1. 下列三角形中,不是直角三角形的是()

A.三角形的三边长分别是9,40,41
B.三角形的三内角之比为1:2:3
C.三角形的三内角中有两个角互余
D.三角形的三边长之比为2:3:4

1.D

【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题思路如下：首先明确直角三角形的两类判定方法：1. 从边的角度：利用勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形；2. 从角的角度：若三角形有一个内角为90°则为直角三角形，可通过三角形内角和计算、两角互余的性质判断。解题时逐一验证每个选项，排除是直角三角形的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：计算三边平方，$9^2=81$，$40^2=1600$，$41^2=1681$，可得$9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
选项B：设三个内角分别为$x$、$2x$、$3x$，根据三角形内角和为$180°$，列方程$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项C：若三角形两个内角互余，即两角和为$90°$，根据三角形内角和为$180°$，第三个角为$180°-90°=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项D：设三边长分别为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$），计算得$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，$13k^2≠16k^2$，不符合勾股定理逆定理，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，解题时需分别从边、角两个角度逐一验证选项，细心计算即可得出正确结果，属于基础考查题。
【难度系数】
0.8

2.已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$AB=1$，那么$AB^2 + BC^2 + AC^2$的值是（）

A.2
B.4
C.6
D.8

2.A

【分析】
看到直角三角形求三边平方和的问题，首先回忆勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。本题已知AB是斜边，因此可得直角边BC、AC的平方和等于AB的平方，将所求式子中的BC²+AC²替换为AB²，再代入AB的长度计算即可。
【解析】
∵ △ABC是直角三角形，AB为斜边
∴ 根据勾股定理可得：$BC^2 + AC^2 = AB^2$
已知$AB=1$，因此$BC^2 + AC^2 = 1^2 = 1$
则$AB^2 + BC^2 + AC^2 = AB^2 + (BC^2 + AC^2) = 1 + 1 = 2$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确识别直角三角形的斜边和直角边，通过整体代入简化计算即可得出结果，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9

3.如图，每个小正方形的边长为1，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是（）

A.$a＜c＜b$
B.$a＜b＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$c＜b＜a$

3.C

【分析】
要比较△ABC三边a、b、c的大小，我们可以借助网格的特点，利用勾股定理分别计算三条边长度的平方，由于边长都是正数，平方越大对应的边长就越大，这样就能快速比较出三者的大小关系。首先确定每条边对应的直角三角形的两条直角边长度，再代入勾股定理计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算边c（AB）的长度：AB在水平网格线上，数格子可得AB长度为4，因此$ c=4 $，$ c^2=16 $。
2. 计算边a（BC）的长度：BC对应的直角三角形水平直角边长为1，竖直直角边长为4，根据勾股定理可得：$ a^2=1^2+4^2=1+16=17 $，即$ a=\sqrt{17} $。
3. 计算边b（AC）的长度：AC对应的直角三角形水平直角边长为3，竖直直角边长为4，根据勾股定理可得：$ b^2=3^2+4^2=9+16=25 $，即$ b=5 $。
因为$ 16＜17＜25 $，即$ c^2＜a^2＜b^2 $，且边长均为正数，所以$ c＜a＜b $。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实数大小比较
【点评】
本题是网格中线段长度计算的典型题型，将待求线段放在直角三角形中用勾股定理求长度是这类题的通用解法，通过比较边长平方的大小可以避免开方运算，简化计算过程。
【难度系数】
0.7

4.如果直角三角形的三边长分别为5,12,m，那么m的取值可以有 （）

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

4.C

【分析】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，解题时需注意：题目未明确哪条边是斜边，因此要分情况讨论，结合“直角三角形中斜边为最长边”的性质排除不可能的情况，再分别用勾股定理计算m的取值，统计符合要求的取值个数即可。
【解析】
已知直角三角形三边长为5，12，m，分两种情况讨论：
1. 当m为斜边时：根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，可得
$m^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
因为边长为正数，所以$m = 13$，符合要求；
2. 当12为斜边时：此时m为直角边，根据勾股定理可得
$12^2 = 5^2 + m^2$
整理得$m^2 = 144 - 25 = 119$
因为边长为正数，所以$m = \sqrt{119}$，符合要求；
注：5不可能为斜边，因为斜边是最长边，5＜12，因此该情况无需考虑。
综上，m的取值有2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；直角三角形性质
【点评】
本题易错点是容易默认m为斜边，仅算出m=13这一个结果，忽略12为斜边的情况。解题时遇到未明确斜边的直角三角形边长问题，一定要先分情况讨论，再结合斜边为最长边的性质排除不合理的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

5.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$.若$a^2 + b^2 =25$，$a^2 - b^2=7$，$c=5$，则最长边上的高是.

5.$\frac{12}{5}$

【分析】
首先利用题目给出的两个关于$a^2$和$b^2$的等式，联立求出$a^2$、$b^2$的值，进而得到$a$、$b$的长度；接下来结合$c$的长度，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定最长边；最后利用直角三角形的两种面积计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），建立等式求出最长边上的高。
【解析】
1. 联立方程求$a$、$b$的长度
已知$\begin{cases}a^2 + b^2 =25 \\a^2 - b^2=7 \end{cases}$，
两式相加得：$2a^2=32$，解得$a^2=16$，因边长为正，故$a=4$；
两式相减得：$2b^2=18$，解得$b^2=9$，因边长为正，故$b=3$。
2. 判断三角形形状
已知$c=5$，则$c^2=25$，
因$a^2 + b^2=16+9=25=c^2$，由勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，最长边为斜边$c=5$。
3. 求最长边上的高
设最长边上的高为$h$，
直角三角形面积可表示为$S=\frac{1}{2}ab$，也可表示为$S=\frac{1}{2}ch$，
因此$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，
化简得$6=\frac{5}{2}h$，解得$h=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 勾股定理的逆定理
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过方程计算得到两条边长，再判定三角形为直角三角形，最后利用面积法求解高，掌握勾股定理逆定理和面积法的应用即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

6.如图2是一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm.A和B是这个三级台阶上两个相对的端点，现A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是dm.

6.25

【分析】
要计算蚂蚁沿台阶从A爬到B的最短路程，属于立体图形表面的最短路径问题。解题思路为：首先将三级台阶的立体表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”，此时连接A、B两点的线段长度就是最短路径，再利用勾股定理计算该线段的长度即可。
【解析】
将三级台阶的表面展开，得到一个长方形：
1. 计算长方形的宽：每级台阶的宽为3dm、高为2dm，三级台阶展开后，水平与竖直方向的总长度为 $ 3×(3+2)=15\ \mathrm{dm} $；
2. 长方形的长为台阶的长度 $ 20\ \mathrm{dm} $，此时A、B为长方形的两个对角顶点；
3. 根据勾股定理，最短路程 $ AB=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{dm} $。
【答案】
25
【知识点】
平面展开最短路径，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体表面最短路径的经典题型，核心是将立体图形转化为平面图形求解，既考查空间想象能力，也考查勾股定理的实际应用，是几何中常见的实际应用类考题。
【难度系数】
0.6

7.如图3,在直线$l$上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是$S_1,S_2,S_3,S_4$,则$S_1+S_2+S_3+S_4=$.

7.4

【分析】
我们可以通过观察图形中正方形和直角三角形的关系解题：首先，夹在两个正放正方形之间的斜放正方形，和两边的正放正方形会形成两个全等的直角三角形，结合勾股定理可知，每个斜放正方形的面积等于相邻两个正放正方形的面积之和。由此可得$S_1+S_2$等于面积为1的斜放正方形的面积，$S_3+S_4$等于面积为3的斜放正方形的面积，将两个和相加即可得到所求结果。
【解析】
观察图形：
1. 对于斜放的面积为1的正方形，它与相邻的$S_1$、$S_2$之间的两个直角三角形，根据正方形的性质可得：三角形的斜边均为面积为1的正方形的边，且两组锐角分别互余相等，因此两个直角三角形全等（AAS），对应直角边长度分别等于$S_1$、$S_2$的边长。
根据勾股定理，面积为1的正方形的边长平方 = $S_1$的边长平方 + $S_2$的边长平方，而正方形面积等于边长平方，因此$\boldsymbol{S_1+S_2=1}$。
2. 同理，对于斜放的面积为3的正方形，可得$\boldsymbol{S_3+S_4=3}$。
3. 将两个式子相加：$S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定，正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型图形题，解题核心是发现斜放正方形面积与相邻两个正放正方形面积之和的等量关系，既考查了基础几何性质的应用，也锻炼了图形观察和规律总结的能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图4，已知$AD=4$，$CD=3$，$∠ ADC=90°$，$AB=13$，$BC=12$.求$△ ABC$的面积. 图4

8.30

【分析】
解题时首先观察到△ADC为直角三角形，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边AC的长度；再将得到的AC长度与已知的BC、AB长度结合，通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若判定为直角三角形，即可代入直角三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
∴$AC=5$（边长为正数）。
在△ABC中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，
∵$AC^2 + BC^2 = 25 + 144 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的典型综合应用题，解题的关键是先通过勾股定理求出AC的长度，再利用逆定理判定△ABC为直角三角形，整体思路清晰，对基础定理的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7