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9. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 (
A.$x^{2}-6x=0$
B.$x^{2}-9=0$
C.$x^{2}-6x+6=0$
D.$x^{2}-6x+9=0$
D
)A.$x^{2}-6x=0$
B.$x^{2}-9=0$
C.$x^{2}-6x+6=0$
D.$x^{2}-6x+9=0$
答案
9. D
解析
【分析】要判断一元二次方程是否有两个相等实数根，需运用根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。解题时，先将每个选项的方程化为标准形式，再分别计算判别式，找到$\Delta=0$的选项即可。
【解析】
逐个计算各选项方程的判别式：
选项A：方程$x^2 -6x=0$，对应$a=1$，$b=-6$，$c=0$，则$\Delta = (-6)^2 -4×1×0 = 36＞0$，有两个不相等的实数根；
选项B：方程$x^2 -9=0$，对应$a=1$，$b=0$，$c=-9$，则$\Delta = 0^2 -4×1×(-9)=36＞0$，有两个不相等的实数根；
选项C：方程$x^2 -6x +6=0$，对应$a=1$，$b=-6$，$c=6$，则$\Delta = (-6)^2 -4×1×6=36-24=12＞0$，有两个不相等的实数根；
选项D：方程$x^2 -6x +9=0$，对应$a=1$，$b=-6$，$c=9$，则$\Delta = (-6)^2 -4×1×9=36-36=0$，有两个相等的实数根。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的数量关系，属于基础题型，只要准确计算判别式即可得出答案，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
逐个计算各选项方程的判别式：
选项A：方程$x^2 -6x=0$，对应$a=1$，$b=-6$，$c=0$，则$\Delta = (-6)^2 -4×1×0 = 36＞0$，有两个不相等的实数根；
选项B：方程$x^2 -9=0$，对应$a=1$，$b=0$，$c=-9$，则$\Delta = 0^2 -4×1×(-9)=36＞0$，有两个不相等的实数根；
选项C：方程$x^2 -6x +6=0$，对应$a=1$，$b=-6$，$c=6$，则$\Delta = (-6)^2 -4×1×6=36-24=12＞0$，有两个不相等的实数根；
选项D：方程$x^2 -6x +9=0$，对应$a=1$，$b=-6$，$c=9$，则$\Delta = (-6)^2 -4×1×9=36-36=0$，有两个相等的实数根。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的数量关系，属于基础题型，只要准确计算判别式即可得出答案，难度较低。
【难度系数】0.8
10. 关于$x$的方程$x^{2}+kx+1=0$有两个相等的实数根,则$k$值为
$\pm2$
.答案
10. $\pm2$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题先确定方程的$a、b、c$值，再令判别式为0，解关于$k$的方程即可得到结果。
【解析】
解：对于方程$x^2 + kx + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=k$，$c=1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入得：$k^2 - 4×1×1 = 0$，
化简得：$k^2 = 4$，
解得：$k = ±2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，需牢记判别式与根的对应关系，计算时注意开平方的结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题先确定方程的$a、b、c$值，再令判别式为0，解关于$k$的方程即可得到结果。
【解析】
解：对于方程$x^2 + kx + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=k$，$c=1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入得：$k^2 - 4×1×1 = 0$，
化简得：$k^2 = 4$，
解得：$k = ±2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，需牢记判别式与根的对应关系，计算时注意开平方的结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于$x$的方程$x^{2}-(k+2)x+2k-1=0$,求证:方程总有两个不相等的实数根.
答案
11. 证明略.
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需依据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。因此，只需计算所给方程的判别式，证明其恒大于0即可。
【解析】
对于方程$x^2-(k+2)x+2k-1=0$，其中$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k-1$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2 - 4ac\\&=[-(k+2)]^2 - 4×1×(2k - 1)\\&=k^2 + 4k + 4 - 8k + 4\\&=k^2 - 4k + 8\\&=(k - 2)^2 + 4\end{aligned}$
因为$(k - 2)^2 ≥ 0$，所以$(k - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
因此，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
方程$x^2-(k+2)x+2k-1=0$总有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的关系，通过计算判别式并结合平方的非负性证明结论，属于基础题型，需熟练掌握判别式的计算和配方变形。
【难度系数】
0.6
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需依据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。因此，只需计算所给方程的判别式，证明其恒大于0即可。
【解析】
对于方程$x^2-(k+2)x+2k-1=0$，其中$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k-1$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2 - 4ac\\&=[-(k+2)]^2 - 4×1×(2k - 1)\\&=k^2 + 4k + 4 - 8k + 4\\&=k^2 - 4k + 8\\&=(k - 2)^2 + 4\end{aligned}$
因为$(k - 2)^2 ≥ 0$，所以$(k - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
因此，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
方程$x^2-(k+2)x+2k-1=0$总有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的关系，通过计算判别式并结合平方的非负性证明结论，属于基础题型，需熟练掌握判别式的计算和配方变形。
【难度系数】
0.6
12. (2026 江西九江)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x+m+4=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$.
(1) 求$m$的取值范围;
(2) 若$x_{1}$、$x_{2}$满足$3x_{1}=|x_{2}|+2$,求$m$的值.
(1) 求$m$的取值范围;
(2) 若$x_{1}$、$x_{2}$满足$3x_{1}=|x_{2}|+2$,求$m$的值.
答案
12. (1) $m≤5$ (2) 4
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问需利用一元二次方程根的判别式确定参数m的取值范围；第二问结合韦达定理与含绝对值的等式，通过分类讨论绝对值内式子的正负求解m的值，解题关键是掌握根的判别式、韦达定理的应用，以及绝对值的分类讨论思想。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -6x +m+4=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=m+4$。
因为方程有两个实数根，所以根的判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta = (-6)^2 -4×1×(m+4) ≥ 0$
计算得：$36 -4m -16 ≥ 0$，化简得$20 -4m ≥0$，解得$m ≤5$。
(2) 由韦达定理可知，两根之和$x_1 +x_2 =6$，即$x_2 =6 -x_1$。
将$x_2 =6 -x_1$代入$3x_1 =|x_2| +2$，得：
$3x_1 = |6 -x_1| +2$
分两种情况讨论绝对值：
① 当$6 -x_1 ≥0$，即$x_1 ≤6$时，$|6 -x_1|=6 -x_1$，代入等式得：
$3x_1 =6 -x_1 +2$，解得$4x_1=8$，即$x_1=2$，则$x_2=6 -2=4$。
此时两根之积$x_1x_2=2×4=8$，又由韦达定理$x_1x_2=m+4$，故$m+4=8$，解得$m=4$，符合$m ≤5$；
② 当$6 -x_1 ＜0$，即$x_1＞6$时，$|6 -x_1|=x_1 -6$，代入等式得：
$3x_1 =x_1 -6 +2$，解得$2x_1=-4$，即$x_1=-2$，不满足$x_1＞6$，舍去。
综上，$m$的值为4。
【答案】
(1) $m ≤5$；(2) $4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，绝对值的分类讨论
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，需掌握根的判别式判断根的情况、韦达定理的应用，以及绝对值的分类讨论思想，解题时要注意分类的完整性，避免漏解，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第一问需利用一元二次方程根的判别式确定参数m的取值范围；第二问结合韦达定理与含绝对值的等式，通过分类讨论绝对值内式子的正负求解m的值，解题关键是掌握根的判别式、韦达定理的应用，以及绝对值的分类讨论思想。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -6x +m+4=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=m+4$。
因为方程有两个实数根，所以根的判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta = (-6)^2 -4×1×(m+4) ≥ 0$
计算得：$36 -4m -16 ≥ 0$，化简得$20 -4m ≥0$，解得$m ≤5$。
(2) 由韦达定理可知，两根之和$x_1 +x_2 =6$，即$x_2 =6 -x_1$。
将$x_2 =6 -x_1$代入$3x_1 =|x_2| +2$，得：
$3x_1 = |6 -x_1| +2$
分两种情况讨论绝对值：
① 当$6 -x_1 ≥0$，即$x_1 ≤6$时，$|6 -x_1|=6 -x_1$，代入等式得：
$3x_1 =6 -x_1 +2$，解得$4x_1=8$，即$x_1=2$，则$x_2=6 -2=4$。
此时两根之积$x_1x_2=2×4=8$，又由韦达定理$x_1x_2=m+4$，故$m+4=8$，解得$m=4$，符合$m ≤5$；
② 当$6 -x_1 ＜0$，即$x_1＞6$时，$|6 -x_1|=x_1 -6$，代入等式得：
$3x_1 =x_1 -6 +2$，解得$2x_1=-4$，即$x_1=-2$，不满足$x_1＞6$，舍去。
综上，$m$的值为4。
【答案】
(1) $m ≤5$；(2) $4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，绝对值的分类讨论
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，需掌握根的判别式判断根的情况、韦达定理的应用，以及绝对值的分类讨论思想，解题时要注意分类的完整性，避免漏解，难度适中。
【难度系数】
0.5
13. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x+1=0$有两个根分别为$x_{1}$和$x_{2}$,则$x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}$的值是
$-2$
.答案
13. $-2$
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路为：先确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再利用韦达定理求出两根之和与两根之积，最后代入所求代数式计算结果。
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 3x + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=1$。根据韦达定理：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$。
将上述结果代入$x_1x_2 + x_1 + x_2$，得：$1 + (-3) = -2$。
【答案】$-2$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题直接考查韦达定理的基础应用，属于常规题型，只要牢记韦达定理公式、准确提取方程系数即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 3x + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=1$。根据韦达定理：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$。
将上述结果代入$x_1x_2 + x_1 + x_2$，得：$1 + (-3) = -2$。
【答案】$-2$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题直接考查韦达定理的基础应用，属于常规题型，只要牢记韦达定理公式、准确提取方程系数即可快速求解。
【难度系数】0.8
14. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+1=0$的两个实数根的平方和为15,则$m$的值为
2
.答案
14. 2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程有两个实数根的前提是判别式非负，再利用韦达定理（根与系数的关系）表示出两根的和与积，将两根平方和转化为含两根和与积的形式，代入后求解m，最后必须检验所得m是否满足判别式条件，舍去不符合的解。
【解析】
设方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 因方程有两个实数根，故判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(2m+1)^2 -4×1×(m^2+1)=4m^2+4m+1-4m^2-4=4m-3≥0$，解得$m≥\frac{3}{4}$。
2. 根据韦达定理，得：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2+1$。
3. 两根平方和为$15$，利用公式$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入：
$[-(2m+1)]^2 -2(m^2+1)=15$，
展开整理得：$4m^2+4m+1 -2m^2 -2=15$，即$2m^2+4m-16=0$，化简为$m^2+2m-8=0$，
因式分解得$(m+4)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-4$。
4. 检验判别式：
当$m=-4$时，$\Delta=4×(-4)-3=-19＜0$，无实根，舍去；
当$m=2$时，$\Delta=4×2-3=5＞0$，符合条件。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用，核心是将两根平方和转化为两根和与积的表达式，解题关键是必须检验根的存在性，避免因忽略判别式而得到错误解，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程有两个实数根的前提是判别式非负，再利用韦达定理（根与系数的关系）表示出两根的和与积，将两根平方和转化为含两根和与积的形式，代入后求解m，最后必须检验所得m是否满足判别式条件，舍去不符合的解。
【解析】
设方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 因方程有两个实数根，故判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(2m+1)^2 -4×1×(m^2+1)=4m^2+4m+1-4m^2-4=4m-3≥0$，解得$m≥\frac{3}{4}$。
2. 根据韦达定理，得：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2+1$。
3. 两根平方和为$15$，利用公式$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入：
$[-(2m+1)]^2 -2(m^2+1)=15$，
展开整理得：$4m^2+4m+1 -2m^2 -2=15$，即$2m^2+4m-16=0$，化简为$m^2+2m-8=0$，
因式分解得$(m+4)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-4$。
4. 检验判别式：
当$m=-4$时，$\Delta=4×(-4)-3=-19＜0$，无实根，舍去；
当$m=2$时，$\Delta=4×2-3=5＞0$，符合条件。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用，核心是将两根平方和转化为两根和与积的表达式，解题关键是必须检验根的存在性，避免因忽略判别式而得到错误解，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.6
15. 已知$x_{1}$、$x_{2}$是方程$2x^{2}+kx-2=0$的两个实数根,且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=10$,则$k$的值为
素养拓展
7
.素养拓展
答案
15. 7
解析
【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。首先将已知等式$(x_1-2)(x_2-2)=10$展开变形，用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示，再代入韦达定理的结果求出$k$，最后验证方程有两个实数根即可。
【解析】
解：因为$x_1$、$x_2$是方程$2x^2+kx-2=0$的两个实数根，
根据韦达定理，得：
$x_1+x_2=-\frac{k}{2}$，$x_1x_2=\frac{-2}{2}=-1$。
将等式$(x_1-2)(x_2-2)=10$左边展开：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2 -2x_1 -2x_2 +4 =x_1x_2 -2(x_1+x_2)+4$。
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，得：
$-1 -2×(-\frac{k}{2}) +4 =10$，
化简计算：$-1 +k +4 =10$，即$k+3=10$，解得$k=7$。
验证：方程的判别式$\Delta=k^2 -4×2×(-2)=k^2 +16$，当$k=7$时，$\Delta=7^2 +16=65＞0$，符合方程有两个实数根的条件，故$k=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题主要考查韦达定理的应用，关键是将给定的代数式变形为含两根和与两根积的形式，代入计算即可，属于基础题型，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。首先将已知等式$(x_1-2)(x_2-2)=10$展开变形，用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示，再代入韦达定理的结果求出$k$，最后验证方程有两个实数根即可。
【解析】
解：因为$x_1$、$x_2$是方程$2x^2+kx-2=0$的两个实数根，
根据韦达定理，得：
$x_1+x_2=-\frac{k}{2}$，$x_1x_2=\frac{-2}{2}=-1$。
将等式$(x_1-2)(x_2-2)=10$左边展开：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2 -2x_1 -2x_2 +4 =x_1x_2 -2(x_1+x_2)+4$。
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，得：
$-1 -2×(-\frac{k}{2}) +4 =10$，
化简计算：$-1 +k +4 =10$，即$k+3=10$，解得$k=7$。
验证：方程的判别式$\Delta=k^2 -4×2×(-2)=k^2 +16$，当$k=7$时，$\Delta=7^2 +16=65＞0$，符合方程有两个实数根的条件，故$k=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题主要考查韦达定理的应用，关键是将给定的代数式变形为含两根和与两根积的形式，代入计算即可，属于基础题型，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】
0.6
16. 用配方法解方程$x^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$时,应将其变形为 (
A.$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{9}$
B.$(x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{2}{3}$
C.$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}$
D.$(x-\frac{1}{3})^{2}=0$
C
)A.$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{9}$
B.$(x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{2}{3}$
C.$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}$
D.$(x-\frac{1}{3})^{2}=0$
答案
16. C
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路为：先将方程中的常数项移到等号右侧，再对含未知数的项进行配方，即给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边变形为完全平方式，最后对比选项得出答案。
【解析】
解：原方程为$x^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$，
第一步：移项，将常数项$-\frac{1}{3}$移到等号右边，得$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$；
第二步：配方，一次项系数为$-\frac{2}{3}$，其一半为$-\frac{1}{3}$，平方为$(-\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，等式两边同时加上$\frac{1}{9}$，左边变为完全平方式，右边计算得：
$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$，
化简得$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的基本操作步骤，只要掌握移项、配方的方法即可轻松解答，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路为：先将方程中的常数项移到等号右侧，再对含未知数的项进行配方，即给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边变形为完全平方式，最后对比选项得出答案。
【解析】
解：原方程为$x^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$，
第一步：移项，将常数项$-\frac{1}{3}$移到等号右边，得$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$；
第二步：配方，一次项系数为$-\frac{2}{3}$，其一半为$-\frac{1}{3}$，平方为$(-\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，等式两边同时加上$\frac{1}{9}$，左边变为完全平方式，右边计算得：
$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$，
化简得$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的基本操作步骤，只要掌握移项、配方的方法即可轻松解答，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
17. 若$m$、$n$是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为
7
.答案
17. 7
解析
【分析】
要计算$m+(n-2)^2$的值，首先利用一元二次方程根的定义，将$n$代入方程得到$n^2$的表达式，对$(n-2)^2$展开后代入降次；再根据韦达定理，利用两根之和$m+n=5$整体代入化简后的式子，即可求出结果，无需计算具体根的值。
【解析】
解：因为$n$是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的实数根，所以将$n$代入方程得：
$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n -2$。
对$(n-2)^2$展开：
$(n-2)^2 =n^2 -4n +4$，将$n^2=5n -2$代入得：
$(n-2)^2=(5n -2)-4n +4 =n +2$。
又因为$m$、$n$是方程$x^2 -5x +2=0$的两个根，根据韦达定理，两根之和$m +n=5$。
所以$m + (n-2)^2 =m +n +2=5 +2=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义、韦达定理、代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质与韦达定理的应用，核心是利用根的定义对代数式降次，结合韦达定理整体代入简化计算，属于基础题型，需熟练掌握韦达定理的应用技巧。
【难度系数】
0.6
要计算$m+(n-2)^2$的值，首先利用一元二次方程根的定义，将$n$代入方程得到$n^2$的表达式，对$(n-2)^2$展开后代入降次；再根据韦达定理，利用两根之和$m+n=5$整体代入化简后的式子，即可求出结果，无需计算具体根的值。
【解析】
解：因为$n$是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的实数根，所以将$n$代入方程得：
$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n -2$。
对$(n-2)^2$展开：
$(n-2)^2 =n^2 -4n +4$，将$n^2=5n -2$代入得：
$(n-2)^2=(5n -2)-4n +4 =n +2$。
又因为$m$、$n$是方程$x^2 -5x +2=0$的两个根，根据韦达定理，两根之和$m +n=5$。
所以$m + (n-2)^2 =m +n +2=5 +2=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义、韦达定理、代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质与韦达定理的应用，核心是利用根的定义对代数式降次，结合韦达定理整体代入简化计算，属于基础题型，需熟练掌握韦达定理的应用技巧。
【难度系数】
0.6
18. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2(1+a)x+3a^{2}+4ab+4b^{2}+2=0$有实数根,则$\frac{b}{a}$的值为
$-\frac{1}{2}$
.答案
18. $-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）计算判别式，再通过配方将式子转化为非负数的和，根据非负数的性质求出a、b的关系，进而计算$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2(1+a)x + 3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2 = 0$，
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$。
计算判别式：
$\Delta = [2(1+a)]^2 - 4 × 1 × (3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2)$
$= 4(1 + 2a + a^2) - 4(3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2)$
$= 4[(1 + 2a + a^2) - (3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2)]$
$= 4(-2a^2 + 2a - 4ab - 4b^2 - 1)$
由$\Delta ≥ 0$，得：
$-2a^2 + 2a - 4ab - 4b^2 - 1 ≥ 0$
两边同乘$-1$（不等号方向改变）：
$2a^2 - 2a + 4ab + 4b^2 + 1 ≤ 0$
对左边配方：
$2a^2 + 4ab + 4b^2 - 2a + 1 = (a^2 + 4ab + 4b^2) + (a^2 - 2a + 1) = (a + 2b)^2 + (a - 1)^2$
因此：
$(a + 2b)^2 + (a - 1)^2 ≤ 0$
因为平方数非负，即$(a + 2b)^2 ≥ 0$，$(a - 1)^2 ≥ 0$，所以：
$\begin{cases} a - 1 = 0 \\ a + 2b = 0 \end{cases}$
解得$a = 1$，代入$a + 2b = 0$得$b = -\frac{1}{2}$，
所以$\frac{b}{a} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、配方法的应用
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式，通过配方将式子转化为非负数的和，利用非负数的性质求解参数关系，关键在于正确配方，考查学生对判别式和配方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先利用一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）计算判别式，再通过配方将式子转化为非负数的和，根据非负数的性质求出a、b的关系，进而计算$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2(1+a)x + 3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2 = 0$，
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$。
计算判别式：
$\Delta = [2(1+a)]^2 - 4 × 1 × (3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2)$
$= 4(1 + 2a + a^2) - 4(3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2)$
$= 4[(1 + 2a + a^2) - (3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2)]$
$= 4(-2a^2 + 2a - 4ab - 4b^2 - 1)$
由$\Delta ≥ 0$，得：
$-2a^2 + 2a - 4ab - 4b^2 - 1 ≥ 0$
两边同乘$-1$（不等号方向改变）：
$2a^2 - 2a + 4ab + 4b^2 + 1 ≤ 0$
对左边配方：
$2a^2 + 4ab + 4b^2 - 2a + 1 = (a^2 + 4ab + 4b^2) + (a^2 - 2a + 1) = (a + 2b)^2 + (a - 1)^2$
因此：
$(a + 2b)^2 + (a - 1)^2 ≤ 0$
因为平方数非负，即$(a + 2b)^2 ≥ 0$，$(a - 1)^2 ≥ 0$，所以：
$\begin{cases} a - 1 = 0 \\ a + 2b = 0 \end{cases}$
解得$a = 1$，代入$a + 2b = 0$得$b = -\frac{1}{2}$，
所以$\frac{b}{a} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、配方法的应用
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式，通过配方将式子转化为非负数的和，利用非负数的性质求解参数关系，关键在于正确配方，考查学生对判别式和配方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
