2. 已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象相交于点$A(2,m)$，$B(n,-2)$，与$x$轴交于点$C$.
(1)求一次函数$y=kx+b(k≠0)$的解析式及点$C$的坐标；
(2)根据函数图象，直接写出不等式$kx+b＜\dfrac{8}{x}$的解集；
(3)求$△ AOB$的面积.

解：
(1) 把$A(2,m)$代入反比例函数$y=\frac{8}{x}$，得$m=\frac{8}{2}=4$，即$A(2,4)$。
把$B(n,-2)$代入反比例函数$y=\frac{8}{x}$，得$-2=\frac{8}{n}$，解得$n=-4$，即$B(-4,-2)$。
将$A(2,4)$、$B(-4,-2)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k+b=4\\-4k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=x+2$。
令$y=0$，则$0=x+2$，解得$x=-2$，所以点$C$的坐标为$(-2,0)$。
(2) 不等式$kx+b＜\frac{8}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜2$。
(3) 由$C(-2,0)$得$OC=2$，
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}× OC× |y_A| + \frac{1}{2}× OC× |y_B|$
$=\frac{1}{2}×2×4 + \frac{1}{2}×2×2$
$=6$

3. 我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行技术改造。从1月底到5月，y与x成反比例关系。到5月底，技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前一个月增加20万元（如图）。
(1)分别求出在技术改造阶段(1≤x≤5)及技术改造后(x＞5)，y与x之间的函数表达式。
(2)若设第3个月时该厂的利润为$y_1$，第4个月时该厂的利润为$y_2$，第7个月时利润为$y_3$，则$y_1$、$y_2$和$y_3$的大小关系为：（用“＞”连接）。
(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月。

解：
(1) 当$1≤ x≤5$时，设函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=1$，$y=200$代入得：$200=\frac{k}{1}$，解得$k=200$，
因此该阶段的函数表达式为：
$y=\frac{200}{x}\quad(1≤ x≤5)$。
当$x=5$时，代入反比例函数得$y=\frac{200}{5}=40$，即第5个月利润为40万元。
当$x＞5$时，由题意设函数表达式为$y=40+20(x-5)$，整理得：
$y=20x-60\quad(x＞5)$。
(2) 代入计算：
$y_1=\frac{200}{3}$，$y_2=\frac{200}{4}=50$，$y_3=20×7-60=80$，
因此大小关系为：$\boldsymbol{y_3＞y_1＞y_2}$。
(3) 分两段求解$y＜100$的正整数$x$的个数：
① 当$1≤ x≤5$时，令$\frac{200}{x}＜100$，解得$x＞2$，
结合取值范围，正整数$x$可取3、4、5，共3个值。
② 当$x＞5$时，令$20x-60＜100$，解得$x＜8$，
结合取值范围，正整数$x$可取6、7，共2个值。
总个数为$3+2=5$。
答：该厂资金紧张期共有5个月。