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9.如图4，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
A
）A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
答案
9.A
解析
【分析】
首先回忆矩形的性质，矩形的四个内角都是直角，可先求出∠DAF的度数；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知AE是∠DAF的角平分线，因此∠DAE等于∠DAF的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAF=60°，
∴∠DAF=∠BAD - ∠BAF=90° - 60°=30°，
∵矩形ABCD沿AE折叠，点D落在BC边上的F处，
∴△ADE≌△AFE，即∠DAE=∠FAE，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，角的计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合矩形内角为直角的特征进行角度推导即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆矩形的性质，矩形的四个内角都是直角，可先求出∠DAF的度数；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知AE是∠DAF的角平分线，因此∠DAE等于∠DAF的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAF=60°，
∴∠DAF=∠BAD - ∠BAF=90° - 60°=30°，
∵矩形ABCD沿AE折叠，点D落在BC边上的F处，
∴△ADE≌△AFE，即∠DAE=∠FAE，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，角的计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合矩形内角为直角的特征进行角度推导即可。
【难度系数】
0.8
10.如图5,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,EF,AF,则△AEF的周长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$3$
B
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$3$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手，先得到菱形各边长度和各内角的度数：首先由菱形四边相等可得AB=BC=CD=2，结合∠B=60°可判定△ABC是等边三角形，利用等边三角形三线合一和勾股定理算出AE的长度，同理可得AF的长度；再计算EF的长度，可通过作高构造直角三角形，用勾股定理求解，最后将△AEF三边长度相加即为周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=120°。
∵E是BC的中点，
∴BE=1，
又
∵AB=BC=2，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE是等边△ABC的中线，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
同理可得$AF=\sqrt{3}$。
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EC=CF=1，
过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠BCD=120°，
∴∠FCH=60°，
在Rt△CFH中，∠CFH=30°，
∴$CH=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}$，$FH=\sqrt{CF^2-CH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$EH=EC+CH=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3}$，
∴△AEF的周长为$AE+AF+EF=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，需要结合菱形、等边三角形的性质和勾股定理进行计算，解题时注意构造直角三角形求解未知边的长度，也可通过判断△AEF为等边三角形简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先从菱形的性质入手，先得到菱形各边长度和各内角的度数：首先由菱形四边相等可得AB=BC=CD=2，结合∠B=60°可判定△ABC是等边三角形，利用等边三角形三线合一和勾股定理算出AE的长度，同理可得AF的长度；再计算EF的长度，可通过作高构造直角三角形，用勾股定理求解，最后将△AEF三边长度相加即为周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=120°。
∵E是BC的中点，
∴BE=1，
又
∵AB=BC=2，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE是等边△ABC的中线，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
同理可得$AF=\sqrt{3}$。
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EC=CF=1，
过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠BCD=120°，
∴∠FCH=60°，
在Rt△CFH中，∠CFH=30°，
∴$CH=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}$，$FH=\sqrt{CF^2-CH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$EH=EC+CH=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3}$，
∴△AEF的周长为$AE+AF+EF=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，需要结合菱形、等边三角形的性质和勾股定理进行计算，解题时注意构造直角三角形求解未知边的长度，也可通过判断△AEF为等边三角形简化计算过程。
【难度系数】
0.7
11.如图6,在正方形ABCD中,将△ABP绕点B顺时针旋转可与△CBP'重合,旋转的角度是
$90°$
. 答案
11.$90°$
解析
【分析】
要解这道题，首先明确旋转的相关概念：旋转角是指以旋转中心为顶点，对应点与旋转中心连线所形成的角，也等于两组对应边的夹角。首先确定本题的旋转中心是点B，再找到旋转前后的对应边，结合正方形的内角性质即可求出旋转角度。
【解析】
解：
∵△ABP绕点B顺时针旋转后与△CBP'重合，
∴旋转中心为点B，边BA的对应边是边BC，
又
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
根据旋转角的定义，BA与BC的夹角就是旋转角，
∴旋转的角度是90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确旋转角的定义，准确找到旋转中心和对应边，结合正方形的内角特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先明确旋转的相关概念：旋转角是指以旋转中心为顶点，对应点与旋转中心连线所形成的角，也等于两组对应边的夹角。首先确定本题的旋转中心是点B，再找到旋转前后的对应边，结合正方形的内角性质即可求出旋转角度。
【解析】
解：
∵△ABP绕点B顺时针旋转后与△CBP'重合，
∴旋转中心为点B，边BA的对应边是边BC，
又
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
根据旋转角的定义，BA与BC的夹角就是旋转角，
∴旋转的角度是90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确旋转角的定义，准确找到旋转中心和对应边，结合正方形的内角特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 如图 7, 在菱形 $ABCD$ 中, $AB=2$, $∠ BAD=60°$,$E$ 是 $AB$ 的中点,$P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点,则 $PE+PB$ 的最小值是________。
答案
12.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于几何最短路径问题，解题思路如下：1. 首先利用菱形的轴对称性，菱形对角线AC是对称轴，点B和点D关于AC对称，因此PB=PD，可将待求的PE+PB转化为PE+PD；2. 根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，PE+PD取得最小值，即为线段DE的长度；3. 结合已知的菱形边长、∠BAD=60°以及E是AB中点的条件，计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC是菱形的对称轴
∴ 点B与点D关于AC对称，因此PB=PD
∴ PE+PB = PE+PD
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PE+PD的值最小，最小值为DE的长度。
∵ 菱形ABCD中AB=AD=2，∠BAD=60°
∴ △ABD是等边三角形
又
∵ E是AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质
∴ DE⊥AB，AE=½AB=1
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
DE = √(AD² - AE²) = √(2² - 1²) = √3
因此PE+PB的最小值为√3。
【答案】
√3
【知识点】
1. 菱形的性质 2. 最短路径问题 3. 等边三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何最值类题型，解题核心是利用轴对称的性质将分散的线段转化到同一直线上，再结合特殊几何图形的性质计算线段长度，熟练掌握菱形、等边三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题属于几何最短路径问题，解题思路如下：1. 首先利用菱形的轴对称性，菱形对角线AC是对称轴，点B和点D关于AC对称，因此PB=PD，可将待求的PE+PB转化为PE+PD；2. 根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，PE+PD取得最小值，即为线段DE的长度；3. 结合已知的菱形边长、∠BAD=60°以及E是AB中点的条件，计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC是菱形的对称轴
∴ 点B与点D关于AC对称，因此PB=PD
∴ PE+PB = PE+PD
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PE+PD的值最小，最小值为DE的长度。
∵ 菱形ABCD中AB=AD=2，∠BAD=60°
∴ △ABD是等边三角形
又
∵ E是AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质
∴ DE⊥AB，AE=½AB=1
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
DE = √(AD² - AE²) = √(2² - 1²) = √3
因此PE+PB的最小值为√3。
【答案】
√3
【知识点】
1. 菱形的性质 2. 最短路径问题 3. 等边三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何最值类题型，解题核心是利用轴对称的性质将分散的线段转化到同一直线上，再结合特殊几何图形的性质计算线段长度，熟练掌握菱形、等边三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
13.如图8,在矩形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,连接EF,交AC于点O,连接AE,CF.若沿EF折叠矩形ABCD,则点A与点C重合.
(1)求证:四边形AECF为菱形；
(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的边长及EF的长.
(1)求证:四边形AECF为菱形；
(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的边长及EF的长.
答案
13.(1)略
(2)菱形AECF的边长为5,EF的长为$2\sqrt{5}$.
(2)菱形AECF的边长为5,EF的长为$2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形AECF为菱形，可先利用折叠性质得到EF垂直平分AC，再结合矩形对边平行的性质证明△AOF≌△COE，得到AF与CE平行且相等，先判定四边形是平行四边形，再结合邻边相等的性质证明其为菱形。
(2)求菱形边长时，可设边长为未知数，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解；求EF的长时，先利用勾股定理求出矩形对角线AC的长度，再在Rt△COE中求出OE的长度，结合菱形对角线互相平分的性质得到EF的长。
【解析】
(1)证明：
∵沿EF折叠矩形ABCD后点A与点C重合，
∴EF垂直平分AC，即$AO=OC$，$∠AOF=∠COE=90°$，且$AF=CF$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，
∴$∠OAF=∠OCE$。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCE\\ AO=CO\\ ∠ AOF=∠ COE\end{array} $
∴$△ AOF≌△ COE$（ASA），
∴$AF=CE$。
又
∵$AF// CE$，
∴四边形AECF是平行四边形。
又
∵$AF=CF$，
∴平行四边形AECF是菱形。
(2)解：设菱形AECF的边长为$x$，则$AE=EC=x$，$BE=BC-EC=8-x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠B=90°$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2+BE^2=AE^2$，
代入数据得：$4^2+(8-x)^2=x^2$，
展开计算：$16+64-16x+x^2=x^2$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，即菱形AECF的边长为5。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，
∵菱形对角线互相平分，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$，
在Rt△COE中，$OE=\sqrt{CE^2-OC^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}$，
∵菱形对角线互相平分，
∴$EF=2OE=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)菱形AECF的边长为5，EF的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
菱形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题结合折叠变换综合考查特殊四边形的性质与判定，折叠的轴对称性质是解题的切入点，利用勾股定理列方程求线段长度是几何计算的常用方法，解题时要熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质，灵活运用勾股定理求解未知线段。
【难度系数】
0.65
(1)要证明四边形AECF为菱形，可先利用折叠性质得到EF垂直平分AC，再结合矩形对边平行的性质证明△AOF≌△COE，得到AF与CE平行且相等，先判定四边形是平行四边形，再结合邻边相等的性质证明其为菱形。
(2)求菱形边长时，可设边长为未知数，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解；求EF的长时，先利用勾股定理求出矩形对角线AC的长度，再在Rt△COE中求出OE的长度，结合菱形对角线互相平分的性质得到EF的长。
【解析】
(1)证明：
∵沿EF折叠矩形ABCD后点A与点C重合，
∴EF垂直平分AC，即$AO=OC$，$∠AOF=∠COE=90°$，且$AF=CF$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，
∴$∠OAF=∠OCE$。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCE\\ AO=CO\\ ∠ AOF=∠ COE\end{array} $
∴$△ AOF≌△ COE$（ASA），
∴$AF=CE$。
又
∵$AF// CE$，
∴四边形AECF是平行四边形。
又
∵$AF=CF$，
∴平行四边形AECF是菱形。
(2)解：设菱形AECF的边长为$x$，则$AE=EC=x$，$BE=BC-EC=8-x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠B=90°$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2+BE^2=AE^2$，
代入数据得：$4^2+(8-x)^2=x^2$，
展开计算：$16+64-16x+x^2=x^2$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，即菱形AECF的边长为5。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，
∵菱形对角线互相平分，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$，
在Rt△COE中，$OE=\sqrt{CE^2-OC^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}$，
∵菱形对角线互相平分，
∴$EF=2OE=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)菱形AECF的边长为5，EF的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
菱形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题结合折叠变换综合考查特殊四边形的性质与判定，折叠的轴对称性质是解题的切入点，利用勾股定理列方程求线段长度是几何计算的常用方法，解题时要熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质，灵活运用勾股定理求解未知线段。
【难度系数】
0.65
14.如图9，以$△ ABC$的边$AB$，$AC$为边分别向外作正方形$ABDE$和正方形$ACFG$，连接$EG$，试判断$△ ABC$与$△ AEG$面积之间的关系，并说明理由。
答案
14.$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$,理由略.
解析
【分析】
要判断△ABC与△AEG的面积关系，可结合三角形面积公式（底×高÷2）分析：由正方形的性质可得AB=AE、AC=AG，两个三角形有一组等长的底AB和AE，只需证明这组底对应的高相等即可。通过观察两个三角形的夹角∠BAC和∠EAG互补，可通过作两条高构造全等三角形，证明高相等，进而推导面积关系。
【解析】
$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$，理由如下：
过点$C$作$CM⊥ AB$于点$M$，过点$G$作$GN⊥ EA$，交$EA$的延长线于点$N$，则$∠ AMC=∠ ANG=90°$。
∵四边形$ABDE$和四边形$ACFG$都是正方形，
∴$∠ EAB=∠ CAG=90°$，$AB=AE$，$AC=AG$，
∴$∠ EAG + ∠ BAC = 360° - ∠ EAB - ∠ CAG = 180°$，
又
∵$∠ EAG + ∠ GAN = 180°$（平角的定义），
∴$∠ BAC = ∠ GAN$。
在$△ ACM$和$△ AGN$中：
$\begin{cases}∠ AMC=∠ ANG \\∠ MAC=∠ NAG \\AC=AG\end{cases}$
∴$△ ACM≌△ AGN$（AAS），
∴$CM=GN$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CM$，$S_{△ AEG}=\frac{1}{2}× AE× GN$，且$AB=AE$，$CM=GN$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$。
【答案】
$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何典型题型，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，推导出两个三角形等底等高，从而得到面积相等的结论，能很好地考查学生对全等、正方形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC与△AEG的面积关系，可结合三角形面积公式（底×高÷2）分析：由正方形的性质可得AB=AE、AC=AG，两个三角形有一组等长的底AB和AE，只需证明这组底对应的高相等即可。通过观察两个三角形的夹角∠BAC和∠EAG互补，可通过作两条高构造全等三角形，证明高相等，进而推导面积关系。
【解析】
$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$，理由如下：
过点$C$作$CM⊥ AB$于点$M$，过点$G$作$GN⊥ EA$，交$EA$的延长线于点$N$，则$∠ AMC=∠ ANG=90°$。
∵四边形$ABDE$和四边形$ACFG$都是正方形，
∴$∠ EAB=∠ CAG=90°$，$AB=AE$，$AC=AG$，
∴$∠ EAG + ∠ BAC = 360° - ∠ EAB - ∠ CAG = 180°$，
又
∵$∠ EAG + ∠ GAN = 180°$（平角的定义），
∴$∠ BAC = ∠ GAN$。
在$△ ACM$和$△ AGN$中：
$\begin{cases}∠ AMC=∠ ANG \\∠ MAC=∠ NAG \\AC=AG\end{cases}$
∴$△ ACM≌△ AGN$（AAS），
∴$CM=GN$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CM$，$S_{△ AEG}=\frac{1}{2}× AE× GN$，且$AB=AE$，$CM=GN$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$。
【答案】
$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何典型题型，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，推导出两个三角形等底等高，从而得到面积相等的结论，能很好地考查学生对全等、正方形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
