9. 如图，$\odot O$中，如果$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，那么 （）

A.$AB=AC$
B.$AB=2AC$
C.$AB＜2AC$
D.$AB＞2AC$

9. C

【分析】
要比较弦AB和2AC的长度，不能直接由弧长的倍数关系得出弦长的倍数关系。我们可以通过拆分弧的方式，将2AC转化为两条等长的弦，再与AB放在同一个三角形中，利用三角形三边关系比较大小：首先取$\overset{\frown}{AB}$的中点，将长度为$2\overset{\frown}{AC}$的$\overset{\frown}{AB}$拆分为两个和$\overset{\frown}{AC}$相等的弧，根据等弧对等弦得到两条长度等于AC的弦，这两条弦与AB恰好构成三角形，再用三边关系即可得出结论。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$D$，连接$AD$、$BD$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$AD=BD=AC$。
在$△ ABD$中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，得$AD+BD＞AB$，
将$AD=BD=AC$代入得：$AC+AC＞AB$，即$AB＜2AC$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧与弦的关系；三角形三边关系
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题时要注意避免直接认为弧长的倍数等于弦长的倍数的误区，通过构造辅助线将弧的关系转化为弦的关系，结合三角形三边关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10. 如图，A，B，C，D是$\odot O$上四点，且$AD=CB$，求证：$AB=CD$. 第10题

10. $\because AD=CB,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB},\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}+\overset{\frown}{AC},即\overset{\frown}{CAD}=\overset{\frown}{ACB},\therefore AB=CD.$

【分析】
要证明$AB=CD$，可利用同圆中“相等的弧所对的弦相等”的性质推导。首先由已知弦$AD=CB$，结合同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$；再给两段等弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$相等，最终推出对应弦相等。
【解析】
证明：$\because AD=CB$，且$AD、CB$均为$\odot O$的弦，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等），
$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CAD}=\overset{\frown}{ACB}$，
$\therefore AB=CD$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
【答案】
$AB=CD$，得证。
【知识点】
1. 同圆弦弧对应关系
2. 弧的和差运算
【点评】
本题属于圆的对称性相关基础题，解题核心是熟练掌握同圆中弦与弧的互推关系，通过公共弧构造相等的弧即可快速完成证明，解题思路清晰，逻辑简单。
【难度系数】
0.8

11. 如图，以$□ ABCD$的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交$\odot A$于点G.
（1）求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$；
（2）若$\overset{\frown}{BF}$的度数为$50°$，求$∠ C$的度数.

11. （1）连接$AF.\because A$为圆心,$\therefore AB=AF,\therefore ∠ABF=∠AFB.$ $\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,$\therefore AD// BC,∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF,\therefore ∠DAF=∠GAD,\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$；
（2）$\because \overset{\frown}{BF}$的度数为$50°,\therefore ∠BAF=50°.$
$\because AB=AF,\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=65°.$ $\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,$\therefore AB// CD,\therefore ∠C=180°-∠B=115°.$

【分析】
（1）要证明两条弧相等，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明两条弧对应的圆心角相等即可。首先作辅助线连接AF，利用同圆半径相等得到AB=AF，推出等腰三角形底角相等；再结合平行四边形AD//BC的性质，推导得到∠GAD=∠DAF，即可证得弧相等。
（2）弧的度数等于它所对圆心角的度数，先由$\overset{\frown}{BF}$的度数得到∠BAF的度数，再利用等腰三角形内角和计算∠B的度数，最后结合平行四边形邻角互补的性质求出∠C即可。
【解析】
（1）证明：连接$AF$，
$\because A$为圆心，$AB、AF$均为$\odot A$的半径，$\therefore AB=AF$，$\therefore ∠ABF=∠AFB$。
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠AFB=∠DAF$，$∠GAD=∠ABF$，
$\therefore ∠DAF=∠GAD$，
$\therefore$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
（2）解：$\because \overset{\frown}{BF}$的度数为$50°$，弧的度数等于其所对圆心角的度数，$\therefore ∠BAF=50°$。
$\because AB=AF$，$△ ABF$为等腰三角形，
$\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠C+∠B=180°$，
$\therefore ∠C=180°-∠B=180°-65°=115°$。
【答案】
11. （1）连接$AF.\because A$为圆心,$\therefore AB=AF,\therefore ∠ABF=∠AFB.$ $\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,$\therefore AD// BC,∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF,\therefore ∠DAF=∠GAD,\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$；
（2）$\because \overset{\frown}{BF}$的度数为$50°,\therefore ∠BAF=50°.$
$\because AB=AF,\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=65°.$ $\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,$\therefore AB// CD,\therefore ∠C=180°-∠B=115°.$

【知识点】
弧与圆心角关系、平行四边形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将圆的基础性质与平行四边形、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线AF，灵活运用同圆中圆心角与弧的对应关系推导结论，有助于巩固几何图形的基础性质应用。
【难度系数】
0.7

12. 小明在完成作业“如图1，$∠ AOB=90°$，$C,D$ 是以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦$AB$分别交$OC,OD$于点$E,F$，求证：$AE=BF=CD$”的基础上，做了如下尝试如图2，“把$∠ AOB=90°$改为$∠ AOB=120°$，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，$∠ AOB=n°$，$C,D$ 是以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦$AB$分别交$OC,OD$于点$E,F$，求证：$AE=BF=CD$”。请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程。

12. 尝试:连接$AC,BD,\because$ 在$\odot O$中,$∠AOB=120°$,C,D为以O为圆心的弧AB的三等分点,$\therefore ∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×120°=40°.$ $\because OA=OB,\therefore ∠OAB=∠OBA=30°.$ $\because ∠AOC=∠BOD=40°,$
$\therefore ∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+40°=70°.$ $\because OA=OC,∠AOC=40°,\therefore ∠ACE=70°,\therefore ∠ACE=∠AEC,$
$\therefore AC=AE$,同理$BF=BD.$ $\because C,D$是的三等分点,$\therefore AC=CD=BD,\therefore AE=BF=CD.$
猜想:连接$AC,BD,$
$\because$ 在$\odot O$中,$∠AOB=n°$,C,D为以O为圆心的弧AB的三等分点,$\therefore ∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°,$
$\because OA=OB,\therefore ∠OAB=∠OBA=(\frac{180-n}{2})°.$ $\because ∠AOC=∠BOD=(\frac{n}{3})°,\therefore ∠AEC=∠OAB+∠AOC=$
$(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°.$ $\because OA=OC,∠AOC=(\frac{n}{3})°,\therefore ∠ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°,\therefore ∠ACE=$
$∠AEC,\therefore AC=AE$,同理$BF=BD.$ $\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD,\therefore AE=BF=CD.$

【分析】
要证明$AE=BF=CD$，首先利用圆的弧三等分点性质，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，根据等弧对等弦，推出$AC=CD=BD$，因此只需证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。接下来通过等腰$△ OAB$计算底角$∠ OAB$的度数，结合三角形外角性质求出$∠ AEC$的度数，再计算等腰$△ OAC$的底角$∠ ACE$的度数，证明$∠ ACE=∠ AEC$，即可得$AC=AE$，同理证明$BF=BD$，最终推导得出三条线段相等。
【解析】
尝试证明：
连接$AC,BD$，
$\because$ 在$\odot O$中，$∠ AOB=120°$，$C,D$为以$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
$\because OA=OB$，$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
$\because ∠ AOC=∠ BOD=40°$，
$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
$\because OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
$\therefore ∠ ACE=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$，$\therefore AC=AE$，同理可得$BF=BD$。
$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$\therefore AC=CD=BD$，
$\therefore AE=BF=CD$。
猜想证明：
连接$AC,BD$，
$\because$ 在$\odot O$中，$∠ AOB=n°$，$C,D$为以$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$。
$\because OA=OB$，$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=(\frac{180-n}{2})°$。
$\because ∠ AOC=∠ BOD=(\frac{n}{3})°$，
$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
$\because OA=OC$，$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$，
$\therefore ∠ ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$，$\therefore AC=AE$，同理可得$BF=BD$。
$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$\therefore AC=CD=BD$，
$\therefore AE=BF=CD$。
【答案】

【知识点】
弧弦圆心角的关系、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题是从特殊角度到一般角度的探究类问题，核心是利用圆中弧、弦、圆心角的等量关系将待证相等的线段转化为等腰三角形的边，通过角度计算证明边相等，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.6