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19. 解下列一元二次方程：
(1) $(x-1)^{2}-4=0$;
(2) $x^{2}+6x+3=0$;
(3) $x^{2}-4x-5=0$;
(4) $(2x-1)^{2}=2(2x-1)$.
(1) $(x-1)^{2}-4=0$;
(2) $x^{2}+6x+3=0$;
(3) $x^{2}-4x-5=0$;
(4) $(2x-1)^{2}=2(2x-1)$.
答案
19. (1) $x_{1}=-1,x_{2}=3$ (2) $x_{1}=-3-\sqrt{6},x_{2}=-3+\sqrt{6}$
(3) $x_{1}=-1,x_{2}=5$ (4) $x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=\frac{3}{2}$
(3) $x_{1}=-1,x_{2}=5$ (4) $x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=\frac{3}{2}$
解析
【分析】解一元二次方程需根据方程结构特点选择合适的方法：(1)式为平方差形式，适合直接开平方法；(2)式二次项系数为1且一次项系数为偶数，适合配方法；(3)式可因式分解，用因式分解法更简便；(4)式移项后含公因式，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 移项得：$(x-1)^2 = 4$，两边开平方得：$x - 1 = \pm 2$，解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 3$；
(2) 移项得：$x^2 + 6x = -3$，配方：两边加9得$x^2 + 6x + 9 = 6$，即$(x + 3)^2 = 6$，开平方得：$x + 3 = \pm \sqrt{6}$，解得：$x_1 = -3 - \sqrt{6}$，$x_2 = -3 + \sqrt{6}$；
(3) 因式分解得：$(x - 5)(x + 1) = 0$，则$x - 5 = 0$或$x + 1 = 0$，解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 5$；
(4) 移项得：$(2x - 1)^2 - 2(2x - 1) = 0$，提公因式得：$(2x - 1)(2x - 1 - 2) = 0$，即$(2x - 1)(2x - 3) = 0$，则$2x - 1 = 0$或$2x - 3 = 0$，解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{3}{2}$；
【答案】(1) $x_{1}=-1,x_{2}=3$；(2) $x_{1}=-3-\sqrt{6},x_{2}=-3+\sqrt{6}$；(3) $x_{1}=-1,x_{2}=5$；(4) $x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=\frac{3}{2}$
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，涵盖多种常用方法，是一元二次方程章节的核心基础题型，需熟练掌握各方法的操作步骤。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 移项得：$(x-1)^2 = 4$，两边开平方得：$x - 1 = \pm 2$，解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 3$；
(2) 移项得：$x^2 + 6x = -3$，配方：两边加9得$x^2 + 6x + 9 = 6$，即$(x + 3)^2 = 6$，开平方得：$x + 3 = \pm \sqrt{6}$，解得：$x_1 = -3 - \sqrt{6}$，$x_2 = -3 + \sqrt{6}$；
(3) 因式分解得：$(x - 5)(x + 1) = 0$，则$x - 5 = 0$或$x + 1 = 0$，解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 5$；
(4) 移项得：$(2x - 1)^2 - 2(2x - 1) = 0$，提公因式得：$(2x - 1)(2x - 1 - 2) = 0$，即$(2x - 1)(2x - 3) = 0$，则$2x - 1 = 0$或$2x - 3 = 0$，解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{3}{2}$；
【答案】(1) $x_{1}=-1,x_{2}=3$；(2) $x_{1}=-3-\sqrt{6},x_{2}=-3+\sqrt{6}$；(3) $x_{1}=-1,x_{2}=5$；(4) $x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=\frac{3}{2}$
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，涵盖多种常用方法，是一元二次方程章节的核心基础题型，需熟练掌握各方法的操作步骤。
【难度系数】0.8
20. 已知一元二次方程$\frac{1}{2}x^{2}+bx+c=0$.在下列四组条件中选择其中一组$b$,$c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并用公式法解这个方程.(注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分)
①$b=2$,$c=2$;②$b=1$,$c=2$;③$b=3$,$c=-1$;④$b=-3$,$c=2$.
①$b=2$,$c=2$;②$b=1$,$c=2$;③$b=3$,$c=-1$;④$b=-3$,$c=2$.
答案
20. 解:$\because$使这个方程有两个不相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4ac＞0$,即$b^{2}＞4×\frac{1}{2}c=2c$,
$\therefore$③④均可,
选③解方程,则这个方程为:$\frac{1}{2}x^{2}+3x-1=0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=-3\pm\sqrt{11}$,
$\therefore x_{1}=-3+\sqrt{11},x_{2}=-3-\sqrt{11}$;
选④解方程,则这个方程为:$\frac{1}{2}x^{2}-3x+2=0$,
$\therefore x_{1}=3+\sqrt{5},x_{2}=3-\sqrt{5}$.
$\therefore b^{2}-4ac＞0$,即$b^{2}＞4×\frac{1}{2}c=2c$,
$\therefore$③④均可,
选③解方程,则这个方程为:$\frac{1}{2}x^{2}+3x-1=0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=-3\pm\sqrt{11}$,
$\therefore x_{1}=-3+\sqrt{11},x_{2}=-3-\sqrt{11}$;
选④解方程,则这个方程为:$\frac{1}{2}x^{2}-3x+2=0$,
$\therefore x_{1}=3+\sqrt{5},x_{2}=3-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
首先，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等实数根的判定依据是判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$。本题中方程为$\frac{1}{2}x^2+bx+c=0$，即$a=\frac{1}{2}$，代入判别式得$\Delta=b^2-4×\frac{1}{2}c=b^2-2c$，需满足$\Delta＞0$即$b^2＞2c$。接着逐个验证四组$b、c$：①$b=2,c=2$时$\Delta=0$；②$b=1,c=2$时$\Delta=-3＜0$；③$b=3,c=-1$时$\Delta=11＞0$；④$b=-3,c=2$时$\Delta=5＞0$，筛选出符合条件的组后，再用公式法代入求根公式计算即可。
【解析】
解：要使方程有两个不相等的实数根，需满足判别式$\Delta＞0$。
对于方程$\frac{1}{2}x^2+bx+c=0$，$a=\frac{1}{2}$，则$\Delta=b^2-4ac=b^2-2c$。
验证四组条件：
①$b=2,c=2$：$\Delta=2^2-2×2=0$，不符合；
②$b=1,c=2$：$\Delta=1^2-2×2=-3＜0$，不符合；
③$b=3,c=-1$：$\Delta=3^2-2×(-1)=11＞0$，符合；
④$b=-3,c=2$：$\Delta=(-3)^2-2×2=5＞0$，符合；
选择第③组$b=3,c=-1$，方程为$\frac{1}{2}x^2+3x-1=0$。
用公式法解方程：
$a=\frac{1}{2},b=3,c=-1$，$\Delta=11$，
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，
得$x=\frac{-3±\sqrt{11}}{2×\frac{1}{2}}=-3±\sqrt{11}$，
所以$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$。
【答案】
$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和公式法解方程，需先利用判别式筛选符合条件的参数，再准确代入求根公式计算，注意$a$的取值为$\frac{1}{2}$，计算时避免出错。
【难度系数】
0.6
首先，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等实数根的判定依据是判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$。本题中方程为$\frac{1}{2}x^2+bx+c=0$，即$a=\frac{1}{2}$，代入判别式得$\Delta=b^2-4×\frac{1}{2}c=b^2-2c$，需满足$\Delta＞0$即$b^2＞2c$。接着逐个验证四组$b、c$：①$b=2,c=2$时$\Delta=0$；②$b=1,c=2$时$\Delta=-3＜0$；③$b=3,c=-1$时$\Delta=11＞0$；④$b=-3,c=2$时$\Delta=5＞0$，筛选出符合条件的组后，再用公式法代入求根公式计算即可。
【解析】
解：要使方程有两个不相等的实数根，需满足判别式$\Delta＞0$。
对于方程$\frac{1}{2}x^2+bx+c=0$，$a=\frac{1}{2}$，则$\Delta=b^2-4ac=b^2-2c$。
验证四组条件：
①$b=2,c=2$：$\Delta=2^2-2×2=0$，不符合；
②$b=1,c=2$：$\Delta=1^2-2×2=-3＜0$，不符合；
③$b=3,c=-1$：$\Delta=3^2-2×(-1)=11＞0$，符合；
④$b=-3,c=2$：$\Delta=(-3)^2-2×2=5＞0$，符合；
选择第③组$b=3,c=-1$，方程为$\frac{1}{2}x^2+3x-1=0$。
用公式法解方程：
$a=\frac{1}{2},b=3,c=-1$，$\Delta=11$，
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，
得$x=\frac{-3±\sqrt{11}}{2×\frac{1}{2}}=-3±\sqrt{11}$，
所以$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$。
【答案】
$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和公式法解方程，需先利用判别式筛选符合条件的参数，再准确代入求根公式计算，注意$a$的取值为$\frac{1}{2}$，计算时避免出错。
【难度系数】
0.6
21. [原创题](1) 按规律填写下表：
(2) 若方程$x^{2}+ax=bx+m$的解为$x_{1}=-9$,$x_{2}=10$,则$a+b=$
(3) 利用以上规律求方程$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{2025}{x+1}=\frac{2026}{x+1}+2025×2026$的解.
(2) 若方程$x^{2}+ax=bx+m$的解为$x_{1}=-9$,$x_{2}=10$,则$a+b=$
19
,$m=$90
.(3) 利用以上规律求方程$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{2025}{x+1}=\frac{2026}{x+1}+2025×2026$的解.
答案
21. (1) 按规律填写下表:
| 序号 | 方程 | 方程的解$(x_{1}＜x_{2})$ | |
| ---- | ------------------ | ---------------------- | -------- |
| 1 | $x^{2}+x=2x+2$ | $x_{1}=-1$ | $x_{2}=2$|
| 2 | $x^{2}+2x=3x+6$ | $x_{1}=-2$ | $x_{2}=3$|
| 3 | $x^{2}+3x=4x+12$ | $x_{1}=-3$ | $x_{2}=4$|
| $···$ | $···$ | $···$ | $···$ |
(2) 19 90
(3) $x_{1}=-\frac{2026}{2025},x_{2}=-\frac{2025}{2026}$.
| 序号 | 方程 | 方程的解$(x_{1}＜x_{2})$ | |
| ---- | ------------------ | ---------------------- | -------- |
| 1 | $x^{2}+x=2x+2$ | $x_{1}=-1$ | $x_{2}=2$|
| 2 | $x^{2}+2x=3x+6$ | $x_{1}=-2$ | $x_{2}=3$|
| 3 | $x^{2}+3x=4x+12$ | $x_{1}=-3$ | $x_{2}=4$|
| $···$ | $···$ | $···$ | $···$ |
(2) 19 90
(3) $x_{1}=-\frac{2026}{2025},x_{2}=-\frac{2025}{2026}$.
解析
【分析】
首先观察第一问的一元二次方程，通过移项因式分解可求解，能发现解的规律：第n个方程的解为$x_1=-n$，$x_2=n+1$；第二问利用该规律，结合对应关系求出$a$、$b$、$m$；第三问通过换元法将分式方程转化为符合规律的一元二次方程，再利用规律求解。
【解析】
(1) 对每个方程移项、因式分解求解：
方程1：$x^2+x=2x+2$，移项得$x^2 -x -2=0$，因式分解为$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$；
方程2：$x^2+2x=3x+6$，移项得$x^2 -x -6=0$，因式分解为$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$；
方程3：$x^2+3x=4x+12$，移项得$x^2 -x -12=0$，因式分解为$(x-4)(x+3)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=4$；
规律：第$n$个方程$x^2+nx=(n+1)x+n(n+1)$的解为$x_1=-n$，$x_2=n+1$。
(2) 方程$x^2+ax=bx+m$整理为$x^2+(a-b)x -m=0$，已知解为$x_1=-9$，$x_2=10$，对比规律得$n=9$，故$a=n=9$，$b=n+1=10$，因此$a+b=9+10=19$；由韦达定理，两根之积$x_1x_2=-m$，即$(-9)×10=-m$，解得$m=90$。
(3) 设$y=\frac{1}{x+1}$，原方程转化为：
$y^2 +2025y=2026y +2025×2026$，整理得$y^2 -y -2025×2026=0$；
根据规律，该方程的解为$y_1=-2025$，$y_2=2026$；
当$y=-2025$时，$\frac{1}{x+1}=-2025$，解得$x=-\frac{2026}{2025}$；
当$y=2026$时，$\frac{1}{x+1}=2026$，解得$x=-\frac{2025}{2026}$；
经检验，均为原方程的解。
【答案】
(1) 表格依次为：$x_1=-1$，$x_2=2$；$x_1=-2$，$x_2=3$；$x_1=-3$，$x_2=4$；
(2) $19$，$90$；
(3) $x_1=-\frac{2026}{2025}$，$x_2=-\frac{2025}{2026}$。
【知识点】
一元二次方程解法、规律探究、换元法解分式方程
【点评】
本题通过探究一元二次方程解的规律，结合因式分解、换元法等知识解题，重点考查观察归纳与知识迁移能力，难度适中。
【难度系数】
0.4
首先观察第一问的一元二次方程，通过移项因式分解可求解，能发现解的规律：第n个方程的解为$x_1=-n$，$x_2=n+1$；第二问利用该规律，结合对应关系求出$a$、$b$、$m$；第三问通过换元法将分式方程转化为符合规律的一元二次方程，再利用规律求解。
【解析】
(1) 对每个方程移项、因式分解求解：
方程1：$x^2+x=2x+2$，移项得$x^2 -x -2=0$，因式分解为$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$；
方程2：$x^2+2x=3x+6$，移项得$x^2 -x -6=0$，因式分解为$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$；
方程3：$x^2+3x=4x+12$，移项得$x^2 -x -12=0$，因式分解为$(x-4)(x+3)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=4$；
规律：第$n$个方程$x^2+nx=(n+1)x+n(n+1)$的解为$x_1=-n$，$x_2=n+1$。
(2) 方程$x^2+ax=bx+m$整理为$x^2+(a-b)x -m=0$，已知解为$x_1=-9$，$x_2=10$，对比规律得$n=9$，故$a=n=9$，$b=n+1=10$，因此$a+b=9+10=19$；由韦达定理，两根之积$x_1x_2=-m$，即$(-9)×10=-m$，解得$m=90$。
(3) 设$y=\frac{1}{x+1}$，原方程转化为：
$y^2 +2025y=2026y +2025×2026$，整理得$y^2 -y -2025×2026=0$；
根据规律，该方程的解为$y_1=-2025$，$y_2=2026$；
当$y=-2025$时，$\frac{1}{x+1}=-2025$，解得$x=-\frac{2026}{2025}$；
当$y=2026$时，$\frac{1}{x+1}=2026$，解得$x=-\frac{2025}{2026}$；
经检验，均为原方程的解。
【答案】
(1) 表格依次为：$x_1=-1$，$x_2=2$；$x_1=-2$，$x_2=3$；$x_1=-3$，$x_2=4$；
(2) $19$，$90$；
(3) $x_1=-\frac{2026}{2025}$，$x_2=-\frac{2025}{2026}$。
【知识点】
一元二次方程解法、规律探究、换元法解分式方程
【点评】
本题通过探究一元二次方程解的规律，结合因式分解、换元法等知识解题，重点考查观察归纳与知识迁移能力，难度适中。
【难度系数】
0.4
