1. 新趋势 学科内综合 如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(-2,2)，(1,-1)，则点B的坐标是 ()

A.(-1,-2)
B.(-1,-3)
C.(-2,-1)
D.(-3,-1)

1.C

2.如图,在正方形ABCD中,以对角线BD为边作菱形BDFE,连接BF,则∠AFB的度数为.

2.22.5°

3. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,以点C为圆心,CO长为半径作弧,交CD于点E,连接OE,则$∠ DOE=$ ()

A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$67.5°$

3.A

4.如图,正方形ABCD的边长为2,连接AC,BD,CE平分$∠ ACD$交BD于点E,则DE的长是（）

A.$2-\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}-1$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}-2$

4.D 【点拨】如图，过点 E 作 $EF ⊥ DC$ 于点 F，设 AC交 BD 于点 O. $\because$ 四边形 ABCD 是正方形，$\therefore AC ⊥ BD,∠ BDC=45°.\because CE$ 平分 $∠ ACD$ 交 BD 于点 E，$\therefore ∠ ECO=∠ ECF,EO=EF.\because$ 正方形 ABCD 的边长为 2，$\therefore AB = BC = 2$，$\therefore$ 由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\therefore CO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}.$ 在 $△ EOC$ 和$△ EFC$ 中，
$\begin{cases}∠ EOC=∠ EFC,\\∠ OCE=∠ FCE,\\EO=EF,\end{cases}$$\therefore △ EOC≌△ EFC(\mathrm{AAS}),\therefore CF=CO=\sqrt{2}.\because EF⊥ DC,∠ BDC=45°,\therefore △ DEF$ 为等腰直角三角形，$\therefore EF=DF=DC-CF=2-\sqrt{2},\therefore DE=\sqrt{2}DF=2\sqrt{2}-2.$ 故选 D.

5.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠DBC的平分线BF交CD于点E,交AC于点F.
(1)求证:EC=FC;
(2)若OF=1,求AB的长度.

5.(1)【证明】$\because$ AC,BD是正方形ABCD的对角线，
$\therefore ∠ ACB=∠ DBC=∠ BDC=45°.$
$\because BE$ 平分 $∠ DBC$，
$\therefore ∠ DBE=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ DBC=22.5°,$
$\therefore ∠ FEC=∠ BDC+∠ DBE=67.5°,∠ EFC=∠ ACB+∠ EBC=67.5°,$
$\therefore ∠ FEC=∠ EFC,\therefore EC=FC.$
(2)【解】如图,作 $FH// BC$ 交 BD 于点 H.
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore OB=OC,∠ BOC=90°.$
$\because FH// BC$，
$\therefore ∠ BFH=∠ FBC,∠ OHF=∠ OBC,∠ OFH=∠ OCB.$
又 $\because ∠ OBC=∠ OCB,\therefore ∠ OHF=∠ OFH$，
$\therefore OH=OF=1,\therefore FH=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$
$\because ∠ HBF=∠ FBC,\therefore ∠ HBF=∠ BFH$，
$\therefore BH=FH=\sqrt{2},\therefore OB=1+\sqrt{2}$，
$\therefore AB=BC=\sqrt{2}OB=2+\sqrt{2}.$

6. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）

A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.2

6.B 【点拨】如图，连接 AC,CF，由正方形的性质可得 $∠ ACD=∠ FCG=45°,\therefore ∠ ACF=90°.$ $\because H$ 是 AF 的中点，$\therefore CH=\frac{1}{2}AF.$ 由正方形的性质可得 $∠ B=90°,AB=BC=1,\therefore AC^2=AB^2+BC^2=1^2+1^2=2,$ 同理可得 $CF^2=3^2+3^2=18,\therefore AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=2\sqrt{5},\therefore CH=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5},$ 故选 B.

7. 母题 教材$P_{17}$例1 如图,在正方形$ABCD$中,$E$为$CD$边上一点,$F$为$BC$延长线上一点,且$CE=CF$,连接$EF$,$BE$,$DF$.给出下列几个结论:①$BE=DF$;②$BE⊥ DF$;③$EF=\sqrt{2}CF$;④$∠ EDF=∠ EBF$;⑤$ED=2EC$.其中正确结论的个数是（）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

7.C 【点拨】如图,延长 BE,交 DF 于点 G. $\because$ 四边形 ABCD是正方形,$\therefore BC=DC,∠ BCE=∠ DCF=90°$,在 $△ BCE$ 和$△ DCF$ 中, $\begin{cases}BC=DC,\\∠ BCE=∠ DCF,\\CE=CF,\end{cases}$ $\therefore △ BCE ≌ △ DCF$(SAS),$\therefore BE=DF,∠ CBE=∠ CDF$,则结论①正确;即$∠ EDF=∠ EBF$,则结论④正确;由对顶角相等得 $∠ BEC=∠ DEG,\therefore 180°-∠ CBE-∠ BEC = 180°-∠ CDF-∠ DEG$,即 $∠ BCE=∠ DGE=90°,\therefore BE⊥ DF$,则结论②正确;$\because CE=CF,∠ DCF=90°,\therefore EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{2}CF$,则结论③正确;无法说明 $ED=2EC$ 成立,结论⑤错误;综上,正确结论的个数是 4 个.