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12. “白毛浮绿水，红掌拨清波”。白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为 $ r $，则其面积 $ S $ 与 $ r $ 之间的关系可表示为 $ S = π r^{2} $。下列判断正确的是(
A.$ r $ 是常量
B.$ π $ 是常量
C.$ S $ 是自变量
D.$ S $， $ π $， $ r $ 都是变量
B
)。A.$ r $ 是常量
B.$ π $ 是常量
C.$ S $ 是自变量
D.$ S $， $ π $， $ r $ 都是变量
答案
12. B
解析
【分析】
我们首先要明确常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值始终固定不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量，同时要区分自变量和因变量：主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量。本题的场景是水波不断扩大，半径r持续增大，面积S也随之同步变大，而π是固定的圆周率数值不会改变。我们可以逐个对照选项判断正误，排除错误选项得到正确答案。
【解析】
解：根据常量、变量、自变量的定义逐一分析：
1. 明确各量的属性：在水波不断扩大的变化过程中，半径r的数值持续增大，属于变量；面积S随r的增大而增大，也属于变量，其中r是主动变化的自变量，S是随r变化的因变量；π是圆周率，是固定的常数，数值始终不变，属于常量。
2. 判断选项：
A选项：r是不断变化的变量，不是常量，该选项错误；
B选项：π是固定的圆周率，属于常量，该选项正确；
C选项：S随r的变化而变化，是因变量，不是自变量，该选项错误；
D选项：π是常量，并非变量，该选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
常量与变量，自变量与因变量
【点评】
本题属于函数入门的基础概念辨析题，核心考点是区分变化过程中的常量和变量，易错点是部分同学会误将S当成自变量，或者误以为π是变量，只要牢记π是固定的圆周率，理清变化过程中各量的变化逻辑，就可以轻松完成判断。
【难度系数】
0.9
我们首先要明确常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值始终固定不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量，同时要区分自变量和因变量：主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量。本题的场景是水波不断扩大，半径r持续增大，面积S也随之同步变大，而π是固定的圆周率数值不会改变。我们可以逐个对照选项判断正误，排除错误选项得到正确答案。
【解析】
解：根据常量、变量、自变量的定义逐一分析：
1. 明确各量的属性：在水波不断扩大的变化过程中，半径r的数值持续增大，属于变量；面积S随r的增大而增大，也属于变量，其中r是主动变化的自变量，S是随r变化的因变量；π是圆周率，是固定的常数，数值始终不变，属于常量。
2. 判断选项：
A选项：r是不断变化的变量，不是常量，该选项错误；
B选项：π是固定的圆周率，属于常量，该选项正确；
C选项：S随r的变化而变化，是因变量，不是自变量，该选项错误；
D选项：π是常量，并非变量，该选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
常量与变量，自变量与因变量
【点评】
本题属于函数入门的基础概念辨析题，核心考点是区分变化过程中的常量和变量，易错点是部分同学会误将S当成自变量，或者误以为π是变量，只要牢记π是固定的圆周率，理清变化过程中各量的变化逻辑，就可以轻松完成判断。
【难度系数】
0.9
13. 某人要在规定的时间内加工 $ 100 $ 个零件，如果用 $ n $ 表示工作效率，用 $ t $ 表示规定的时间，下列说法正确的是(
A.数 $ 100 $ 和 $ n $， $ t $ 都是常量
B.数 $ 100 $ 和 $ n $ 都是变量
C.$ n $ 和 $ t $ 都是变量
D.数 $ 100 $ 和 $ t $ 都是变量
C
)。A.数 $ 100 $ 和 $ n $， $ t $ 都是常量
B.数 $ 100 $ 和 $ n $ 都是变量
C.$ n $ 和 $ t $ 都是变量
D.数 $ 100 $ 和 $ t $ 都是变量
答案
13. C
解析
【分析】
首先明确解题思路：第一步先回忆常量和变量的定义，在对应变化过程中，数值始终保持不变的量是常量，数值可以发生改变的量是变量。第二步结合本题的工程场景，推导三个量的关系：工作总量=工作效率×工作时间，也就是$n· t=100$。第三步逐个判断量的属性：总零件数100是固定的加工任务，数值不会改变，属于常量；工作效率n可以取不同的合理值，对应的规定时间t也会随n的变化而联动改变，二者都是可变化的量，属于变量。最后对比四个选项，匹配推导结论选出正确答案即可。
【解析】
解：根据工程问题的基本数量关系，本题中三个量满足等式：$n · t = 100$。
1. 固定要加工的零件总数100，在整个问题场景下数值始终不变，因此100是常量。
2. 工作效率n可以取不同的合理数值，对应的规定时间t也会随n的变化而变化，二者的数值都不固定，因此n和t都是变量。
逐一判断选项：
选项A：n和t是变量，不是常量，该选项错误；
选项B：100是常量，不是变量，该选项错误；
选项C：n和t都是变量，符合推导结论，该选项正确；
选项D：100是常量，不是变量，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
常量与变量，工程数量关系
【点评】
本题是概念类基础题，核心考察对常量、变量定义的实际应用，易错点是容易误将“规定的时间t”当成固定常量，忽略本题中t是随工作效率n联动变化的可变量，解题时紧扣定义区分固定不变和可变化的量即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
首先明确解题思路：第一步先回忆常量和变量的定义，在对应变化过程中，数值始终保持不变的量是常量，数值可以发生改变的量是变量。第二步结合本题的工程场景，推导三个量的关系：工作总量=工作效率×工作时间，也就是$n· t=100$。第三步逐个判断量的属性：总零件数100是固定的加工任务，数值不会改变，属于常量；工作效率n可以取不同的合理值，对应的规定时间t也会随n的变化而联动改变，二者都是可变化的量，属于变量。最后对比四个选项，匹配推导结论选出正确答案即可。
【解析】
解：根据工程问题的基本数量关系，本题中三个量满足等式：$n · t = 100$。
1. 固定要加工的零件总数100，在整个问题场景下数值始终不变，因此100是常量。
2. 工作效率n可以取不同的合理数值，对应的规定时间t也会随n的变化而变化，二者的数值都不固定，因此n和t都是变量。
逐一判断选项：
选项A：n和t是变量，不是常量，该选项错误；
选项B：100是常量，不是变量，该选项错误；
选项C：n和t都是变量，符合推导结论，该选项正确；
选项D：100是常量，不是变量，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
常量与变量，工程数量关系
【点评】
本题是概念类基础题，核心考察对常量、变量定义的实际应用，易错点是容易误将“规定的时间t”当成固定常量，忽略本题中t是随工作效率n联动变化的可变量，解题时紧扣定义区分固定不变和可变化的量即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
14. 跳伞运动以自身的惊险性和挑战性，被世人誉为“勇敢者的运动”。跳伞过程主要包括离机、自由坠落、开伞、降落和着陆五个环节。在某次跳伞过程中，一位运动员从高空由静止开始竖直跳下，经过 $ 20\ \mathrm{s} $ 后，开始做匀速直线运动直至落地，整个过程用时 $ 40\ \mathrm{s} $，如图表示该运动员下降的速度随时间变化而变化的情况。观察图象并回答下列问题。
(1) 在这个变化过程中，自变量是
(2) 运动员从高空跳下，没有打开降落伞之前，称为自由坠落，此时下落得越来越快，该运动员自由坠落的时间是多少？
(3) $ 20\ \mathrm{s} $ 时，该运动员距离地面的高度是多少？
(1) 在这个变化过程中，自变量是
时间
，因变量是下降的速度
。(2) 运动员从高空跳下，没有打开降落伞之前，称为自由坠落，此时下落得越来越快，该运动员自由坠落的时间是多少？
(3) $ 20\ \mathrm{s} $ 时，该运动员距离地面的高度是多少？
答案
14. (1) 时间 下降的速度 (2) 13 s
(3) 根据图象可知，20 s 时下降的速度为 5 m/s，且到落地前速度不变，所以距离地面的高度为 5×(40−20)=100(m)。
(3) 根据图象可知，20 s 时下降的速度为 5 m/s，且到落地前速度不变，所以距离地面的高度为 5×(40−20)=100(m)。
解析
【解析】
(1) 根据自变量和因变量的定义，在速度随时间变化的过程中，主动变化的量是时间，随时间变化的量是下降的速度，因此自变量是时间，因变量是下降的速度。
(2) 由题意可知自由坠落阶段运动员下落速度越来越快，对应v-t图像中速度持续上升的部分，从图像横轴可得该阶段到13s时结束，因此自由坠落的时间是13s。
(3) 由图像可知，20s时运动员的速度为5m/s，之后保持该速度匀速运动直至落地，匀速运动的总时长为40-20=20s，根据匀速直线运动路程公式s=vt，可得20s时运动员距离地面的高度为5×(40-20)=100m。
【答案】
(1) 时间；下降的速度 (2) 13 s (3) 100 m
【知识点】
变量的定义；函数图像的应用；匀速路程计算
【点评】
本题结合跳伞运动的实际场景，考查了变量的概念、v-t图像的读取和基础匀速运动计算，难度较低，重点是能从给定图像中提取对应时间、速度的有效信息解题。
【难度系数】
0.85
(1) 根据自变量和因变量的定义，在速度随时间变化的过程中，主动变化的量是时间，随时间变化的量是下降的速度，因此自变量是时间，因变量是下降的速度。
(2) 由题意可知自由坠落阶段运动员下落速度越来越快，对应v-t图像中速度持续上升的部分，从图像横轴可得该阶段到13s时结束，因此自由坠落的时间是13s。
(3) 由图像可知，20s时运动员的速度为5m/s，之后保持该速度匀速运动直至落地，匀速运动的总时长为40-20=20s，根据匀速直线运动路程公式s=vt，可得20s时运动员距离地面的高度为5×(40-20)=100m。
【答案】
(1) 时间；下降的速度 (2) 13 s (3) 100 m
【知识点】
变量的定义；函数图像的应用；匀速路程计算
【点评】
本题结合跳伞运动的实际场景，考查了变量的概念、v-t图像的读取和基础匀速运动计算，难度较低，重点是能从给定图像中提取对应时间、速度的有效信息解题。
【难度系数】
0.85
