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【变式4】已知一个扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°,R＝10 cm,求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm,面积为9 cm²,求扇形圆心角的弧度数；
(3)若扇形的面积为16 cm²,求扇形周长的最小值和此时扇形的圆心角α.
(1)若α＝60°,R＝10 cm,求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm,面积为9 cm²,求扇形圆心角的弧度数；
(3)若扇形的面积为16 cm²,求扇形周长的最小值和此时扇形的圆心角α.
答案
解:(1)由题意可知,扇形圆心角$α=60°=\frac{π}{3}$,
所以该扇形的面积$S=\frac{1}{2}α R^2=\frac{1}{2}×\frac{π}{3}×10^2=\frac{50π}{3}(\mathrm{cm}^2)$.
(2)由题意,得$\begin{cases}\frac{1}{2}α R^2=9,\\α R+2R=20,\end{cases}$
解得$\begin{cases}R=1,\\α=18\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}R=9,\\α=\frac{2}{9},\end{cases}$
所以扇形圆心角的弧度数为$\frac{2}{9}$.
(3)由题意,得$\frac{1}{2}α R^2=16$,即$α R=\frac{32}{R}$,
所以扇形的周长为$α R+2R=\frac{32}{R}+2R≥2\sqrt{\frac{32}{R}·2R}=16$,当且仅当$R=4\ \mathrm{cm}$时,等号成立,扇形周长取得最小值,最小值为$16\ \mathrm{cm}$,此时$α=2$.
所以该扇形的面积$S=\frac{1}{2}α R^2=\frac{1}{2}×\frac{π}{3}×10^2=\frac{50π}{3}(\mathrm{cm}^2)$.
(2)由题意,得$\begin{cases}\frac{1}{2}α R^2=9,\\α R+2R=20,\end{cases}$
解得$\begin{cases}R=1,\\α=18\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}R=9,\\α=\frac{2}{9},\end{cases}$
所以扇形圆心角的弧度数为$\frac{2}{9}$.
(3)由题意,得$\frac{1}{2}α R^2=16$,即$α R=\frac{32}{R}$,
所以扇形的周长为$α R+2R=\frac{32}{R}+2R≥2\sqrt{\frac{32}{R}·2R}=16$,当且仅当$R=4\ \mathrm{cm}$时,等号成立,扇形周长取得最小值,最小值为$16\ \mathrm{cm}$,此时$α=2$.
1. $π°$化为弧度是 （
A.$180$
B.$\dfrac{π^2}{180}$
C.$\dfrac{π}{180}$
D.$\dfrac{180}{π}$
B
）A.$180$
B.$\dfrac{π^2}{180}$
C.$\dfrac{π}{180}$
D.$\dfrac{180}{π}$
答案
根据互化公式$1°=\frac{π}{180}$,得$π°=π×\frac{π}{180}=\frac{π^2}{180}$.
2.下面与$618°$角终边相同的角是 （
A.$-101°$
B.$-103°$
C.$258°$
D.$268°$
C
）A.$-101°$
B.$-103°$
C.$258°$
D.$268°$
答案
与$618°$角终边相同的角可以表示为$α=618°+k·360°,k\in\mathbb{Z}$.
将$-101°,-103°,268°$分别代入上式,得到$k$不是整数,故A,B,D错误;$258°=618°-360°$,故C正确.
将$-101°,-103°,268°$分别代入上式,得到$k$不是整数,故A,B,D错误;$258°=618°-360°$,故C正确.
3.(多选)把－495°表示成θ＋2kπ，k∈Z的形式，则θ的值可以是（
A.$\frac{5π}{4}$
B.$-\frac{5π}{4}$
C.$\frac{13π}{4}$
D.$-\frac{3π}{4}$
ACD
）A.$\frac{5π}{4}$
B.$-\frac{5π}{4}$
C.$\frac{13π}{4}$
D.$-\frac{3π}{4}$
答案
根据角度制与弧度制的互化公式,得$-495°=-\frac{11π}{4}$.
由终边相同角的表示,得$-\frac{11π}{4}=-\frac{3π}{4}-2π=\frac{5π}{4}-4π=\frac{13π}{4}-6π=-\frac{5π}{4}-\frac{3π}{2}$,
所以$-\frac{11π}{4}$与$-\frac{3π}{4},\frac{5π}{4}$和$\frac{13π}{4}$的终边相同,与$-\frac{5π}{4}$的终边不相同.
由终边相同角的表示,得$-\frac{11π}{4}=-\frac{3π}{4}-2π=\frac{5π}{4}-4π=\frac{13π}{4}-6π=-\frac{5π}{4}-\frac{3π}{2}$,
所以$-\frac{11π}{4}$与$-\frac{3π}{4},\frac{5π}{4}$和$\frac{13π}{4}$的终边相同,与$-\frac{5π}{4}$的终边不相同.
4.语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（
A.$\frac{5π}{12}$
B.$-\frac{π}{3}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$-\frac{5π}{12}$
D
）A.$\frac{5π}{12}$
B.$-\frac{π}{3}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$-\frac{5π}{12}$
答案
经过150分钟,钟表的时针相当于转了1圈的$\frac{150}{720}=\frac{5}{24}$,1圈的弧度数为$2π$,则1圈的$\frac{5}{24}$的弧度数为$2π×\frac{5}{24}=\frac{5π}{12}$.又钟表的时针按顺时针方向旋转所形成的角为负角,因此钟表的时针转过的弧度数为$-\frac{5π}{12}$.
