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6. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=mx$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象交于A,B两点,点A的坐标为$(2,3)$,则下列结论错误的是()
A.反比例函数的表达式为$y_2=\frac{6}{x}$
B.点B的坐标为$(-2,-3)$
C.$y_2$随$x$的增大而减小
D.当$x＜-2$或$0＜x＜2$时,$y_1＜y_2$
A.反比例函数的表达式为$y_2=\frac{6}{x}$
B.点B的坐标为$(-2,-3)$
C.$y_2$随$x$的增大而减小
D.当$x＜-2$或$0＜x＜2$时,$y_1＜y_2$
答案
C
解析
1. 将点A(2,3)代入反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$，得$k=2×3=6$，因此反比例函数表达式为$y_2=\frac{6}{x}$，A结论正确。
2. 正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点中心对称，由A(2,3)可得点B坐标为$(-2,-3)$，B结论正确。
3. 对于$y_2=\frac{6}{x}$，$k=6＞0$，仅在各自象限内$y_2$随$x$的增大而减小，跨区间不满足该性质，直接说$y_2$随$x$的增大而减小是错误的。
4. 结合函数图象可得，当$x＜-2$或$0＜x＜2$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，即$y_1＜y_2$，D结论正确。
综上错误的结论是C。
2. 正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点中心对称，由A(2,3)可得点B坐标为$(-2,-3)$，B结论正确。
3. 对于$y_2=\frac{6}{x}$，$k=6＞0$，仅在各自象限内$y_2$随$x$的增大而减小，跨区间不满足该性质，直接说$y_2$随$x$的增大而减小是错误的。
4. 结合函数图象可得，当$x＜-2$或$0＜x＜2$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，即$y_1＜y_2$，D结论正确。
综上错误的结论是C。
1. 已知点$P(a,b)$与$P_1(6,-3)$关于原点对称，则$a+b=$。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
解：
∵ 点$P(a,b)$与$P_1(6,-3)$关于原点对称，
∴ 两点的横、纵坐标均互为相反数，
可得$a=-6$，$b=3$，
∴ $a+b=-6+3=-3$。
最终
∵ 点$P(a,b)$与$P_1(6,-3)$关于原点对称，
∴ 两点的横、纵坐标均互为相反数，
可得$a=-6$，$b=3$，
∴ $a+b=-6+3=-3$。
最终
2. 在弹性限度内,某弹簧的长度$y$(单位:cm)与所挂物体的质量$x$(单位:kg)的关系式为$y=0.3x+12$,则其常数项12的实际意义是。
答案
解：在关系式$y=0.3x+12$中，当所挂物体质量$x=0\ \mathrm{kg}$时，$y=12\ \mathrm{cm}$，此时弹簧未悬挂物体，因此常数项12的实际意义是：弹簧不挂物体时的长度为12cm。
3. 将一次函数$y=kx+k+1$（$k$为常数）的图象绕原点顺时针旋转$90°$，所得图象与$y$轴交于点$(0,m)$，当$m＞2$时，$k$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
解：
将旋转后所得图象与y轴的交点$(0,m)$绕原点逆时针旋转$90°$，得到点$(-m,0)$，该点在原一次函数$y=kx+k+1$的图象上。
把$x=-m$，$y=0$代入原函数解析式：
$0 = k·(-m) + k + 1$
整理得：$km = k+1$，即$m = \frac{k+1}{k} = 1+\frac{1}{k}$。
由$m＞2$可得：
$1+\frac{1}{k} ＞ 2$
化简得$\frac{1}{k} ＞ 1$，由此可知$k＞0$，不等式两边同乘$k$得$1＞k$，即$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$0＜k＜1$。
$\underline{0＜k＜1}$
将旋转后所得图象与y轴的交点$(0,m)$绕原点逆时针旋转$90°$，得到点$(-m,0)$，该点在原一次函数$y=kx+k+1$的图象上。
把$x=-m$，$y=0$代入原函数解析式：
$0 = k·(-m) + k + 1$
整理得：$km = k+1$，即$m = \frac{k+1}{k} = 1+\frac{1}{k}$。
由$m＞2$可得：
$1+\frac{1}{k} ＞ 2$
化简得$\frac{1}{k} ＞ 1$，由此可知$k＞0$，不等式两边同乘$k$得$1＞k$，即$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$0＜k＜1$。
$\underline{0＜k＜1}$
4. 如图，A,B是双曲线$y=\frac{k}{x}$上的两点，过点A作$AC⊥x$轴，交OB于点D，垂足为点C. 若$△ ODC$的面积为1，D为AC的中点，则k的值为.
第4题图 第5题图
第4题图 第5题图
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
设点A的坐标为$(x_A, y_A)$，
因为$AC⊥ x$轴，所以点C的坐标为$(x_A, 0)$。
因为D为AC的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}y_A$。
由$S_{△ ODC}=1$，得：
$S_{△ ODC}=\frac{1}{2}· OC· CD=\frac{1}{2}· x_A · \frac{1}{2}y_A = \frac{1}{4}x_A y_A =1$
因此$x_A y_A=4$。
又因为点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，且双曲线位于第一象限，$k＞0$，所以$k=x_A y_A=4$。
设点A的坐标为$(x_A, y_A)$，
因为$AC⊥ x$轴，所以点C的坐标为$(x_A, 0)$。
因为D为AC的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}y_A$。
由$S_{△ ODC}=1$，得：
$S_{△ ODC}=\frac{1}{2}· OC· CD=\frac{1}{2}· x_A · \frac{1}{2}y_A = \frac{1}{4}x_A y_A =1$
因此$x_A y_A=4$。
又因为点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，且双曲线位于第一象限，$k＞0$，所以$k=x_A y_A=4$。
5. 如图,直线$y=x+1$与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于第一象限的点$A$,过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$,连接$BC$.若$△ ABC$的面积为$2$,则反比例函数的表达式为.
答案
解：
对于直线$y=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，
∴点$B$的坐标为$(0,1)$。
设点$A$的坐标为$(a, a+1)$，由$AC ⊥ x$轴，得点$C$坐标为$(a, 0)$，
∴$AC = a+1$，$OC = a$。
由$S_{△ ABC}=2$，得：
$\frac{1}{2} · AC · OC = 2$
代入得$\frac{1}{2} · (a+1) · a = 2$，整理得$a(a+1)=4$。
∵点$A$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k = a · (a+1) = 4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
对于直线$y=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，
∴点$B$的坐标为$(0,1)$。
设点$A$的坐标为$(a, a+1)$，由$AC ⊥ x$轴，得点$C$坐标为$(a, 0)$，
∴$AC = a+1$，$OC = a$。
由$S_{△ ABC}=2$，得：
$\frac{1}{2} · AC · OC = 2$
代入得$\frac{1}{2} · (a+1) · a = 2$，整理得$a(a+1)=4$。
∵点$A$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k = a · (a+1) = 4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
三、解答题
1. 已知$ y $与$ x $成正比例关系，且当$ x=-6 $时，$ y=3 $。
(1)求$ y $与$ x $之间的函数解析式；
(2)若点$ (a,-5) $在这个函数的图象上，求$ a $的值。
1. 已知$ y $与$ x $成正比例关系，且当$ x=-6 $时，$ y=3 $。
(1)求$ y $与$ x $之间的函数解析式；
(2)若点$ (a,-5) $在这个函数的图象上，求$ a $的值。
答案
解：
(1) ∵ y与x成正比例关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = kx $（$ k ≠ 0 $）。
将 $ x=-6 $，$ y=3 $ 代入解析式得：
$ 3 = -6k $，
解得 $ k = -\frac{1}{2} $。
∴ y与x之间的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x $。
(2) ∵ 点$ (a,-5) $在函数$ y = -\frac{1}{2}x $的图象上，
∴ 将$ x=a $，$ y=-5 $代入解析式得：
$ -5 = -\frac{1}{2}a $，
解得 $ a = 10 $。
(1) ∵ y与x成正比例关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = kx $（$ k ≠ 0 $）。
将 $ x=-6 $，$ y=3 $ 代入解析式得：
$ 3 = -6k $，
解得 $ k = -\frac{1}{2} $。
∴ y与x之间的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x $。
(2) ∵ 点$ (a,-5) $在函数$ y = -\frac{1}{2}x $的图象上，
∴ 将$ x=a $，$ y=-5 $代入解析式得：
$ -5 = -\frac{1}{2}a $，
解得 $ a = 10 $。
