三、解答题
11（2025宿迁沭阳月考）已知$y-3$与$2x-1$成正比例，且当$x=2$时，$y=12$。
（1）求$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）过点$(5,3)$且平行于$x$轴的直线与该函数交于点$C$，求点$C$的坐标。

解:(1) 设 $y-3=k(2x-1)$。
因为当 $x=2$ 时,$y=12$,
所以 $(2×2-1)k=12-3$,
解得 $k=3$,
所以 $y-3=3(2x-1)$,
所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=6x$。
(2) 由题意可知点 $C$ 的纵坐标为 3,
把 $y=3$ 代入 $y=6x$,得 $6x=3$,
解得 $x=\dfrac{1}{2}$,
所以点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},3)$。

【分析】
（1）根据成正比例的定义，若两个量a、b成正比例，可设a=kb（k为常数且k≠0），因此本题中y-3与2x-1成正比例，可先设y-3=k(2x-1)，再将已知的x=2、y=12代入式子求解k的值，最后整理即可得到y与x的函数表达式。
（2）平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此过点(5,3)且平行于x轴的直线上的点纵坐标均为3，即点C的纵坐标为3，将y=3代入第一问求出的函数表达式，解得x的值即可得到点C的坐标。
【解析】
（1）设$ y-3 = k(2x-1) $（$ k≠0 $）。
把$ x=2 $，$ y=12 $代入上式，得：
$ (2×2 - 1)k = 12 - 3 $
化简得$ 3k = 9 $，解得$ k=3 $。
将$ k=3 $代入$ y-3 = k(2x-1) $，得：
$ y - 3 = 3(2x - 1) $，整理得$ y = 6x $。
（2）由平行于x轴的直线的坐标特征可知，过点$ (5,3) $且平行于x轴的直线上所有点纵坐标为3，即点C的纵坐标为3。
把$ y=3 $代入$ y=6x $，得：
$ 6x = 3 $，解得$ x = \frac{1}{2} $。
因此点C的坐标为$ ( \frac{1}{2}, 3 ) $。
【答案】
（1）$ y=6x $；（2）$ ( \dfrac{1}{2},3 ) $
【知识点】
正比例的定义，待定系数法求解析式，平行于x轴的直线坐标特征
【点评】
本题是函数基础应用题，核心考查正比例概念的应用和一次函数交点的求解，解题关键是熟练掌握待定系数法的使用，以及平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，整体计算量小，掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

12 (2025泰州海陵月考)如图,线段MN两个端点的坐标分别为M(1,3),N(1,1),一次函数y=kx+b的图象经过点(4,0)和(0,-3).
(1) 求一次函数 y=kx+b 的表达式；
(2) 将直线 y=kx+b 向上平移 a 个单位长度,使平移后的直线经过线段 MN 的中点,求 a 的值.

解:(1) 把 $(4,0)$ 和 $(0,-3)$ 代入 $y=kx+b$,
得 $\begin{cases}4k+b=0,\\b=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{3}{4},\\b=-3,\end{cases}$
所以一次函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{4}x-3$。
(2) 设平移后的直线的表达式为 $y=\dfrac{3}{4}x-3+a$,
因为 $M(1,3),N(1,1)$,
所以线段 $MN$ 的中点坐标为 $(1,2)$,
把 $(1,2)$ 代入 $y=\dfrac{3}{4}x-3+a$,
得 $\dfrac{3}{4}-3+a=2$,
解得 $a=\dfrac{17}{4}$。

【分析】
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法，已知函数图象经过两个定点，将两点坐标代入$y=kx+b$即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组就能求出参数值，得到函数表达式。
(2) 首先依据一次函数“上加下减常数项”的平移规律，写出向上平移$a$个单位后的函数表达式；再根据中点坐标的计算方法，求出线段$MN$的中点坐标；最后将中点坐标代入平移后的表达式，列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 把点$(4,0)$和$(0,-3)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=-3\end{cases}$
把$b=-3$代入$4k+b=0$，解得$k=\dfrac{3}{4}$，
因此一次函数的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x-3$。
(2) 直线$y=\dfrac{3}{4}x-3$向上平移$a$个单位后，解析式为$y=\dfrac{3}{4}x-3+a$。
已知$M(1,3)$，$N(1,1)$，则线段$MN$的中点横坐标为$\dfrac{1+1}{2}=1$，纵坐标为$\dfrac{3+1}{2}=2$，即中点坐标为$(1,2)$。
将$(1,2)$代入平移后的解析式，得：
$\dfrac{3}{4}×1 - 3 + a = 2$
计算解得$a=\dfrac{17}{4}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{3}{4}x-3$；(2) $a=\dfrac{17}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移规律，中点坐标计算
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考查一次函数的常规基础知识点，解题关键是熟练掌握待定系数法的应用、一次函数的平移规则，计算时注意运算准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

13（2025苏州姑苏月考）如图，直线$y=kx+3$与$x$轴，$y$轴分别交于$A$，$B$两点，$OA=\dfrac{4}{3}OB$，$C(x,y)$是直线$y=kx+3$上与$A$，$B$不重合的动点。
（1）求直线$AB$的表达式；
（2）作直线$OC$，当$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分时，求直线$OC$的表达式；
（3）过点$C$作直线$CD$与$y$轴相交于点$D$，使$△ BCD$与$△ AOB$全等，请直接写出所有符合条件的点$C$的坐标。

解:(1) 直线 $y=kx+3$ 与 $x$ 轴,$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点,
当 $x=0$ 时,$y=3$,
所以 $B(0,3)$,即 $OB=3$。
因为 $OA=\dfrac{4}{3}OB$,所以 $OA=4$,
所以 $A(4,0)$。
把点 $A$ 的坐标代入 $y=kx+3$,得 $0=4k+3$,
解得 $k=-\dfrac{3}{4}$,
所以直线 $AB$ 的表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2) 因为 $OB=3$,$OA=4$,
所以 $△ AOB$ 的面积为 $S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
当$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分时,分两种情况讨论:
当 $S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=1:2$ 时,
此时 $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{3}S_{△ AOB}=2$,
所以 $\dfrac{1}{2}OA· y_C=2$,
即 $\dfrac{1}{2}×4×y_C=2$,解得 $y_C=1$。
因为点 $C(x,y)$ 是直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 上与 $A,B$ 不重合的动点,
所以当 $y=1$ 时,$-\dfrac{3}{4}x+3=1$,解得 $x=\dfrac{8}{3}$,
所以 $C(\dfrac{8}{3},1)$。
设直线 $OC$ 的表达式为 $y=k_1x(k_1≠0)$,将点 $C$ 的坐标代入,
得 $\dfrac{8}{3}k_1=1$,解得 $k_1=\dfrac{3}{8}$,
所以此时直线 $OC$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{8}x$;
当 $S_{△ BOC}:S_{△ AOC}=1:2$ 时,
此时 $S_{△ AOC}=\dfrac{2}{3}S_{△ AOB}=4$,
所以 $\dfrac{1}{2}OA· y_C=4$,
即 $\dfrac{1}{2}×4×y_C=4$,解得 $y_C=2$。
在 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 中,
当 $y=2$ 时,$-\dfrac{3}{4}x+3=2$,解得 $x=\dfrac{4}{3}$,
所以 $C(\dfrac{4}{3},2)$。
设直线 $OC$ 的表达式为 $y=k_2x(k_2≠0)$,将点 $C$ 的坐标代入,
得 $\dfrac{4}{3}k_2=2$,解得 $k_2=\dfrac{3}{2}$,
所以此时直线 $OC$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{2}x$。
综上,当$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分时,直线 $OC$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{8}x$ 或 $y=\dfrac{3}{2}x$。
(3) 点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$ 或 $(-\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$ 或 $(-4,6)$。

【分析】
（1）先根据直线与y轴交点的坐标特征求出点B的坐标，得到OB的长度，结合已知OA和OB的数量关系求出OA长度，得到点A的坐标，再将点A代入直线表达式求解k的值，即可得到直线AB的表达式。
（2）首先计算△AOB的总面积，直线OC将△AOB的面积分为1:2两部分时，存在两种情况：①△AOC的面积占1份，△BOC的面积占2份；②△BOC的面积占1份，△AOC的面积占2份。两种情况均以OA为△AOC的底，点C的纵坐标为对应高，根据面积关系求出点C的纵坐标，代入直线AB的表达式求出点C的横坐标，最后用待定系数法求直线OC的表达式即可。
（3）△AOB是直角边分别为3、4的直角三角形，要使△BCD与△AOB全等，需结合直角的位置、对应边相等的条件分类讨论，结合点C在直线AB上的条件，计算得出所有符合要求的点C坐标。
【解析】
(1) 直线 $y=kx+3$ 与 $x$ 轴,$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点,
当 $x=0$ 时,$y=3$,
所以 $B(0,3)$,即 $OB=3$。
因为 $OA=\dfrac{4}{3}OB$,所以 $OA=4$,
所以 $A(4,0)$。
把点 $A$ 的坐标代入 $y=kx+3$,得 $0=4k+3$,
解得 $k=-\dfrac{3}{4}$,
所以直线 $AB$ 的表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2) 因为 $OB=3$,$OA=4$,
所以 $△ AOB$ 的面积为 $S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
当$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分时,分两种情况讨论:
当 $S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=1:2$ 时,
此时 $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{3}S_{△ AOB}=2$,
所以 $\dfrac{1}{2}OA· y_C=2$,
即 $\dfrac{1}{2}×4×y_C=2$,解得 $y_C=1$。
因为点 $C(x,y)$ 是直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 上与 $A,B$ 不重合的动点,
所以当 $y=1$ 时,$-\dfrac{3}{4}x+3=1$,解得 $x=\dfrac{8}{3}$,
所以 $C(\dfrac{8}{3},1)$。
设直线 $OC$ 的表达式为 $y=k_1x(k_1≠0)$,将点 $C$ 的坐标代入,
得 $\dfrac{8}{3}k_1=1$,解得 $k_1=\dfrac{3}{8}$,
所以此时直线 $OC$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{8}x$;
当 $S_{△ BOC}:S_{△ AOC}=1:2$ 时,
此时 $S_{△ AOC}=\dfrac{2}{3}S_{△ AOB}=4$,
所以 $\dfrac{1}{2}OA· y_C=4$,
即 $\dfrac{1}{2}×4×y_C=4$,解得 $y_C=2$。
在 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 中,
当 $y=2$ 时,$-\dfrac{3}{4}x+3=2$,解得 $x=\dfrac{4}{3}$,
所以 $C(\dfrac{4}{3},2)$。
设直线 $OC$ 的表达式为 $y=k_2x(k_2≠0)$,将点 $C$ 的坐标代入,
得 $\dfrac{4}{3}k_2=2$,解得 $k_2=\dfrac{3}{2}$,
所以此时直线 $OC$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{2}x$。
综上,当$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分时,直线 $OC$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{8}x$ 或 $y=\dfrac{3}{2}x$。
(3) 点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$ 或 $(-\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$ 或 $(-4,6)$。


【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{4}x+3$；
(2) $y=\dfrac{3}{8}x$ 或 $y=\dfrac{3}{2}x$；
(3) $(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$ 或 $(-\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$ 或 $(-4,6)$
【知识点】
一次函数解析式求解，三角形面积计算，全等三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合题，渗透了分类讨论的数学思想，解题时需注意分情况讨论避免漏解，既考查了一次函数的基础应用，也对全等三角形性质的灵活运用有一定要求。
【难度系数】
0.6