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1.若一个多边形截去一个角后，变成五边形，
则原来的多边形的边数可能为 （
A.5或6
B.4或5
C.3或4或5
D.4或5或6
则原来的多边形的边数可能为 （
D
）A.5或6
B.4或5
C.3或4或5
D.4或5或6
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确多边形截去一个角存在三种不同的截取方式，不同截取方式对应截后多边形的边数变化不同：边数可能减少1、不变或增加1。我们可以根据截后得到五边形，反向推导原多边形的边数可能值，逐一分析三种情况即可得出结果。
【解析】
多边形截去一个角有三种情况，分别推导原多边形边数：
1. 若截线经过原多边形的两个顶点：截去一个角后多边形的边数比原来少1，已知截后为五边形，则原多边形边数为 $ 5 + 1 = 6 $；
2. 若截线经过原多边形的1个顶点和1条边（边的非顶点位置）：截去一个角后多边形的边数与原来相等，则原多边形边数为5；
3. 若截线不经过原多边形的任何顶点，仅在两条相邻边的非顶点位置截取：截去一个角后多边形的边数比原来多1，则原多边形边数为 $ 5 - 1 = 4 $。
综上，原来的多边形边数可能为4、5、6，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多边形基本性质
2. 分类讨论思想
3. 截角边数变化规律
【点评】
本题的核心易错点是容易忽略截角的三种不同情况，仅考虑部分截取方式导致漏选。解题时需要全面梳理所有可能的截取场景，结合边数变化规律反向推导，养成分类讨论的解题习惯即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确多边形截去一个角存在三种不同的截取方式，不同截取方式对应截后多边形的边数变化不同：边数可能减少1、不变或增加1。我们可以根据截后得到五边形，反向推导原多边形的边数可能值，逐一分析三种情况即可得出结果。
【解析】
多边形截去一个角有三种情况，分别推导原多边形边数：
1. 若截线经过原多边形的两个顶点：截去一个角后多边形的边数比原来少1，已知截后为五边形，则原多边形边数为 $ 5 + 1 = 6 $；
2. 若截线经过原多边形的1个顶点和1条边（边的非顶点位置）：截去一个角后多边形的边数与原来相等，则原多边形边数为5；
3. 若截线不经过原多边形的任何顶点，仅在两条相邻边的非顶点位置截取：截去一个角后多边形的边数比原来多1，则原多边形边数为 $ 5 - 1 = 4 $。
综上，原来的多边形边数可能为4、5、6，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多边形基本性质
2. 分类讨论思想
3. 截角边数变化规律
【点评】
本题的核心易错点是容易忽略截角的三种不同情况，仅考虑部分截取方式导致漏选。解题时需要全面梳理所有可能的截取场景，结合边数变化规律反向推导，养成分类讨论的解题习惯即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图1，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，$AB=BF$。添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，则添加的条件可以是（
A.$AB=CD$
B.$CD=BF$
C.$∠ A=∠ C$
D.$∠ F=∠ CDE$
D
）A.$AB=CD$
B.$CD=BF$
C.$∠ A=∠ C$
D.$∠ F=∠ CDE$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：E是BC中点可得BE=CE，延长DE交AB延长线于F可得对顶角∠DEC=∠FEB，已知AB=BF。要判定四边形ABCD是平行四边形，需结合添加的条件推导得到“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行/相等”等平行四边形判定条件。我们可以逐一分析每个选项，判断添加后能否满足判定要求。
【解析】
已知E为BC边的中点，
∴BE=CE。
对各选项逐一分析：
选项A：添加AB=CD，结合已知AB=BF可得CD=BF，但无法推导CD与AB平行，也无法证明另一组对边的关系，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合要求；
选项B：添加CD=BF，结合已知AB=BF可得CD=AB，但缺少CD与AB平行的条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合要求；
选项C：添加∠A=∠C，无法推导得到两组对边的平行或相等关系，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合要求；
选项D：添加∠F=∠CDE，在△DEC和△FEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ CDE=∠ F\\∠ DEC=∠ FEB\quad(\mathrm{对顶角相等})\\CE=BE\end{array} $
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴CD=BF。
又
∵AB=BF，
∴CD=AB。
由∠F=∠CDE可得CD//AB（内错角相等，两直线平行）。
∴CD平行且等于AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题结合三角形全等的知识考查平行四边形的判定，解题时需充分利用图形中的隐含条件，将添加的条件和已知条件结合推导，验证是否满足平行四边形的判定定理即可。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：E是BC中点可得BE=CE，延长DE交AB延长线于F可得对顶角∠DEC=∠FEB，已知AB=BF。要判定四边形ABCD是平行四边形，需结合添加的条件推导得到“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行/相等”等平行四边形判定条件。我们可以逐一分析每个选项，判断添加后能否满足判定要求。
【解析】
已知E为BC边的中点，
∴BE=CE。
对各选项逐一分析：
选项A：添加AB=CD，结合已知AB=BF可得CD=BF，但无法推导CD与AB平行，也无法证明另一组对边的关系，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合要求；
选项B：添加CD=BF，结合已知AB=BF可得CD=AB，但缺少CD与AB平行的条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合要求；
选项C：添加∠A=∠C，无法推导得到两组对边的平行或相等关系，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合要求；
选项D：添加∠F=∠CDE，在△DEC和△FEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ CDE=∠ F\\∠ DEC=∠ FEB\quad(\mathrm{对顶角相等})\\CE=BE\end{array} $
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴CD=BF。
又
∵AB=BF，
∴CD=AB。
由∠F=∠CDE可得CD//AB（内错角相等，两直线平行）。
∴CD平行且等于AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题结合三角形全等的知识考查平行四边形的判定，解题时需充分利用图形中的隐含条件，将添加的条件和已知条件结合推导，验证是否满足平行四边形的判定定理即可。
【难度系数】
0.7
3.如图2，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且$CE=DF$，AE，BF相交于点O，下列结论：
①$AE=BF$；②$AE⊥ BF$；③$AO=OE$；
④$S_{四边形DEOF}=S_{△ AOB}$.
其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$AE=BF$；②$AE⊥ BF$；③$AO=OE$；
④$S_{四边形DEOF}=S_{△ AOB}$.
其中正确的有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到边和角的等量关系，结合已知CE=DF推出AF=DE，通过证明△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质依次判断4个结论是否成立：①由全等对应边相等直接判断；②由全等对应角相等结合直角三角形两锐角互余推导垂直关系；③可通过反证法结合边长关系判断是否成立；④利用全等三角形面积相等，减去公共部分面积推导面积关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，即AF=DE。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\{\begin{array}{l} AB=DA\\ ∠ BAF=∠ D\\ AF=DE\end{array} $
∴$△ ABF≌△ DAE$（SAS），
∴AE=BF，故①正确；
∴$∠ ABF=∠ DAE$，
∵$∠ DAE+∠ BAE=90°$，
∴$∠ ABF+∠ BAE=90°$，
∴$∠ AOB=180°-(∠ ABF+∠ BAE)=90°$，即$AE⊥BF$，故②正确；
连接BE，假设$AO=OE$，
∵$AE⊥BF$，
∴AB=BE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），但BE是Rt△BCE的斜边，$BE＞BC=AB$，与假设矛盾，故$AO≠OE$，③错误；
∵$△ ABF≌△ DAE$，
∴$S_{△ ABF}=S_{△ DAE}$，
∴$S_{△ ABF}-S_{△ AOF}=S_{△ DAE}-S_{△ AOF}$，
即$S_{△ AOB}=S_{四边形DEOF}$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是正方形与全等三角形结合的典型题型，需要熟练掌握图形性质逐步推导结论，判断错误结论时可通过反证法验证，避免凭直观印象误判。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到边和角的等量关系，结合已知CE=DF推出AF=DE，通过证明△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质依次判断4个结论是否成立：①由全等对应边相等直接判断；②由全等对应角相等结合直角三角形两锐角互余推导垂直关系；③可通过反证法结合边长关系判断是否成立；④利用全等三角形面积相等，减去公共部分面积推导面积关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，即AF=DE。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\{\begin{array}{l} AB=DA\\ ∠ BAF=∠ D\\ AF=DE\end{array} $
∴$△ ABF≌△ DAE$（SAS），
∴AE=BF，故①正确；
∴$∠ ABF=∠ DAE$，
∵$∠ DAE+∠ BAE=90°$，
∴$∠ ABF+∠ BAE=90°$，
∴$∠ AOB=180°-(∠ ABF+∠ BAE)=90°$，即$AE⊥BF$，故②正确；
连接BE，假设$AO=OE$，
∵$AE⊥BF$，
∴AB=BE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），但BE是Rt△BCE的斜边，$BE＞BC=AB$，与假设矛盾，故$AO≠OE$，③错误；
∵$△ ABF≌△ DAE$，
∴$S_{△ ABF}=S_{△ DAE}$，
∴$S_{△ ABF}-S_{△ AOF}=S_{△ DAE}-S_{△ AOF}$，
即$S_{△ AOB}=S_{四边形DEOF}$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是正方形与全等三角形结合的典型题型，需要熟练掌握图形性质逐步推导结论，判断错误结论时可通过反证法验证，避免凭直观印象误判。
【难度系数】
0.7
4.如图3,在正方形ABCD中,$∠ DAF=25°$,AF交对角线BD于点E,那么$∠ BEC$等于（
A.$45°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$75°$
C
）A.$45°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$75°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先结合正方形的性质找全等三角形的判定条件，通过证全等把已知的∠DAF转化为∠DCE，再结合正方形对角线平分内角得到的角度，利用三角形内角和或外角性质计算所求角∠BEC的度数。第一步先回忆正方形对角线的性质：对角线平分一组对角，且正方形邻边相等，可得AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°；第二步利用SAS证明△ADE和△CDE全等，得到∠DCE=∠DAF=25°；第三步结合三角形角度计算性质求∠BEC的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，∠BCD=90°，∠EBC=45°。
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE=∠DAF=25°，
∴∠BCE=∠BCD - ∠DCE=90°-25°=65°。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°：
∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-45°-65°=70°。
（也可利用外角性质：∠BEC是△CDE的外角，故∠BEC=∠CDE+∠DCE=45°+25°=70°）
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用正方形对角线的特性构造全等三角形，实现未知角和已知角的转化，再结合三角形的角度计算性质求解，是正方形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正方形的性质找全等三角形的判定条件，通过证全等把已知的∠DAF转化为∠DCE，再结合正方形对角线平分内角得到的角度，利用三角形内角和或外角性质计算所求角∠BEC的度数。第一步先回忆正方形对角线的性质：对角线平分一组对角，且正方形邻边相等，可得AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°；第二步利用SAS证明△ADE和△CDE全等，得到∠DCE=∠DAF=25°；第三步结合三角形角度计算性质求∠BEC的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，∠BCD=90°，∠EBC=45°。
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE=∠DAF=25°，
∴∠BCE=∠BCD - ∠DCE=90°-25°=65°。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°：
∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-45°-65°=70°。
（也可利用外角性质：∠BEC是△CDE的外角，故∠BEC=∠CDE+∠DCE=45°+25°=70°）
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用正方形对角线的特性构造全等三角形，实现未知角和已知角的转化，再结合三角形的角度计算性质求解，是正方形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5. 在$□ ABCD$中，过对角线交点O，引一条直线交BC于点E，交AD于点F。若AB=2.4 cm，BC=4 cm，OE=1.1 cm，则四边形CDFE的周长为
8.6 cm
。答案
5. 8.6 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质，利用平行四边形对边平行、对角线互相平分的特点，尝试证明包含线段AF、CE和OE、OF的三角形全等，通过全等将四边形CDFE的周长中的未知线段转化为已知长度的线段，进而代入数值计算即可。具体思考路径：1. 明确平行四边形的对边长度、对边平行、对角线互相平分的性质；2. 观察直线EF过对角线交点，可证△AOF和△COE全等，得到AF=CE、OF=OE；3. 将四边形CDFE的周长拆分为CD+DF+EF+CE，把CE替换为AF，EF替换为2OE，即可用已知的AB、BC、OE长度计算周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=2.4cm，AD=BC=4cm，AD//BC，OA=OC
∴∠OAF=∠OCE
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，OF=OE=1.1cm
∴EF=OE+OF=1.1×2=2.2cm
四边形CDFE的周长为：
$CD + DF + EF + CE = CD + DF + AF + EF = CD + AD + EF$
代入数值计算得：$2.4 + 4 + 2.2 = 8.6\mathrm{cm}$
【答案】
8.6 cm
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，核心是通过全等三角形实现线段的等量转化，把分散的未知线段整合为已知长度的线段，降低周长计算的难度，是平行四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的基本性质，利用平行四边形对边平行、对角线互相平分的特点，尝试证明包含线段AF、CE和OE、OF的三角形全等，通过全等将四边形CDFE的周长中的未知线段转化为已知长度的线段，进而代入数值计算即可。具体思考路径：1. 明确平行四边形的对边长度、对边平行、对角线互相平分的性质；2. 观察直线EF过对角线交点，可证△AOF和△COE全等，得到AF=CE、OF=OE；3. 将四边形CDFE的周长拆分为CD+DF+EF+CE，把CE替换为AF，EF替换为2OE，即可用已知的AB、BC、OE长度计算周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=2.4cm，AD=BC=4cm，AD//BC，OA=OC
∴∠OAF=∠OCE
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，OF=OE=1.1cm
∴EF=OE+OF=1.1×2=2.2cm
四边形CDFE的周长为：
$CD + DF + EF + CE = CD + DF + AF + EF = CD + AD + EF$
代入数值计算得：$2.4 + 4 + 2.2 = 8.6\mathrm{cm}$
【答案】
8.6 cm
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，核心是通过全等三角形实现线段的等量转化，把分散的未知线段整合为已知长度的线段，降低周长计算的难度，是平行四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图4,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC,垂足为E.若$∠ CDE=\dfrac{1}{3}∠ ADE$,$OE=3\ \mathrm{cm}$,求AC的长度.
答案
6. AC的长度为$6\sqrt{2}$ cm.
解析
【分析】
解题时首先利用矩形内角为直角的性质，结合已知的两个角的比例关系求出∠CDE和∠ADE的度数；再结合DE⊥AC的条件，推导相关角的度数，得到△ODE是等腰直角三角形；接着利用勾股定理求出对角线一半OD的长度，最后根据矩形对角线相等且互相平分的性质求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，AC=BD，$OD=OC=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC$
∵$∠ CDE=\frac{1}{3}∠ ADE$，即$∠ ADE=3∠ CDE$
∴$∠ CDE+3∠ CDE=90°$，解得$∠ CDE=22.5°$，$∠ ADE=67.5°$
∵DE⊥AC，
∴$∠ DEC=90°$
∴$∠ DCE=90°-∠ CDE=90°-22.5°=67.5°$
∵OD=OC，
∴$∠ ODC=∠ DCE=67.5°$
∴$∠ ODE=∠ ODC-∠ CDE=67.5°-22.5°=45°$
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$∠ DOE=90°-∠ ODE=45°$
∴$∠ ODE=∠ DOE$，
∴$DE=OE=3\ \mathrm{cm}$
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
∴$AC=2OD=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是矩形性质的常规综合应用题，解题的突破口是通过角度的数量关系推导出等腰直角三角形，需要学生熟练掌握矩形的边角、对角线性质，能灵活结合三角形内角和、勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用矩形内角为直角的性质，结合已知的两个角的比例关系求出∠CDE和∠ADE的度数；再结合DE⊥AC的条件，推导相关角的度数，得到△ODE是等腰直角三角形；接着利用勾股定理求出对角线一半OD的长度，最后根据矩形对角线相等且互相平分的性质求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，AC=BD，$OD=OC=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC$
∵$∠ CDE=\frac{1}{3}∠ ADE$，即$∠ ADE=3∠ CDE$
∴$∠ CDE+3∠ CDE=90°$，解得$∠ CDE=22.5°$，$∠ ADE=67.5°$
∵DE⊥AC，
∴$∠ DEC=90°$
∴$∠ DCE=90°-∠ CDE=90°-22.5°=67.5°$
∵OD=OC，
∴$∠ ODC=∠ DCE=67.5°$
∴$∠ ODE=∠ ODC-∠ CDE=67.5°-22.5°=45°$
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$∠ DOE=90°-∠ ODE=45°$
∴$∠ ODE=∠ DOE$，
∴$DE=OE=3\ \mathrm{cm}$
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
∴$AC=2OD=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是矩形性质的常规综合应用题，解题的突破口是通过角度的数量关系推导出等腰直角三角形，需要学生熟练掌握矩形的边角、对角线性质，能灵活结合三角形内角和、勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.6
