【问题发现】
(1)如图1,在△PAB中,过点P作MN⊥AB,垂足为C,AC=BC.若PB=4,则PA=.
【问题探究】
(2)如图2,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为M,N,BC=30.连接AD,AE,求△ADE的周长.
【拓展应用】
(3)如图3,△ABC是一个游乐场的平面示意图,其中AB=AC,∠BAC=100°,BD平分∠ABC交AC于点D.现计划在P,Q两处各修建一个游客休息区,P,Q分别在小路BD,BC上,且BP=CQ,连接AP,AQ,由规划得知AP+AQ的最小值为2 km.现要继续在点M,N,F处修建游乐区,点M在BC上,且在线段AB的垂直平分线上,F,N分别是BC,BD上的动点.沿MN,NF修建轨道交通以方便游客游玩.为节约成本要求MN+NF的值最小,请问MN+NF的值是否存在最小值?若存在,请求出此时BF的长;若不存在,请说明理由.

解:(1)4.
(2)因为AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,所以$AD=BD$,$CE=AE$,
所以$△ADE$的周长为$AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=30$.
(3)存在.因为$AB=AC$,$∠BAC=100°$,所以$∠ABC=∠ACB=40°$.
因为BD平分$∠ABC$,所以$∠ABD=∠CBD=20°$.
如答图,作线段CE,使$∠ECQ=∠PBA=20°$,$EC=AB$,连接QE,AE,
所以$∠ACE=∠ACB+∠ECQ=40°+20°=60°$.
因为$AB=AC$,$EC=AB$,所以$AC=EC$,
所以$△ACE$是等边三角形,所以$EC=AE$,所以$AB=AE$.
因为$CQ=BP$,$∠ECQ=∠ABP$,$EC=AB$,
所以$△ECQ≌△ABP(SAS)$,所以$QE=AP$,
所以$AP+AQ=QE+AQ≥AE$,所以$AP+AQ$的最小值为AE的长,即$AE=2\ \mathrm{km}$,所以$AB=2\ \mathrm{km}$.
作AB的垂直平分线OM,交AB于点O,交BC于点M,则$OB=\frac{1}{2}AB=1\ \mathrm{km}$,作点F关于BD的对称点R,连接MN,NF,NR,MR,则$NR=NF$.
因为BD平分$∠ABC$,点F关于BD的对称点为R,所以点R在直线AB上.
因为$MN+NF=MN+NR≥RM$,所以当M,N,R三点共线且直线MN垂直于AB,即点R和点O重合时,$MN+NF$有最小值.
因为BD平分$∠ABC$,点R在直线AB上,且与点F关于BD对称,所以$BF=OB=1\ \mathrm{km}$.