登录
7. 如图，已知AB=AC，AD=AE，欲说明△ABD≌△ACE，需补充的条件是 （）
A.∠B=∠C
B.∠D=∠E
C.∠1=∠2
D.∠CAD=∠2
A.∠B=∠C
B.∠D=∠E
C.∠1=∠2
D.∠CAD=∠2
答案
C
解析
已知AB=AC，AD=AE，若补充条件∠1=∠2，可得∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，可证明△ABD≌△ACE。选项A、B给出的条件属于两边及其中一边的对角相等（SSA），无法判定三角形全等；选项D的条件无法推出两个三角形的对应夹角相等，不能证明全等。
8. 如图，AB⊥CD且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD。若CE=8，BF=5，EF=3，则AD的长度为（）
A.8
B.9
C.10
D.11
A.8
B.9
C.10
D.11
答案
C
解析
∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C。
在△ABF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l} ∠AFB=∠CED \\ ∠A=∠C \\ AB=CD \end{array} $
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE=8，DE=BF=5。
∵AF=AE+EF，EF=3，
∴AE=AF-EF=8-3=5，
∴AD=AE+DE=5+5=10。
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C。
在△ABF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l} ∠AFB=∠CED \\ ∠A=∠C \\ AB=CD \end{array} $
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE=8，DE=BF=5。
∵AF=AE+EF，EF=3，
∴AE=AF-EF=8-3=5，
∴AD=AE+DE=5+5=10。
9. 如图，$△ ABC$的面积为12，$AE$垂直$∠ ABC$的平分线$BD$于点$D$，$AE$交$BC$于点$E$，若$BE:CE=2:1$，则$△ ABD$的面积为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
1. 由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠EBD；由AE⊥BD，得∠ADB=∠EDB=90°，又BD为公共边，根据ASA可证△ABD≌△EBD，因此AD=DE，即D是AE的中点。
2. 已知BE:CE=2:1，△ABE与△ACE同高，面积比为2:1，结合S△ABC=12，可得S△ABE=12×2/(2+1)=8。
3. 因为AD=DE，△ABD和△EBD等底同高，面积相等，因此S△ABD=1/2 S△ABE=4。
2. 已知BE:CE=2:1，△ABE与△ACE同高，面积比为2:1，结合S△ABC=12，可得S△ABE=12×2/(2+1)=8。
3. 因为AD=DE，△ABD和△EBD等底同高，面积相等，因此S△ABD=1/2 S△ABE=4。
10. 如图,小强同学用10块高度都是2 cm 的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一把等腰直角三角尺$(AC=BC,∠ACB=90^{\circ })$,点 C 在 DE 上,点 A 和点 B 分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离为cm。
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
解：
由题意得：$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ D=∠ E=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=180°-90°=90°$，
又$\because ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB\ (\mathrm{AAS})$。
由木块高度为$2\ \mathrm{cm}$可得：
$AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$，$BE=7×2=14\ \mathrm{cm}$，
由全等性质得：$CE=AD=6\ \mathrm{cm}$，$DC=BE=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=14+6=20\ \mathrm{cm}$。
最终
由题意得：$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ D=∠ E=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=180°-90°=90°$，
又$\because ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB\ (\mathrm{AAS})$。
由木块高度为$2\ \mathrm{cm}$可得：
$AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$，$BE=7×2=14\ \mathrm{cm}$，
由全等性质得：$CE=AD=6\ \mathrm{cm}$，$DC=BE=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=14+6=20\ \mathrm{cm}$。
最终
11. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm，当小红从水平位置CD下降30 cm时，小明离地面的高度是 cm。
答案
$\boldsymbol{80}$
解析
解：过点F作FA⊥CD于点A，过点G作GB⊥CD于点B，
∴∠FAO=∠GBO=90°，
∵O是跷跷板的中点，
∴OF=OG，
又∵∠AOF=∠BOG，
∴△AOF≌△BOG（AAS），
∴FA=GB=30 cm，
∵支点O至地面的距离是50 cm，
∴小明离地面的高度为50+30=80 cm。
∴∠FAO=∠GBO=90°，
∵O是跷跷板的中点，
∴OF=OG，
又∵∠AOF=∠BOG，
∴△AOF≌△BOG（AAS），
∴FA=GB=30 cm，
∵支点O至地面的距离是50 cm，
∴小明离地面的高度为50+30=80 cm。
12. 如图(1)，小明想要测出塑料瓶直壁的厚度。由于不便测出塑料瓶的内径，他动手制作了一个简单的工具，如图(2)所示(AC=BD，O为AC，BD的中点)，解决了测瓶内径的问题。小明测得瓶的外径为a，图(2)中DC的长为b，则瓶直壁的厚度x=(用含a，b的代数式表示)。
答案
$\boldsymbol{\frac{a-b}{2}}$
解析
解：
∵ O为AC，BD的中点，
∴ AO = OC，BO = OD。
又∵ ∠AOB = ∠COD（对顶角相等），
在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}AO=CO \\∠AOB=∠COD \\BO=DO\end{array} $
∴ △AOB ≌ △COD（SAS）。
∴ AB = DC = b。
根据瓶外径与厚度的关系可得：$2x + b = a$，
解得 $x=\frac{a-b}{2}$。
最终
∵ O为AC，BD的中点，
∴ AO = OC，BO = OD。
又∵ ∠AOB = ∠COD（对顶角相等），
在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}AO=CO \\∠AOB=∠COD \\BO=DO\end{array} $
∴ △AOB ≌ △COD（SAS）。
∴ AB = DC = b。
根据瓶外径与厚度的关系可得：$2x + b = a$，
解得 $x=\frac{a-b}{2}$。
最终
13. 如图，$AB=AD$，$BC=DC$，点$E$在$AC$上。试说明：$BE=DE$。
答案
证明：
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\BC=DC \\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC=∠DAC
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAE=∠DAE \\AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（SAS）
∴BE=DE。
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\BC=DC \\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC=∠DAC
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAE=∠DAE \\AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（SAS）
∴BE=DE。
