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7.已知二元一次方程$4x+5y=5$，用含$x$的代数式表示$y$，则可表示为
$y=1-\dfrac{4}{5}x$
。答案
7.$y=1-\dfrac{4}{5}x$
解析
【分析】
本题要求用含x的代数式表示y，解题思路是把x当作已知数，将原式看作关于y的一元一次方程求解，按照解一元一次方程的步骤，先移项，再把y的系数化为1即可得到结果。
【解析】
已知二元一次方程$4x+5y=5$，
第一步：移项，将含$x$的项移到等号右侧，移项要变号，可得$5y=5-4x$；
第二步：将$y$的系数化为1，等式两边同时除以5，可得$y=\frac{5-4x}{5}$，化简后为$y=1-\frac{4}{5}x$。
【答案】
$y=1-\dfrac{4}{5}x$
【知识点】
二元一次方程变形、等式的性质、代数式化简
【点评】
本题是基础运算题，核心考查等式性质的应用，熟练掌握移项、系数化为1的运算规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
本题要求用含x的代数式表示y，解题思路是把x当作已知数，将原式看作关于y的一元一次方程求解，按照解一元一次方程的步骤，先移项，再把y的系数化为1即可得到结果。
【解析】
已知二元一次方程$4x+5y=5$，
第一步：移项，将含$x$的项移到等号右侧，移项要变号，可得$5y=5-4x$；
第二步：将$y$的系数化为1，等式两边同时除以5，可得$y=\frac{5-4x}{5}$，化简后为$y=1-\frac{4}{5}x$。
【答案】
$y=1-\dfrac{4}{5}x$
【知识点】
二元一次方程变形、等式的性质、代数式化简
【点评】
本题是基础运算题，核心考查等式性质的应用，熟练掌握移项、系数化为1的运算规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
8.已知$x^{m-1}+2y^{n+1}=9$是二元一次方程，
则$m=$
则$m=$
2
，$n=$0
.答案
8.$m=2\ \ n=0$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程的定义要求：二元一次方程需要满足三个条件：①含有2个不同的未知数；②每个未知数的次数都为1；③是整式方程。本题中方程已经包含x、y两个未知数，且属于整式方程，因此只需让x、y的次数都等于1，列出关于m、n的一元一次方程，求解即可得到m、n的取值。
【解析】
解：
∵$x^{m-1}+2y^{n+1}=9$是二元一次方程，根据二元一次方程的定义，每个未知数的次数都为1，
∴x的次数满足：$m-1=1$，
移项计算得：$m=1+1=2$；
y的次数满足：$n+1=1$，
移项计算得：$n=1-1=0$。
【答案】
$m=2$，$n=0$
【知识点】
二元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念类题目，解题关键是牢记二元一次方程的核心特征，抓住“每个未知数的次数为1”的要求列方程计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需明确二元一次方程的定义要求：二元一次方程需要满足三个条件：①含有2个不同的未知数；②每个未知数的次数都为1；③是整式方程。本题中方程已经包含x、y两个未知数，且属于整式方程，因此只需让x、y的次数都等于1，列出关于m、n的一元一次方程，求解即可得到m、n的取值。
【解析】
解：
∵$x^{m-1}+2y^{n+1}=9$是二元一次方程，根据二元一次方程的定义，每个未知数的次数都为1，
∴x的次数满足：$m-1=1$，
移项计算得：$m=1+1=2$；
y的次数满足：$n+1=1$，
移项计算得：$n=1-1=0$。
【答案】
$m=2$，$n=0$
【知识点】
二元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念类题目，解题关键是牢记二元一次方程的核心特征，抓住“每个未知数的次数为1”的要求列方程计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
9.若$\begin{cases}3x^{a-1}+8y=2, \\4x+bz=y\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程组，则$ab=$ ______ 。
答案
9.0
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组的核心要求：一是方程组中只含有指定的2个未知数（本题是x和y），二是所有含未知数的项的次数都为1。我们可以分两步推导：先根据x的次数要求求出a的值，再根据不能出现额外未知数z的要求求出b的值，最后计算ab即可。
【解析】
∵ 该方程组是关于x，y的二元一次方程组
∴ 首先，含未知数的项的次数为1：对于第一个方程中x的项，次数$a-1=1$，解得$a=2$；
其次，方程组只能有x、y两个未知数，不能出现z，因此第二个方程中z的系数必须为0，即$b=0$；
∴ $ab=2×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组的定义，代数式求值
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组概念的掌握，易错点是容易忽略题目限定的未知数仅为x和y，漏判z的系数需要为0。解题时只要紧扣“二元（仅两个指定未知数）”“一次（未知数项的次数为1）”两个核心特征即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组的核心要求：一是方程组中只含有指定的2个未知数（本题是x和y），二是所有含未知数的项的次数都为1。我们可以分两步推导：先根据x的次数要求求出a的值，再根据不能出现额外未知数z的要求求出b的值，最后计算ab即可。
【解析】
∵ 该方程组是关于x，y的二元一次方程组
∴ 首先，含未知数的项的次数为1：对于第一个方程中x的项，次数$a-1=1$，解得$a=2$；
其次，方程组只能有x、y两个未知数，不能出现z，因此第二个方程中z的系数必须为0，即$b=0$；
∴ $ab=2×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组的定义，代数式求值
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组概念的掌握，易错点是容易忽略题目限定的未知数仅为x和y，漏判z的系数需要为0。解题时只要紧扣“二元（仅两个指定未知数）”“一次（未知数项的次数为1）”两个核心特征即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是关于$x,y$的方程$ax+by=3$的一组解，则代数式$2a+4b-5$的值为 ______ 。
答案
10.1
解析
【分析】
首先根据二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以我们先把已知的x、y的值代入方程ax+by=3，得到a和b的数量关系。再观察所求代数式2a+4b-5的结构，发现2a+4b可以变形为2(a+2b)，刚好和前面得到的a、b的关系对应，用整体代入法就能快速算出结果，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+by=3$，可得：
$a×1 + b×2 = 3$，化简得$a + 2b = 3$。
2. 对代数式$2a + 4b - 5$变形，提取公因数2得：
$2a + 4b - 5 = 2(a + 2b) - 5$。
3. 将$a + 2b = 3$整体代入上式计算：
$2×3 - 5 = 6 - 5 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程解的概念的理解，解题核心是灵活运用整体代入的思想计算代数式的值，可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先根据二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以我们先把已知的x、y的值代入方程ax+by=3，得到a和b的数量关系。再观察所求代数式2a+4b-5的结构，发现2a+4b可以变形为2(a+2b)，刚好和前面得到的a、b的关系对应，用整体代入法就能快速算出结果，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+by=3$，可得：
$a×1 + b×2 = 3$，化简得$a + 2b = 3$。
2. 对代数式$2a + 4b - 5$变形，提取公因数2得：
$2a + 4b - 5 = 2(a + 2b) - 5$。
3. 将$a + 2b = 3$整体代入上式计算：
$2×3 - 5 = 6 - 5 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程解的概念的理解，解题核心是灵活运用整体代入的思想计算代数式的值，可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11.求证:方程$2x+3y=1$有无数组解.
11.求证:方程$2x+3y=1$有无数组解.
答案
11. 证明:方程 $2x+3y=1$ 可化为 $x=\dfrac{1-3y}{2}$,
当 $y=1$ 时,$x=-1$;
当 $y=0$ 时,$x=\dfrac{1}{2}$;
当 $y=\dfrac{1}{3}$ 时,$x=0$,
以此类推,当 $y$ 取任意一个实数时,都有对应的 $x$ 值,
因为 $x,y$ 可以取任意值,
所以方程有无数组解.
当 $y=1$ 时,$x=-1$;
当 $y=0$ 时,$x=\dfrac{1}{2}$;
当 $y=\dfrac{1}{3}$ 时,$x=0$,
以此类推,当 $y$ 取任意一个实数时,都有对应的 $x$ 值,
因为 $x,y$ 可以取任意值,
所以方程有无数组解.
解析
【分析】
要证明该方程有无数组解，首先明确二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的一对未知数的值就是方程的解。本题中方程有两个未知数，仅一个方程无法确定两个未知数的唯一值，我们可以将其中一个未知数（如y）看作已知数，把原方程转化为关于x的一元一次方程，求出x用y表示的代数式。此时任意给y取一个值，都能求出对应的x值，每一对x、y的取值都是方程的解，由于y的取值有无数个，即可推出方程有无数组解，可先举几组具体例子验证再推广到一般情况。
【解析】
证明：方程 $2x+3y=1$ 可化为 $x=\dfrac{1-3y}{2}$，
当 $y=1$ 时，代入得$x=\dfrac{1-3×1}{2}=-1$，$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$是方程的解；
当 $y=0$ 时，代入得$x=\dfrac{1-0}{2}=\dfrac{1}{2}$，$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}\\y=0\end{cases}$是方程的解；
当 $y=\dfrac{1}{3}$ 时，代入得$x=\dfrac{1-3×\dfrac{1}{3}}{2}=0$，$\begin{cases}x=0\\y=\dfrac{1}{3}\end{cases}$是方程的解；
以此类推，当$y$取任意一个数值时，都有对应的$x$值，每一对对应的$x、y$的值都满足原方程，都是方程的解。因为$y$可以取无数个值，对应的$x$也有无数个，所以方程有无数组解。
【答案】
方程$2x+3y=1$有无数组解，得证。
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代数式变形
【点评】
本题考查对二元一次方程解的概念的理解，解题核心是明确二元一次方程中一个未知数取值确定后，另一个未知数的取值也唯一确定，通过特殊值举例推广到任意取值即可完成证明，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
要证明该方程有无数组解，首先明确二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的一对未知数的值就是方程的解。本题中方程有两个未知数，仅一个方程无法确定两个未知数的唯一值，我们可以将其中一个未知数（如y）看作已知数，把原方程转化为关于x的一元一次方程，求出x用y表示的代数式。此时任意给y取一个值，都能求出对应的x值，每一对x、y的取值都是方程的解，由于y的取值有无数个，即可推出方程有无数组解，可先举几组具体例子验证再推广到一般情况。
【解析】
证明：方程 $2x+3y=1$ 可化为 $x=\dfrac{1-3y}{2}$，
当 $y=1$ 时，代入得$x=\dfrac{1-3×1}{2}=-1$，$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$是方程的解；
当 $y=0$ 时，代入得$x=\dfrac{1-0}{2}=\dfrac{1}{2}$，$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}\\y=0\end{cases}$是方程的解；
当 $y=\dfrac{1}{3}$ 时，代入得$x=\dfrac{1-3×\dfrac{1}{3}}{2}=0$，$\begin{cases}x=0\\y=\dfrac{1}{3}\end{cases}$是方程的解；
以此类推，当$y$取任意一个数值时，都有对应的$x$值，每一对对应的$x、y$的值都满足原方程，都是方程的解。因为$y$可以取无数个值，对应的$x$也有无数个，所以方程有无数组解。
【答案】
方程$2x+3y=1$有无数组解，得证。
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代数式变形
【点评】
本题考查对二元一次方程解的概念的理解，解题核心是明确二元一次方程中一个未知数取值确定后，另一个未知数的取值也唯一确定，通过特殊值举例推广到任意取值即可完成证明，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
12.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和是8.将它的十位数字与个位数字交换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原两位数大18.求原两位数.
(1)列一元一次方程求解；
(2)设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，列二元一次方程组；
(3)检验(1)中求得的结果是否满足(2)中的方程组.
(1)列一元一次方程求解；
(2)设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，列二元一次方程组；
(3)检验(1)中求得的结果是否满足(2)中的方程组.
答案
12. 解:(1)设原两位数的个位数字是 $m$,则十位数字是 $8-m$.
由题意,得$[10m+(8-m)]-[10(8-m)+m]=18$,解得 $m=5$.
$8-m=3$.
答:原两位数是 35.
(2)由题意,得$\begin{cases}x+y=8, \\(10y+x)-(10x+y)=18.\end{cases}$
(3)当 $x=3,y=5$ 时,$x+y=8$,$(10y+x)-(10x+y)=53-35=18$,所以(1)中求得的结果满足(2)中的方程组.
由题意,得$[10m+(8-m)]-[10(8-m)+m]=18$,解得 $m=5$.
$8-m=3$.
答:原两位数是 35.
(2)由题意,得$\begin{cases}x+y=8, \\(10y+x)-(10x+y)=18.\end{cases}$
(3)当 $x=3,y=5$ 时,$x+y=8$,$(10y+x)-(10x+y)=53-35=18$,所以(1)中求得的结果满足(2)中的方程组.
解析
【分析】
(1) 一元一次方程解题思路：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。已知个位与十位数字之和为8，可设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含该未知数的式子表示，再根据“新两位数-原两位数=18”的等量关系列方程求解即可。
(2) 列二元一次方程组思路：题目已给出十位数字x、个位数字y两个未知数，直接根据两个等量关系列方程即可：一是“个位数字+十位数字=8”，二是“交换数位后的新两位数-原两位数=18”，联立两个方程得到方程组。
(3) 检验思路：将(1)中求得的十位、个位数字分别代入(2)的两个方程，验证左右两边是否相等，若两个方程都成立则说明结果满足方程组。
【解析】
(1) 设原两位数的个位数字是$m$，则十位数字是$8-m$。
原两位数可表示为$10(8-m)+m$，交换位置后的新两位数可表示为$10m+(8-m)$。
由题意列方程：$[10m+(8-m)]-[10(8-m)+m]=18$
解方程：
去括号得：$10m+8-m-80+10m-m=18$
合并同类项得：$18m-72=18$
移项计算得：$18m=90$，解得$m=5$
则十位数字为$8-5=3$，原两位数为35。
(2) 根据题意，两个等量关系分别为：
① 个位数字与十位数字的和是8：$x+y=8$
② 新两位数比原两位数大18：$(10y+x)-(10x+y)=18$
联立得方程组：$\begin{cases}x+y=8 \\(10y+x)-(10x+y)=18\end{cases}$
(3) 由(1)得$x=3$，$y=5$，代入(2)的方程组验证：
代入$x+y=8$：左边$=3+5=8$，与右边相等，方程成立；
代入$(10y+x)-(10x+y)=18$：左边$=(10×5+3)-(10×3+5)=53-35=18$，与右边相等，方程成立。
因此(1)中求得的结果满足(2)中的方程组。
【答案】
(1) 原两位数是35；
(2) 方程组为$\begin{cases}x+y=8 \\(10y+x)-(10x+y)=18\end{cases}$；
(3) (1)中求得的结果满足(2)中的方程组。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组列法，两位数的表示
【点评】
本题是典型的数位类方程应用题型，解题核心是正确掌握两位数的代数表示方法，准确提取题目中的等量关系列方程（组），同时考察了方程组检验的基本方法，能有效巩固方程类实际问题的解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 一元一次方程解题思路：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。已知个位与十位数字之和为8，可设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含该未知数的式子表示，再根据“新两位数-原两位数=18”的等量关系列方程求解即可。
(2) 列二元一次方程组思路：题目已给出十位数字x、个位数字y两个未知数，直接根据两个等量关系列方程即可：一是“个位数字+十位数字=8”，二是“交换数位后的新两位数-原两位数=18”，联立两个方程得到方程组。
(3) 检验思路：将(1)中求得的十位、个位数字分别代入(2)的两个方程，验证左右两边是否相等，若两个方程都成立则说明结果满足方程组。
【解析】
(1) 设原两位数的个位数字是$m$，则十位数字是$8-m$。
原两位数可表示为$10(8-m)+m$，交换位置后的新两位数可表示为$10m+(8-m)$。
由题意列方程：$[10m+(8-m)]-[10(8-m)+m]=18$
解方程：
去括号得：$10m+8-m-80+10m-m=18$
合并同类项得：$18m-72=18$
移项计算得：$18m=90$，解得$m=5$
则十位数字为$8-5=3$，原两位数为35。
(2) 根据题意，两个等量关系分别为：
① 个位数字与十位数字的和是8：$x+y=8$
② 新两位数比原两位数大18：$(10y+x)-(10x+y)=18$
联立得方程组：$\begin{cases}x+y=8 \\(10y+x)-(10x+y)=18\end{cases}$
(3) 由(1)得$x=3$，$y=5$，代入(2)的方程组验证：
代入$x+y=8$：左边$=3+5=8$，与右边相等，方程成立；
代入$(10y+x)-(10x+y)=18$：左边$=(10×5+3)-(10×3+5)=53-35=18$，与右边相等，方程成立。
因此(1)中求得的结果满足(2)中的方程组。
【答案】
(1) 原两位数是35；
(2) 方程组为$\begin{cases}x+y=8 \\(10y+x)-(10x+y)=18\end{cases}$；
(3) (1)中求得的结果满足(2)中的方程组。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组列法，两位数的表示
【点评】
本题是典型的数位类方程应用题型，解题核心是正确掌握两位数的代数表示方法，准确提取题目中的等量关系列方程（组），同时考察了方程组检验的基本方法，能有效巩固方程类实际问题的解题思路。
【难度系数】
0.7
