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趣味探究
估算无理数的大小
【提出问题】古希腊有个毕达哥拉斯学派,他们认为“万物皆数”,即一切量都可以用整数或整数的比表示.后来他们发现,边长为1的正方形的对角线的长不能表示为整数或整数之比(即$\sqrt{2}$不是有理数),对此他们感到惊恐不安.那么$\sqrt{2}$的整数部分是多少呢?
【探究问题】大家知道,$\sqrt{2}$是无理数,是无限不循环小数,也就是说,我们不能把$\sqrt{2}$的小数部分完整地写出来.但我们可以先估算出$\sqrt{2}$的整数部分,再用原数减去其整数部分,得到的差就是其小数部分.因为$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$,所以$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的整数部分是1,这样我们就可以用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分了.
【方法归纳】确定无理数的整数部分时先对无理数平方,再找出与平方后所得数字相邻的两个完全平方数的整数,最后对找出的两个整数开平方,就可确定该无理数在哪两个相邻的整数之间.
估算无理数的大小
【提出问题】古希腊有个毕达哥拉斯学派,他们认为“万物皆数”,即一切量都可以用整数或整数的比表示.后来他们发现,边长为1的正方形的对角线的长不能表示为整数或整数之比(即$\sqrt{2}$不是有理数),对此他们感到惊恐不安.那么$\sqrt{2}$的整数部分是多少呢?
【探究问题】大家知道,$\sqrt{2}$是无理数,是无限不循环小数,也就是说,我们不能把$\sqrt{2}$的小数部分完整地写出来.但我们可以先估算出$\sqrt{2}$的整数部分,再用原数减去其整数部分,得到的差就是其小数部分.因为$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$,所以$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的整数部分是1,这样我们就可以用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分了.
【方法归纳】确定无理数的整数部分时先对无理数平方,再找出与平方后所得数字相邻的两个完全平方数的整数,最后对找出的两个整数开平方,就可确定该无理数在哪两个相邻的整数之间.
答案
1
解析
要确定$\sqrt{2}$的整数部分，需找到与2相邻的两个完全平方数，因为$1^2=1$，$2^2=4$，满足$1＜2＜4$，对这三个数同时开平方可得$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，因此$\sqrt{2}$的整数部分是1。
17. (1)求$\sqrt{17}$的小数部分.
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，求$a+b-\sqrt{5}$的平方根.
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，求$a+b-\sqrt{5}$的平方根.
答案
(1)$\sqrt{17}$的小数部分为$\sqrt{17}-4$
(2)$\pm1$
(2)$\pm1$
