如图 1,在$△ ABC$中,$∠ ABC = ∠ BAC$,D 是 BC 延长线上一动点,连接 AD,AE 平分$∠ CAD$交 CD 于点 E,过点 E 作$EH ⊥ AB$,垂足为点 H.直线 EH 与直线 AC 相交于点 F.设$∠ AEH = α$,$∠ ADC = β$.
(1) 求证:$∠ EFC = ∠ FEC$;
(2) ① 若$∠ B = 30°$,$∠ CAD = 50°$,则$α =$,$β =$;
② 试探究$α$与$β$的关系,并说明理由;
(3) 若将“D 是 BC 延长线上一动点”改为“D 是 CB 延长线上一动点”,其他条件不变,请在图 2 中补全图形,并直接写出$α$与$β$的关系.

(1) 证明如上；
(2) ① $\boldsymbol{35°}$，$\boldsymbol{70°}$；
② $\boldsymbol{β=2α}$，理由如上；
(3) 补全图形如上，关系为$\boldsymbol{2α + β = 180°}$。

(1) 证明：
∵ $EH ⊥ AB$，$\therefore ∠ AHF = ∠ EHB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AFH$中，$∠ EFC = ∠ AFH = 90° - ∠ BAC$；
在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$∠ FEC = ∠ BEH = 90° - ∠ ABC$。
又$\because ∠ ABC = ∠ BAC$，
$\therefore ∠ EFC = ∠ FEC$。
(2) ① 计算：
$\because ∠ ABC = ∠ BAC = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 30° - 30° = 120°$，$\therefore ∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 60°$。
$\because AE$平分$∠ CAD$，$∠ CAD = 50°$，
$\therefore ∠ CAE = \frac{1}{2}∠ CAD = 25°$，$\therefore ∠ EAB = ∠ BAC + ∠ CAE = 55°$。
在$\mathrm{Rt}△ AHE$中，$α = ∠ AEH = 90° - 55° = 35°$。
在$△ ACD$中，$β = ∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 180° - 50° - 60° = 70°$。
② 探究$α$与$β$的关系：
设$∠ ABC = ∠ BAC = x$，$∠ CAE = ∠ EAD = y$，
则$∠ CAD = 2y$，$∠ EAB = x + y$。
$\because EH ⊥ AB$，$\therefore ∠ AHE = 90°$，
$\therefore α = ∠ AEH = 90° - ∠ EAB = 90° - (x + y)$，即$x + y = 90° - α$。
$\because ∠ ACB = 180° - 2x$，$\therefore ∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 2x$。
在$△ ACD$中，$β = ∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 180° - 2y - 2x = 180° - 2(x + y)$，
将$x + y = 90° - α$代入得：$β = 180° - 2(90° - α) = 2α$，即$β = 2α$。
(3) 补全图形：连接$AD$，作$AE$平分$∠ CAD$交直线$CD$于点$E$，过点$E$作$EH ⊥ AB$，垂足$H$在$AB$的延长线上，直线$EH$交$AC$的延长线于点$F$。推导可得此时$α$与$β$的关系为$2α + β = 180°$。