23. (10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P,Q是△ABC边上的两个动点,点P从点A开始沿A→C方向运动,且速度为每秒1个单位长度,点Q从点C开始沿C→B→A方向运动,且速度为每秒2个单位长度,它们同时出发,当点Q到达点A时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)当t=2时,求线段PQ的长.
(2)当t为何值时,△APB是等腰三角形?
(3)当点Q在边BA上运动时,直接写出△CBQ为等腰三角形时的运动时间.

23. (1)当$t=2$时,$CQ=2 × 2=4$,$CP=8-1 × 2=6$,
在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中, $PQ = \sqrt{CQ^2 + CP^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$.(3分)
(2)如图①,当$△ APB$是等腰三角形时,则$AP=BP=t$,则$CP=8-t$.

在$\mathrm{Rt}△ CPB$中,由勾股定理,得$6^2+(8-t)^2=t^2$.
$\therefore t=\frac{25}{4}$.
故当$t=\frac{25}{4}$时,$△ APB$是等腰三角形.(7分)
(3)$\frac{11}{2}$秒或6秒或$\frac{33}{5}$秒.(10分)
【解析】当点Q在边BA上运动时,若$△ CBQ$为等腰三角形,应分三种情况:
①如图②,若$CQ=BQ$,则$∠ B=∠ BCQ$.
$\because ∠ B+∠ A=∠ BCQ+∠ ACQ=90°$,$\therefore ∠ A=∠ ACQ$.
$\therefore CQ=AQ$.$\therefore BQ=AQ$.
在$\mathrm{Rt}△ BCA$中, $BA = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ ,
$\therefore BQ=5$.$\therefore 2t-6=5$.$\therefore t=\frac{11}{2}$.

②如图③,若$BQ=BC$,则$2t-6=6$.$\therefore t=6$.

③如图④,若$CQ=CB$,过点C作$CE ⊥ AB$于点E,则$BE=EQ$, $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CE$.

$\because AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ ,
$\therefore \frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 × CE . \therefore CE = \frac{24}{5}$.
$\therefore BE = \sqrt{BC^2 - CE^2} = \sqrt{6^2 - (\frac{24}{5})^2} = \frac{18}{5}$.
$\therefore BQ=2BE=\frac{36}{5}$.$\therefore 2t-6=\frac{36}{5}$.$\therefore t=\frac{33}{5}$.
综上可知,当运动时间为$\frac{11}{2}$秒或6秒或$\frac{33}{5}$秒时,$△ CBQ$为等腰三角形.