(3) 经过$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{min}$或$6\ \mathrm{min}$或$\dfrac{54}{5}\ \mathrm{min}$时，两人相距600 m。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，分段讨论思想
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程问题，解题的关键是读懂图象中各线段代表的运动状态，结合速度、路程、时间的关系求解，讨论两人相距距离时要根据运动阶段分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7 端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560 km 的景区游玩，甲先以60 km/h 的速度匀速行驶1 h，再以 m km/h 的速度匀速行驶，途中休息了一段时间后，仍按照m km/h 的速度匀速行驶，两人同时到达目的地. 如图，折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程$y_甲$(km),$y_乙$(km)与时间 x(h)之间的函数关系图象. 请根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）点 E 的坐标为，m 的值为，甲在途中休息了h；
（2）求线段 CD 对应的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20 km？

7. （1）$(2,160)$ $100$ $1$ （2）由题意，得$A(1,60)$，$E(2,160)$，$\therefore$ 易得直线$AE$对应的函数表达式为$y=100x-40$.当$x=4$时，$y=400-40=360$，$\therefore$ 点$B$的坐标为$(4,360)$，$\therefore$ 点$C$的坐标为$(5,360)$.设线段$CD$所在直线对应的函数表达式为$y=kx+b$.$\because$ 点$C(5,360)$，$D(7,560)$在直线$CD$上，$\therefore \begin{cases}5k+b=360,\\7k+b=560,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=100,\\b=-140.\end{cases}$ $\therefore$ 线段$CD$对应的函数表达式为$y=100x-140(5≤ x≤ 7)$ （3）根据$D(7,560)$，可得线段$OD$对应的函数表达式为$y=80x(0≤ x≤ 7)$.当$x=5$时，$y=5× 80=400$，$400-360=40(\mathrm{km})$，$\therefore$ 出发$5\ \mathrm{h}$时，两人相距$40\ \mathrm{km}$.把$y=360$代入$y=80x$，得$x=4.5$，$\therefore$ 出发$4.5\ \mathrm{h}$时，两人第二次相遇. ① 当$4.5≤ x≤ 5$时，由$80x-360=20$，得$x=4.75$，此时$4.75-4.5=0.25(\mathrm{h})$；② 当$5＜ x≤ 7$时，由$80x-(100x-140)=20$，得$x=6$，此时$6-4.5=1.5(\mathrm{h})$.$\therefore$ 两人第二次相遇后，又经过$0.25\ \mathrm{h}$或$1.5\ \mathrm{h}$两人相距$20\ \mathrm{km}$

【分析】
解题时结合图象和已知行程信息逐步推导：
1. 第一问：先求乙的行驶速度，可得x=2时乙的路程即点E坐标；再根据甲1~2h的路程差求速度m；最后结合甲全程行驶时间和总时长求休息时长。
2. 第二问：先确定点C、D的坐标，再用待定系数法代入求解线段CD的函数表达式，明确自变量范围。
3. 第三问：先求乙的全程函数表达式，找到第二次相遇的时间，再分甲休息阶段、甲重新行驶阶段两种情况，根据路程差为20km列方程求解，最后减去相遇时间得到结果。
【解析】
（1）乙7h行驶560km，速度为$560÷7=80\ \mathrm{km/h}$，当$x=2$时，$y=80×2=160$，故点E坐标为$(2,160)$。
甲前1h行驶$60×1=60\ \mathrm{km}$，1~2h行驶的路程为$160-60=100\ \mathrm{km}$，故$m=100÷1=100$。
甲行驶完全程需要的时间：$1+(560-60)÷100=6\ \mathrm{h}$，总时长为7h，故休息时间为$7-6=1\ \mathrm{h}$。
（2）由题意得，$x=4$时，甲的路程为$60+(4-1)×100=360$，即$B(4,360)$，甲休息1h，故$C(5,360)$，又$D(7,560)$。
设线段CD的函数表达式为$y=kx+b$，将$C(5,360)$、$D(7,560)$代入得：
$\begin{cases}5k+b=360\\7k+b=560\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=100\\b=-140\end{cases}$
故线段CD对应的函数表达式为$y=100x-140$，自变量取值范围是$5≤ x≤7$。
（3）乙的路程与时间的函数表达式为$y=80x\ (0≤ x≤7)$。
第二次相遇时甲处于休息阶段，路程为360km，代入$y=80x$得$x=360÷80=4.5$，即出发4.5h时第二次相遇。
分两种情况讨论：
① 当$4.5≤ x≤5$时，甲路程为360km，由路程差为20km得：$80x-360=20$，解得$x=4.75$，经过的时间为$4.75-4.5=0.25\ \mathrm{h}$；
② 当$5＜x≤7$时，甲路程为$100x-140$，由路程差为20km得：$80x-(100x-140)=20$，解得$x=6$，经过的时间为$6-4.5=1.5\ \mathrm{h}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2,160)}$，$\boldsymbol{100}$，$\boldsymbol{1}$；
（2）$\boldsymbol{y=100x-140(5≤ x≤7)}$；
（3）$\boldsymbol{0.25\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，分类讨论思想
【点评】
本题以行程问题为背景，结合一次函数图象考查读图分析能力，需要结合不同运动阶段的特点分类讨论求解，易错点是忽略甲休息的阶段，漏写其中一种情况。
【难度系数】
0.6