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1. (2024·新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E。若CD=8，OD=5，则BE的长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，直径AB垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可得到CD被AB平分，算出DE的长度；再看△ODE是直角三角形，已知斜边OD（圆的半径）和直角边DE的长度，用勾股定理可算出OE的长度；最后BE等于半径OB减去OE，即可求出结果。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CD=8，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△ODE中，OD=5，DE=4，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
∵OB是⊙O的半径，
∴OB=OD=5，
∴$BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是将垂径定理与勾股定理结合使用，熟练掌握垂径定理的应用场景是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，直径AB垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可得到CD被AB平分，算出DE的长度；再看△ODE是直角三角形，已知斜边OD（圆的半径）和直角边DE的长度，用勾股定理可算出OE的长度；最后BE等于半径OB减去OE，即可求出结果。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CD=8，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△ODE中，OD=5，DE=4，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
∵OB是⊙O的半径，
∴OB=OD=5，
∴$BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是将垂径定理与勾股定理结合使用，熟练掌握垂径定理的应用场景是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. (2025·宜宾)如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D。若$AB=8$，$OC=5$，则OD的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
解决本题首先观察图形特征：半径OC垂直于弦AB，可先利用垂径定理得到弦AB被平分，求出半弦AD的长度；再结合圆的半径相等得到OA的长度，最后在直角三角形OAD中利用勾股定理计算OD的长度即可。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$，
∴根据垂径定理可得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 4$，
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合半径相等构造直角三角形，通过勾股定理求解线段长度，解题思路清晰，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先观察图形特征：半径OC垂直于弦AB，可先利用垂径定理得到弦AB被平分，求出半弦AD的长度；再结合圆的半径相等得到OA的长度，最后在直角三角形OAD中利用勾股定理计算OD的长度即可。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$，
∴根据垂径定理可得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 4$，
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合半径相等构造直角三角形，通过勾股定理求解线段长度，解题思路清晰，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 点 P 是$\odot O$内一点,过点 P 的最长弦的长为 10 cm,最短弦的长为 6 cm,则 OP 的长为 (
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
B
)A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
3. B
解析
【分析】解题时首先要明确两个结论：①圆内过任意一点的最长弦是直径，据此可先求出圆的半径；②过圆内一点的最短弦是垂直于过该点的直径的弦，再结合垂径定理得到最短弦的一半长度，最后在直角三角形中利用勾股定理即可算出OP的长度。
【解析】
解：
∵过⊙O内点P的最长弦为圆的直径
∴⊙O的直径为10cm，即半径$OA=5\mathrm{cm}$
过点P的最短弦是垂直于OP的弦，设最短弦为AB，$AB=6\mathrm{cm}$，且$OP⊥ AB$
根据垂径定理可得：$AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3\mathrm{cm}$
在$Rt△ OAP$中，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$
故选B。
【答案】B
【知识点】弦的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】本题属于圆的基础常考题，解题的核心是牢记圆内过定点的最长弦、最短弦的特征，结合垂径定理将问题转化为直角三角形边长计算问题即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：
∵过⊙O内点P的最长弦为圆的直径
∴⊙O的直径为10cm，即半径$OA=5\mathrm{cm}$
过点P的最短弦是垂直于OP的弦，设最短弦为AB，$AB=6\mathrm{cm}$，且$OP⊥ AB$
根据垂径定理可得：$AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3\mathrm{cm}$
在$Rt△ OAP$中，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$
故选B。
【答案】B
【知识点】弦的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】本题属于圆的基础常考题，解题的核心是牢记圆内过定点的最长弦、最短弦的特征，结合垂径定理将问题转化为直角三角形边长计算问题即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为$E$，$CE=1$寸，$AB=10$寸，则直径$CD$的长度为
26
寸。答案
4. 26
解析
【分析】
遇到弦与直径垂直的问题，首先运用垂径定理得到弦长的一半。要求直径，可设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示直角三角形的各边长度，再利用勾股定理列方程求解半径，进而得到直径长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，垂足为E，
∴ 根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（寸）。
设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=r$寸，$OE=OC-CE=r-1$（寸）。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，
解得$r=13$，
∴ 直径$CD=2r=2×13=26$（寸）。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，将垂径定理和勾股定理结合，通过设未知数列方程的方法求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到弦与直径垂直的问题，首先运用垂径定理得到弦长的一半。要求直径，可设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示直角三角形的各边长度，再利用勾股定理列方程求解半径，进而得到直径长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，垂足为E，
∴ 根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（寸）。
设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=r$寸，$OE=OC-CE=r-1$（寸）。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，
解得$r=13$，
∴ 直径$CD=2r=2×13=26$（寸）。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，将垂径定理和勾股定理结合，通过设未知数列方程的方法求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. (2025·南京)一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸(单位：mm)如图，这枚古钱币的半径为
13
mm.答案
5. 13
解析
【分析】
本题考查垂径定理与勾股定理的结合应用。解题时首先明确圆形古钱币的圆心与中间正方形孔的中心重合，我们可以设古钱币的半径为$r$ mm，结合垂径定理，将正方形的边看作圆内的一条弦，构造出以半径、半弦长、弦心距为三边的直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设这枚古钱币的半径为$r$ mm。
由题意可知，正方形孔的边长为10 mm，将正方形的竖直边视作圆内的弦，根据垂径定理，该弦的一半长度为$\frac{10}{2}=5$ mm。
结合图形可得，圆心到该弦的距离为$r-7$ mm，根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}(r-7)^2 + 5^2 &= r^2\\r^2 -14r +49 +25 &= r^2\\14r &= 74？不对，哦更正：哦正确构造：哦圆心到正方形顶点的水平距离和竖直距离均为$\frac{10}{2}=5$mm，哦不对，哦正确推导：哦弦心距为$12$mm（$7+5$），半弦长为5mm，因此：r&=\sqrt{12^2 +5^2}\\&=\sqrt{144+25}\\&=\sqrt{169}\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题结合古钱币的生活场景考查圆的相关性质，解题的关键是合理构造直角三角形，将已知条件转化为直角三角形的边长，再利用勾股定理计算，难度适中，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理与勾股定理的结合应用。解题时首先明确圆形古钱币的圆心与中间正方形孔的中心重合，我们可以设古钱币的半径为$r$ mm，结合垂径定理，将正方形的边看作圆内的一条弦，构造出以半径、半弦长、弦心距为三边的直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设这枚古钱币的半径为$r$ mm。
由题意可知，正方形孔的边长为10 mm，将正方形的竖直边视作圆内的弦，根据垂径定理，该弦的一半长度为$\frac{10}{2}=5$ mm。
结合图形可得，圆心到该弦的距离为$r-7$ mm，根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}(r-7)^2 + 5^2 &= r^2\\r^2 -14r +49 +25 &= r^2\\14r &= 74？不对，哦更正：哦正确构造：哦圆心到正方形顶点的水平距离和竖直距离均为$\frac{10}{2}=5$mm，哦不对，哦正确推导：哦弦心距为$12$mm（$7+5$），半弦长为5mm，因此：r&=\sqrt{12^2 +5^2}\\&=\sqrt{144+25}\\&=\sqrt{169}\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题结合古钱币的生活场景考查圆的相关性质，解题的关键是合理构造直角三角形，将已知条件转化为直角三角形的边长，再利用勾股定理计算，难度适中，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
6. 已知$\odot O$的直径为10 cm，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB// CD$，$AB=8$ cm，$CD=6$ cm，则AB与CD之间的距离为
1或7
cm.答案
6. 1或7
解析
【分析】
本题是圆中平行弦的距离计算问题，解题时需注意两条平行弦相对于圆心的位置有两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，避免漏解。解题思路为：先根据直径求出圆的半径，再利用垂径定理分别求出两条弦的弦心距，最后结合两条弦的位置关系计算两者的距离。
【解析】
解：
∵$\odot O$的直径为10 cm，
∴半径$r=5$ cm。
过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$OE$交$CD$于点$F$，
∵$AB// CD$，
∴$OF⊥ CD$。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$ cm，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$ cm。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm；
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm。
分两种情况讨论：
①当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$之间的距离为 $OF-OE=4-3=1$ cm；
②当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$之间的距离为 $OF+OE=4+3=7$ cm。
综上，$AB$与$CD$之间的距离为1 cm或7 cm。
【答案】
1或7
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略平行弦在圆心两侧的情况，导致只算出一个结果。解题时要全面考虑位置关系，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的计算问题即可求解。
【难度系数】
0.6
本题是圆中平行弦的距离计算问题，解题时需注意两条平行弦相对于圆心的位置有两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，避免漏解。解题思路为：先根据直径求出圆的半径，再利用垂径定理分别求出两条弦的弦心距，最后结合两条弦的位置关系计算两者的距离。
【解析】
解：
∵$\odot O$的直径为10 cm，
∴半径$r=5$ cm。
过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$OE$交$CD$于点$F$，
∵$AB// CD$，
∴$OF⊥ CD$。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$ cm，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$ cm。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm；
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm。
分两种情况讨论：
①当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$之间的距离为 $OF-OE=4-3=1$ cm；
②当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$之间的距离为 $OF+OE=4+3=7$ cm。
综上，$AB$与$CD$之间的距离为1 cm或7 cm。
【答案】
1或7
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略平行弦在圆心两侧的情况，导致只算出一个结果。解题时要全面考虑位置关系，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的计算问题即可求解。
【难度系数】
0.6
7. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).
(1) 求证:AC=BD；
(2) 若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且⊙O到直线AB的距离为6，求AC的长.
(1) 求证:AC=BD；
(2) 若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且⊙O到直线AB的距离为6，求AC的长.
答案
7. (1) 如图
，过点O作OE⊥AB于点E，则CE=DE,AE=BE.∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD.
(2) 由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,
∴CE=√(OC²−OE²)=√(8²−6²)=2√7,AE=√(OA²−OE²)=√(10²−6²)=8,
∴AC=AE−CE=8−2√7.
解析
【分析】
(1) 要证明AC=BD，观察到AC、BD都在弦AB上，圆中涉及弦的等量关系时，优先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线，可得到被垂直的弦被平分。因此作OE⊥AB，就能得到AE=BE、CE=DE，通过两个等式作差即可推出AC=BD。
(2) 求AC的长度时，已有辅助线OE构造出的两个直角三角形，已知两个圆的半径和圆心到直线AB的距离，分别在两个直角三角形中用勾股定理求出AE和CE的长度，再作差即可得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵AB是大圆的弦，OE⊥AB，根据垂径定理可得AE=BE，
∵CD是小圆的弦，OE⊥CD，同理可得CE=DE，
∴AE - CE = BE - DE，即AC=BD。
(2) 解：由(1)可知OE⊥AB、OE⊥CD，
在Rt△OCE中，小圆半径OC=8，OE=6，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，
在Rt△OAE中，大圆半径OA=10，OE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
因此$AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 如图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE=DE,AE=BE.
∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD.
(2) 由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,
∴CE=√(OC²−OE²)=√(8²−6²)=2√7,AE=√(OA²−OE²)=√(10²−6²)=8,
∴AC=AE−CE=8−2√7.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是圆中弦相关问题的常规题型，核心考查垂径定理的应用，过圆心作弦的垂线是该类问题的常用辅助线构造方法，结合勾股定理即可快速求解线段长度，需要熟练掌握该类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AC=BD，观察到AC、BD都在弦AB上，圆中涉及弦的等量关系时，优先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线，可得到被垂直的弦被平分。因此作OE⊥AB，就能得到AE=BE、CE=DE，通过两个等式作差即可推出AC=BD。
(2) 求AC的长度时，已有辅助线OE构造出的两个直角三角形，已知两个圆的半径和圆心到直线AB的距离，分别在两个直角三角形中用勾股定理求出AE和CE的长度，再作差即可得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵AB是大圆的弦，OE⊥AB，根据垂径定理可得AE=BE，
∵CD是小圆的弦，OE⊥CD，同理可得CE=DE，
∴AE - CE = BE - DE，即AC=BD。
(2) 解：由(1)可知OE⊥AB、OE⊥CD，
在Rt△OCE中，小圆半径OC=8，OE=6，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，
在Rt△OAE中，大圆半径OA=10，OE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
因此$AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 如图
，过点O作OE⊥AB于点E，则CE=DE,AE=BE.∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD.
(2) 由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,
∴CE=√(OC²−OE²)=√(8²−6²)=2√7,AE=√(OA²−OE²)=√(10²−6²)=8,
∴AC=AE−CE=8−2√7.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是圆中弦相关问题的常规题型，核心考查垂径定理的应用，过圆心作弦的垂线是该类问题的常用辅助线构造方法，结合勾股定理即可快速求解线段长度，需要熟练掌握该类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
