1.如图，已知$∠ AOC=30°$，$∠ BOC=150°$，OD平分$∠ BOA$，若点A表示为$(2,30°)$，点B表示为$(4,150°)$，则点D表示为（）

A.$(5,90°)$
B.$(5,75°)$
C.$(5,60°)$
D.$(5,120°)$

1.A

【分析】
首先明确题目中新定义坐标的表示规则：第一个数是点到圆心O的距离（即点所在同心圆的半径），第二个数是该点与O的连线和x轴正方向的夹角。解题思路如下：第一步先计算∠BOA的度数；第二步根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，再结合OA对应的角度算出OD与x轴正方向的夹角；第三步观察图形确定点D所在同心圆的半径，即可得到点D的表示。
【解析】
1. 计算∠AOB的度数：
已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，因此∠AOB=∠BOC-∠AOC=150°-30°=120°。
2. 计算OD与x轴正方向的夹角：
因为OD平分∠BOA，根据角平分线的定义，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
由点A表示为$(2,30°)$可知，OA与x轴正方向的夹角为30°，因此OD与x轴正方向的夹角为$30°+60°=90°$。
3. 确定点D到O的距离：
观察同心圆的刻度，最外侧同心圆半径为5，点D在最外侧同心圆上，因此点D到O的距离为5。
综上，点D表示为$(5,90°)$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，新定义坐标
【点评】
本题将新定义坐标和角的计算结合，解题的核心是先读懂坐标的表示规则，再结合角平分线的性质计算角度，同时观察图形确定点所在的圆的半径即可求解，整体较为基础。
【难度系数】
0.7

2. [2026德阳期中]将自然数按以下规律排列：

表中数2在第二行第一列，与有序数对(2,1)对应，数5与(1,3)对应，数14与(3,4)对应，根据这一规律，数2029对应的有序数对为。

2.(46,4) 【点拨】由题意可得,第一列的奇数行的数的规律是:第几行就是几的平方；第一行的偶数列的规律是:第几列就是几的平方.因为45×45=2025，所以数2025在45行,第1列.因为2025+4=2029，所以2029在第46行,第4列，故数2029对应的有序数对为(46,4).

【分析】
解决这道题首先要观察表格的数字排列规律：先看第一列的奇数行，第1行第1列是1=1²，第3行第1列是9=3²，可总结出规律：第一列奇数行的数等于该行行号的平方；再看排列方向，奇数行的数从左到右依次递减，排完该行对应个数后，下一行（偶数行）的数从左到右依次递增。接下来先找到小于2029的最大完全平方数，确定基准数的位置，再按排列顺序推出2029的位置即可。
【解析】
第一步：总结排列规律
① 第一列中，奇数行的数等于对应行号的平方，即若n为奇数，则第n行第1列的数为n²；
② 奇数行的数从左向右依次递减，该行排列结束后，下一行（偶数行）的数从左向右依次递增。
第二步：找基准数
计算最接近2029的完全平方数：$45^2=2025$，45是奇数，因此数2025对应的有序数对为$(45,1)$。
第三步：推导2029的位置
2025的下一个数2026位于第46行第1列，第46行是偶数行，数从左向右依次加1：
第46行第1列：2026，第2列：2027，第3列：2028，第4列：2029。
因此2029对应的有序数对为$(46,4)$。
【答案】
$(46,4)$
【知识点】
数字排列规律，完全平方数
【点评】
本题属于规律探究类题目，重点考查观察归纳能力，解题核心是先找到特殊位置（第一列奇数行）的数字规律，再以此为基准顺推目标数的位置，掌握完全平方数的特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6

3. 在平面直角坐标系中，若点A的坐标为($\sqrt{a^2 +1}$, $b^2 +3$)，则点A所在的象限是（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3.A

【分析】
要判断点A所在的象限，首先需要明确平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限(正,正)、第二象限(负,正)、第三象限(负,负)、第四象限(正,负)，因此只需分别判断点A横坐标、纵坐标的正负性即可。根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，结合算术平方根的非负性，就能分别推出横、纵坐标的符号，进而确定所在象限。
【解析】
1. 明确各象限坐标符号特征：第一象限的点横、纵坐标均为正数，第二象限横坐标负、纵坐标正，第三象限横、纵坐标均为负数，第四象限横坐标正、纵坐标负。
2. 判断横坐标的符号：
∵ 对任意实数a，都有$a^2≥0$，
∴ $a^2+1≥1＞0$，
又
∵ 算术平方根的结果为非负数，且被开方数大于0时，算术平方根也大于0，
∴ $\sqrt{a^2+1} ＞ 0$，即点A的横坐标为正。
3. 判断纵坐标的符号：
∵ 对任意实数b，都有$b^2≥0$，
∴ $b^2+3≥3＞0$，即点A的纵坐标为正。
4. 点A横、纵坐标均为正，符合第一象限的点的坐标特征，因此点A在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
象限的坐标特征，平方的非负性，算术平方根的性质
【点评】
本题是基础概念综合题，将非负数的性质与象限坐标特征结合考查，解题核心是准确判断横纵坐标的正负，掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9

4. 已知点A的坐标为$(a+1,3-a)$，下列说法正确的是（）

A.若点A在y轴上，则$a=3$
B.若点A在第一、三象限的角平分线上，则$a=1$
C.若点A到x轴的距离是3，则$a=\pm6$
D.若点A在第四象限，则a的值可以为-2

4.B

【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题时需先回忆各类特殊位置点的坐标规律：y轴上的点横坐标为0；第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值；第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，再逐一对每个选项列方程或不等式求解验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：若点A在y轴上，则横坐标为0，即$a+1=0$，解得$a=-1≠3$，故A错误；
选项B：若点A在第一、三象限的角平分线上，则横纵坐标相等，即$a+1=3-a$，移项得$2a=2$，解得$a=1$，故B正确；
选项C：若点A到x轴的距离是3，则纵坐标的绝对值为3，即$\vert3-a\vert=3$，可得$3-a=3$或$3-a=-3$，解得$a=0$或$a=6$，不是$a=\pm6$，故C错误；
选项D：若点A在第四象限，则需满足横坐标＞0且纵坐标＜0，即$\begin{cases}a+1＞0 \\3-a＜0 \end{cases}$，解得$a＞3$，$-2＜3$不符合要求，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
特殊位置点的坐标特征；点到坐标轴的距离；象限内点的符号规律
【点评】
本题属于坐标系基础考点，核心是熟练掌握不同位置点的坐标性质，解题时注意涉及距离的计算要结合绝对值求解，避免漏解，判断象限问题要牢记各象限横纵坐标的符号要求。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(1,2),点C的坐标为(1,-4),AB=BC,D为AC上一点,且BD平行于x轴,BD=AD,则点B的坐标为。

5.(-2,-1)

【分析】
首先观察点A和点C的坐标，二者横坐标相同，可知AC是垂直于x轴的竖直线段；结合BD平行于x轴，可推出BD⊥AC。已知AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得D是AC的中点，先求出D点坐标，再结合BD=AD的条件，即可求出点B的坐标。
【解析】
1. 求点D的坐标
∵点A坐标为(1,2)，点C坐标为(1,-4)，两点横坐标相同，
∴AC为垂直于x轴的竖直线段，AC上所有点的横坐标均为1，且AC长度为$2-(-4)=6$。
又
∵$AB=BC$，$BD// x$轴，
∴$BD⊥ AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，D是AC的中点，
∴D点的纵坐标为$\frac{2+(-4)}{2}=-1$，即D点坐标为$(1,-1)$。
2. 求点B的坐标
∵$BD// x$轴，
∴B和D的纵坐标相同，设B点坐标为$(x,-1)$。
计算AD的长度：$AD=2-(-1)=3$，
BD的长度为$1-x$（B在D左侧，x＜1），
∵$BD=AD$，
∴$1-x=3$，解得$x=-2$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
等腰三角形三线合一，坐标与图形性质，两点间距离计算
【点评】
本题侧重考查基础几何性质在平面直角坐标系中的灵活运用，解题关键是先判断AC的线段特征，结合等腰三角形性质得到D点坐标，再根据线段相等关系求解，属于基础综合类题目。
【难度系数】
0.7

6. 中国象棋文化历史久远，雅俗共赏，具有广泛的参与度.象棋残局是象棋的基础，如图就是某次对弈的残局图.如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点$(-1,-2)$，“象”位于点$(-2,5)$，那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 ()


A.$(1,3)$
B.$(2,3)$
C.$(2,2)$
D.$(3,2)$

6.C

【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，解题思路如下：首先明确平面直角坐标系中横坐标右正左负、纵坐标上正下负，每个网格代表1个单位长度；第一步根据已知点“帅”的坐标(-1,-2)确定原点位置：y轴在帅右侧1格，x轴在帅上方2格，两线交点即为原点；第二步用“象”的坐标(-2,5)验证坐标系是否正确，确保坐标系建立无误；最后数出“兵”对应的横、纵坐标即可得到答案。
【解析】
1. 确定坐标系基本规则：网格每个小格为1个单位长度，x轴正方向向右，y轴正方向向上。
2. 定位原点：已知“帅”坐标为(-1,-2)，横坐标为-1说明y轴（x=0）在帅所在位置向右平移1格的竖直线上，纵坐标为-2说明x轴（y=0）在帅所在位置向上平移2格的水平线上，两线交点就是原点(0,0)。
3. 验证坐标系：“象”坐标为(-2,5)，即原点向左2格、向上5格的位置，和图中象的位置完全吻合，坐标系建立正确。
4. 确定兵的坐标：观察“兵”的位置，在原点向右2格（横坐标为2），向上2格（纵坐标为2），因此兵的坐标为(2,2)。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标表示
【点评】
本题结合中国象棋的场景考查平面直角坐标系的实际应用，解题核心是通过已知点准确确定坐标系的原点和正方向，场景贴近生活，只要细心数格就不易出错。
【难度系数】
0.8

7.[2026 西安新城区期中] 在平面直角坐标系中，点$A(a-1,3)$与点$B(b,a+b)$关于$x$轴对称，则$-3a+b$的立方根为 （）

A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$

7.C

【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个规律列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的取值后，代入代数式$-3a+b$计算结果，最后求该结果的立方根即可得到答案。
【解析】
∵点$A(a-1,3)$与点$B(b,a+b)$关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得方程组：
$\begin{cases}a-1=b \quad \mathrm{①} \\a+b=-3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①代入②，得$a+(a-1)=-3$，
化简得$2a-1=-3$，
解得$a=-1$，
把$a=-1$代入①，得$b=-1-1=-2$。
将$a=-1$，$b=-2$代入$-3a+b$，得：
$-3×(-1)+(-2)=3-2=1$，
∵1的立方根是1，
∴$-3a+b$的立方根为1。
【答案】
C
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；解二元一次方程组；立方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确记忆关于x轴对称的点的坐标变化规律，注意不要混淆x轴、y轴对称的坐标特征，避免列错方程组，再结合方程组求解、立方根计算的知识就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

8.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(3,0)$,$B(0,2)$,过点$B$作$y$轴的垂线$l$,$P$为直线$l$上一动点,连接$PO$,$PA$,则$PO + PA$的最小值为.

8.5 【点拨】取点$O'(0,4)$,连接$O'P,O'A$,如图. 因为$B(0,2)$.直线$l$垂直于$y$轴,所以点$O'(0,4)$与点$O(0,0)$关于直线$l$对称,所以$PO'=PO$,所以$PO+PA=PO'+PA≥ O'A$,即$PO+PA$的最小值为$O'A$的长. 在$\mathrm{Rt}△ O'AO$中,因为$OA=3,OO'=4$,所以由勾股定理,得$O'A=\sqrt{OA^2+OO'^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以$PO+PA$的最小值为5.

【分析】
本题是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先明确已知条件：直线l是过B(0,2)且垂直于y轴的直线，点P在l上运动，要求PO+PA的最小值。其次回忆最短路径问题的解法：求直线上动点到直线同侧两定点的距离和最小值时，可通过作其中一个定点关于该直线的对称点，利用轴对称性质将线段转化，结合“两点之间线段最短”，将距离和的最小值转化为两点间的线段长度。最后计算长度：作点O关于直线l的对称点O'，将PO转化为PO'，则PO+PA=PO'+PA，最小值就是O'到A的距离，再用勾股定理计算该距离即可。
【解析】
取点O'(0,4)，连接O'P、O'A，如图。
∵ B(0,2)，直线l垂直于y轴，
∴ 直线l的解析式为y=2，点O(0,0)与点O'(0,4)关于直线l对称，根据轴对称的性质可得PO'=PO，
∴ PO+PA=PO'+PA，根据两点之间线段最短可知，PO'+PA≥O'A，即当O'、P、A三点共线时，PO+PA取得最小值，最小值为O'A的长度。
在Rt△O'AO中，OA=3，OO'=4，∠AOO'=90°，
由勾股定理得：$O'A=\sqrt{OA^2+OO'^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此PO+PA的最小值为5。
【答案】
5，如图
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题考查最短路径问题的应用，解题核心是利用轴对称变换将同侧两条线段的和转化为可求的两点间线段长度，再结合勾股定理计算结果，此类题型是几何中最短路径的常考类型，掌握对称转化的思路是解题关键。
【难度系数】
0.7

9. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知$A(1,1)$，$B(3,0)$，$C(2,3)$。

(1)在平面直角坐标系中画出$△ ABC$，$△ ABC$的面积是；
(2)若点$D$与点$A$关于$y$轴对称，点$E$与点$B$关于$y$轴对称，点$F$与点$C$关于$x$轴对称，画出$△ DFE$，写出点$F$的坐标为；
(3)已知$P$为坐标轴上的一点，若$△ ABP$的面积为3，求点$P$的坐标。

9.【解】(1)如图,$△ ABC$即为所求.
(2)如图,$△ DEF$即为所求.
(3)分情况讨论:①当点$P$在$x$轴上时,因为$△ ABP$的面积为3,$A(1,1)$,所以$\dfrac{1}{2}BP×1=3$. 所以$BP=6$.所以点$P$的坐标为$(-3,0)$或$(9,0)$;
②当点$P$在$y$轴上时,设$P(0,m)$,当点$P$在负半轴上时,$3×|1-m|-\dfrac{1}{2}×|1-m|×1-\dfrac{1}{2}×|m|×3-\dfrac{1}{2}×2×1=3$,整理得$5|1-m|-3|m|=8$,即$5-5m+3m=8$,解得$m=-\dfrac{3}{2}$;
当点$P$在正半轴上时,连接$OA$,则$\dfrac{1}{2}× m×3-\dfrac{1}{2}× m×1-\dfrac{1}{2}×3×1=3$,解得$m=\dfrac{9}{2}$.
所以点$P$的坐标为$(0,-\dfrac{3}{2})$或$(0,\dfrac{9}{2})$.
综上,点$P$的坐标为$(0,-\dfrac{3}{2})$或$(0,\dfrac{9}{2})$或$(-3,0)$或$(9,0)$.

【分析】
(1) 先根据三点坐标描点画出△ABC，采用割补法求面积：用包含△ABC的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积；
(2) 利用坐标轴对称的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，求出D、E、F的坐标，描点画出△DEF，直接写出F的坐标；
(3) 点P在坐标轴上，分P在x轴、P在y轴两种情况讨论：P在x轴上时，△ABP的高为A点到x轴的距离，结合面积公式求出BP长度，进而得到P点坐标；P在y轴上时，用割补法表示△ABP的面积，列方程求解得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据A(1,1)、B(3,0)、C(2,3)在坐标系中描点，连线得到△ABC。
取包围△ABC的矩形，顶点为(1,0)、(3,0)、(3,3)、(1,3)，矩形面积为$2×3=6$；
周围三个直角三角形面积分别为$\dfrac{1}{2}×2×1=1$、$\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$、$\dfrac{1}{2}×1×2=1$；
因此$S_{△ ABC}=6-1-\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{5}{2}$。
(2) 点D与A关于y轴对称，得D(-1,1)；点E与B关于y轴对称，得E(-3,0)；点F与C关于x轴对称，得F(2,-3)，描点连线得到△DEF。
(3) 分两种情况讨论：
① 当P在x轴上时，△ABP的高为A到x轴的距离1，由面积为3得$\dfrac{1}{2}× BP×1=3$，解得BP=6。
已知B(3,0)，则P点横坐标为$3+6=9$或$3-6=-3$，即P(-3,0)或(9,0)。
② 当P在y轴上时，设P(0,m)，用割补法列面积方程，解得$m=\dfrac{9}{2}$或$m=-\dfrac{3}{2}$，即P(0,$\dfrac{9}{2}$)或(0,$-\dfrac{3}{2}$)。
【答案】
(1) 如图，$\dfrac{5}{2}$
(2) 如图，$(2,-3)$
(3) $(-3,0)$、$(9,0)$、$(0,-\dfrac{3}{2})$、$(0,\dfrac{9}{2})$
【知识点】
1. 坐标与图形性质
2. 轴对称的坐标变化
3. 三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关应用，解题时需要掌握对称点的坐标规律，会用割补法计算网格中三角形的面积，同时要注意对P点的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6