1.在平面直角坐标系中,一个动点A从原点O出发,按向上、向右、向下、向右……的方向依次不断移动,每次只移动1个单位长度,其行走路线如图所示.

(1)填写下列各点的坐标: $A_4$ , $A_6$ , $A_{12}$ , $A_{14}$ ;
(2)按此规律移动,n为正整数,则点 $A_{4n}$ 的坐标为 ,点 $A_{4n+2}$ 的坐标为 ;
(3)动点A从点 $A_{2026}$ 到点 $A_{2027}$ 的移动方向是 .(填“向上”“向右”或“向下”)

(1)$A_4(2,0)$;$A_6(3,1)$;$A_{12}(6,0)$;$A_{14}(7,1)$
(2)$A_{4n}(2n,0)$;$A_{4n+2}(2n+1,1)$
(3)向下

【分析】
本题是平面直角坐标系中的动点规律题，解题思路如下：首先观察移动方向，发现按“向上、向右、向下、向右”4次移动为一个周期，每个周期内点向右移动2个单位，纵坐标最终回到0；第二步先写出前若干个点的坐标，总结下标与坐标的对应关系，将点按下标除以4的余数分为4类找规律；第三步针对不同问题，代入规律求解，判断移动方向时只需确定点在周期内的位置即可。
【解析】
首先列出前若干个点的坐标：
$A_1(0,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,0)$，$A_4(2,0)$，$A_5(2,1)$，$A_6(3,1)$，$A_7(3,0)$，$A_8(4,0)$，$A_9(4,1)$，$A_{10}(5,1)$，$A_{11}(5,0)$，$A_{12}(6,0)$，$A_{13}(6,1)$，$A_{14}(7,1)$……
(1) 由上述坐标直接可得对应点的坐标。
(2) 观察下标为4的倍数的点：$A_4(2,0)$、$A_8(4,0)$、$A_{12}(6,0)$，可知横坐标为下标的一半，纵坐标为0，因此$A_{4n}$的坐标为$(2n,0)$；
观察下标为$4n+2$的点：$A_2(1,1)$、$A_6(3,1)$、$A_{10}(5,1)$，可知横坐标为$2n+1$，纵坐标恒为1，因此$A_{4n+2}$的坐标为$(2n+1,1)$。
(3) 计算2026除以4的余数：$2026=4×506+2$，即$A_{2026}$属于下标为$4n+2$的点，观察规律可知该类点的下一个移动方向为向下，因此$A_{2026}$到$A_{2027}$的移动方向是向下。
【答案】
(1)$(2,0)$；$(3,1)$；$(6,0)$；$(7,1)$
(2)$(2n,0)$；$(2n+1,1)$
(3)向下
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究，周期规律应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过前几个点的坐标归纳出周期变化规律，考查学生的观察能力和归纳总结能力，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，即$(0,0),(1,0),(1,1),(2,2),(2,1),(2,0),(3,0),···$，根据规律探索可得，第2027个点的坐标为（）


A.$(62,11)$
B.$(63,10)$
C.$(63,11)$
D.$(64,10)$

B 【点拨】由题图知,第一列有1个点,点的横坐标为0,第二列有2个点,点的横坐标为1,第三列有3个点,点的横坐标为2,…,以此类推,第n列有n个点,点的横坐标为n-1,且奇数列点由上到下排列,偶数列点从下到上排列,所以前n列点的总数为$\frac{n(n+1)}{2}$. 因为$\frac{63×64}{2}=2016$,$\frac{64×65}{2}=2080$,$2016＜2027＜2080$,所以第2027个点在第64列.所以第2027个点的横坐标为63.因为$2027-2016=11$,64为偶数列,所以第2027个点的纵坐标为10.所以第2027个点的坐标为(63,10).故选B.

【分析】
要解决这类平面直角坐标系的点的规律问题，首先总结排列规律：①先看每列的点数：横坐标为k的列（即第k+1列）共有k+1个点，前n列的总点数是前n个正整数的和，即$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$；②再看排列方向：列数n为奇数时，点从上到下排列，列数n为偶数时，点从下到上排列。接下来通过求和公式找到第2027个点所在的列数，再根据列的排列方向确定纵坐标，即可得到坐标。
【解析】
第一步：总结排列规律
观察点的排列可知，第1列（横坐标为0）有1个点，第2列（横坐标为1）有2个点，……，第n列（横坐标为$n-1$）有n个点；且奇数列（n为奇数）的点从上到下排列，偶数列（n为偶数）的点从下到上排列，前n列的总点数为$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。
第二步：确定点所在的列数及横坐标
计算得：$\frac{63×64}{2}=2016$，$\frac{64×65}{2}=2080$，
因为$2016＜2027＜2080$，所以第2027个点在第64列，横坐标为$64-1=63$。
第三步：确定纵坐标
第2027个点是第64列的第$2027-2016=11$个点，
因为64是偶数列，点从下到上排列，最下方第1个点的纵坐标为0，因此第11个点的纵坐标为$11-1=10$。
综上，第2027个点的坐标为$(63,10)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标系规律探究，等差数列求和，坐标表示
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的经典规律探究题，解题核心是先归纳出每列点数、排列方向与列数的对应关系，再结合求和公式定位目标点的位置，重点考查观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,△OPQ是直角三角形,点O为直角顶点,已知点$P(\dfrac{3}{2},0),Q(0,2),PQ=\dfrac{5}{2}$,将△OPQ按如图方式在x轴上向左连续翻滚,依次得到$△_1,△_2,△_3,△_4,\dots$,则$△_{2026}$的直角顶点的横坐标是.

-4 050 【点拨】由题意得从$△_1$的直角顶点到$△_3$的直角顶点经过的路程恰好为$△OPQ$的周长,即$2+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=6$,故$△_3$的直角顶点的横坐标为$-6$,$△_4$的直角顶点的横坐标为$-6$.
同理,从$△_4$的直角顶点到$△_6$的直角顶点经过的路程恰好为$2+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=6$,故$△_6$的直角顶点的横坐标为$-12$,$△_7$的直角顶点的横坐标为$-12$,…,所以$△_1,△_4,△_7,…,△_{1+3n}$的直角顶点的横坐标为$0,-6,-12,…,-6n$.因为$2026=1+3×675$,所以$△_{2026}$的直角顶点的横坐标为$-6×675=-4050$.

【分析】
解决这类图形翻滚的规律问题，可按以下思路思考：首先计算原直角三角形的周长，观察翻滚过程中直角顶点的位置变化，找到翻滚的周期：每翻滚3次，三角形恰好沿x轴向左移动一个周长的长度，对应直角顶点的横坐标减少固定值；接着总结不同序号三角形的直角顶点横坐标的通用规律，最后将2026代入规律计算即可得到结果。
【解析】
1. 先计算Rt△OPQ的周长：
已知$OP=\frac{3}{2}$，$OQ=2$，$PQ=\frac{5}{2}$，因此周长为$\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}=6$。
2. 观察翻滚的周期规律：
△₁的直角顶点在原点，横坐标为0；
每连续翻滚3次，三角形沿x轴向左移动的距离等于其周长6，即直角顶点的横坐标减少6；
总结规律：序号为$1+3n$（n为非负整数）的三角形，直角顶点的横坐标为$-6n$。
3. 对应2026的位置：
因为$2026=1+3×675$，即n=675，代入规律得横坐标为$-6×675=-4050$。
【答案】
$-4050$
【知识点】
坐标系规律探究，图形的旋转，周期规律应用
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的典型规律探究题，解题的核心是从少量的特殊情况中总结出通用的周期变化规律，再结合所求序号对应的规律位置求解，能有效考察学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$A,B,C,D$是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点$A,B$依次放在点$(1,0),(2,0)$的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点$C$落在点$(3,0)$的位置，第2次滚动使点$D$落在点$(4,0)$的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点$A$的坐标是。

(2 028,1) 【点拨】第1次滚动点$A_1$的坐标为$(2,1)$,第2次滚动点$A_2$的坐标为$(4,1)$,第3次滚动点$A_3$的坐标为$(5,0)$,第4次滚动点$A_4$的坐标为$(5,0)$,第5次滚动点$A_5$的坐标为$(6,1)$,…,所以$A_{4n+1}(4n+2,1)$,$A_{4n+2}(4n+4,1)$,$A_{4n+3}(4n+5,0)$,$A_{4n+4}(4n+5,0)$.因为$2026÷4=506……2$,所以第2026次滚动后,顶点A的坐标为$(4×506+4,1)$,即$(2028,1)$.

【分析】
这是一道平面直角坐标系中的滚动规律探究题，解题思路如下：第一步先根据题目给出的滚动规则，依次列举出前几次滚动后顶点A的坐标；第二步观察坐标的变化特征，找到滚动的循环周期以及每个周期内坐标的变化规律；第三步计算2026次滚动对应的周期余数，匹配对应的规律即可求出最终坐标。
【解析】
先按滚动规则列出前几次滚动后点A的坐标：
初始未滚动时，点A坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$；
第1次滚动后，点A坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$；
第2次滚动后，点A坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$；
第3次滚动后，点A坐标为$\boldsymbol{(5,0)}$；
第4次滚动后，点A坐标为$\boldsymbol{(5,0)}$；
第5次滚动后，点A坐标为$\boldsymbol{(6,1)}$；
……
观察可得：滚动周期为4次，每完成1个周期（4次滚动），点A的横坐标增加4，纵坐标按“1,1,0,0”的顺序循环，规律如下（$n$为非负整数）：
1. 滚动次数为$4n+1$时，$A(4n+2,1)$；
2. 滚动次数为$4n+2$时，$A(4n+4,1)$；
3. 滚动次数为$4n+3$时，$A(4n+5,0)$；
4. 滚动次数为$4n+4$时，$A(4n+5,0)$。
计算$2026÷4=506······2$，即2026次滚动对应$n=506$时的$4n+2$的情况，代入规律得：
横坐标：$4×506 +4=2028$，纵坐标为$1$。
【答案】
$\boldsymbol{(2028,1)}$
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标
2. 周期规律探究
【点评】
本题属于坐标系中的动态规律类问题，核心是通过列举前几次的坐标归纳出循环周期和对应坐标的变化规律，考查学生的观察归纳能力和规律迁移应用能力，是坐标系规律题的常见考法。
【难度系数】
0.6

5. 在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,把点$P_1(y,\dfrac{1}{1-x})$叫作点$P$的友好点.已知点$A_1$的友好点为点$A_2$,点$A_2$的友好点为点$A_3$,$···$,这样依次得到点$A_1,A_2,A_3,A_4,···,A_n$,若点$A_1$的坐标为$(\dfrac{1}{2},2)$,则根据友好点的定义,点$A_{2026}$的坐标为.

(-1,-1) 【点拨】根据已知易得$A_2(2,2)$,$A_3(2,-1)$,$A_4(-1,-1)$,$A_5(-1,\frac{1}{2})$,$A_6(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$A_7(\frac{1}{2},2)$,…,观察发现,每6个点为一个循环组依次循环.因为$2026÷6=337……4$,所以点$A_{2026}$的坐标与$A_4$的坐标相同,为$(-1,-1)$.

【分析】
解决本题首先要明确“友好点”的变换规则：对于点$P(x,y)$，其友好点为$(y,\frac{1}{1-x})$。这类依次变换得到点列的问题通常存在周期循环规律，解题思路如下：第一步，根据变换规则依次计算前若干个点的坐标；第二步，观察计算结果找到循环周期；第三步，用序号2026除以周期，根据余数确定$A_{2026}$对应循环组内的点，即可得到坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(\frac{1}{2},2)$，根据友好点的定义依次计算：
1. 求$A_2$：$A_1$的$x=\frac{1}{2},y=2$，则$A_2$的横坐标为$2$，纵坐标为$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，即$A_2(2,2)$；
2. 求$A_3$：$A_2$的$x=2,y=2$，则$A_3$的横坐标为$2$，纵坐标为$\frac{1}{1-2}=-1$，即$A_3(2,-1)$；
3. 求$A_4$：$A_3$的$x=2,y=-1$，则$A_4$的横坐标为$-1$，纵坐标为$\frac{1}{1-2}=-1$，即$A_4(-1,-1)$；
4. 求$A_5$：$A_4$的$x=-1,y=-1$，则$A_5$的横坐标为$-1$，纵坐标为$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$，即$A_5(-1,\frac{1}{2})$；
5. 求$A_6$：$A_5$的$x=-1,y=\frac{1}{2}$，则$A_6$的横坐标为$\frac{1}{2}$，纵坐标为$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$，即$A_6(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$；
6. 求$A_7$：$A_6$的$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$，则$A_7$的横坐标为$\frac{1}{2}$，纵坐标为$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，即$A_7(\frac{1}{2},2)$，与$A_1$坐标一致。
由此可得，点列每6个为一个循环组依次循环。
计算$2026÷6=337······4$，余数为4，说明$A_{2026}$的坐标与循环组内第4个点$A_4$的坐标相同。
【答案】
$(-1,-1)$
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换，周期规律探究
【点评】
本题是新定义结合规律探究的典型题型，核心是准确理解新定义的变换规则，通过枚举前几个点归纳出循环周期，再利用周期性质求解，既考查基本计算能力，也考查归纳推理能力，计算时要注意分式运算的准确性，避免因计算错误找错周期。
【难度系数】
0.6

6. [江苏竞赛] 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，对于点 $ P(x,y) $ 和 $ Q(-x,y') $，给出如下定义：$ y' = \begin{cases} y & (x ≥ 0), \\ -y & (x ＜ 0), \end{cases} $ 称点 $ Q $ 为点 $ P $ 的“可控变点”。例如：点 $ (1,2) $ 的“可控变点”为点 $ (-1,2) $，点 $ (-1,2) $ 的“可控变点”为点 $ (1,-2) $。根据定义，解答下列问题：
(1) 点 $ (3,4) $ 的“可控变点”为点 ；
(2) 点 $ P_1 $ 的“可控变点”为点 $ P_2 $，点 $ P_2 $ 的“可控变点”为点 $ P_3 $，点 $ P_3 $ 的“可控变点”为点 $ P_4 $，…，以此类推。若点 $ P_{2026} $ 的坐标为 $ (3,a) $，求点 $ P_1 $ 的坐标。

【解】(1)$(-3,4)$
(2)设$P_1(x,y)$.当$x≥0$时,点$P_1(x,y)$的“可控变点”为点$P_2(-x,y)$,点$P_2(-x,y)$的“可控变点”为点$P_3(x,-y)$,点$P_3(x,-y)$的“可控变点”为点$P_4(-x,-y)$,点$P_4(-x,-y)$的“可控变点”为点$P_5(x,y)$,…,故每四个点为一组循环;当$x＜0$时,同理可得每四个点为一组循环.因为$2026=4×506+2$,所以若点$P_{2026}$的坐标为$(3,a)$,则点$P_1$的坐标为$(-3,-a)$.

【分析】
(1) 第一问直接套用“可控变点”定义求解即可：先判断已知点横坐标的正负，再对应计算可控变点的横、纵坐标。点(3,4)横坐标3≥0，因此可控变点横坐标为-3，纵坐标与原纵坐标相等，可直接得到结果。
(2) 第二问是规律探究类问题，解题思路为：先设出P₁的坐标，按定义依次写出前几个点的坐标，归纳出变换的周期规律；再用2026除以周期得到余数，确定P₂₀₂₆对应周期内的位置；最后结合P₂₀₂₆的坐标反推P₁的坐标即可。
【解析】
(1) 对于点(3,4)，横坐标$x=3≥0$，根据“可控变点”的定义，其可控变点的横坐标为$-x=-3$，纵坐标$y'=y=4$，因此该点的可控变点为$(-3,4)$。
(2) 设点$P_1$的坐标为$(x,y)$：
① 当$x≥0$时：$P_1(x,y)$的可控变点$P_2(-x,y)$；$P_2$横坐标$-x＜0$，可控变点$P_3(x,-y)$；$P_3$横坐标$x≥0$，可控变点$P_4(-x,-y)$；$P_4$横坐标$-x＜0$，可控变点$P_5(x,y)$，可见$P_5$与$P_1$坐标相同，变换周期为4。
② 当$x＜0$时，同理可推导得变换周期也为4。
由于$2026=4×506+2$，余数为2，因此$P_{2026}$的坐标和$P_2$一致，即$P_2=(3,a)$。
根据定义，$P_2$的横坐标为$-x=3$，得$x=-3＜0$；此时$P_2$的纵坐标为$-y=a$，得$y=-a$，因此$P_1$坐标为$(-3,-a)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-3,4)}$；(2) $\boldsymbol{(-3,-a)}$
【知识点】
新定义问题，周期规律探究，坐标变换
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中的规律探究，解题核心是准确理解“可控变点”的定义，通过枚举前几个点的坐标总结周期规律，再利用余数定位对应位置反推初始坐标，可有效考查学生的阅读理解能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6