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重点突破
一、小数乘、除法的算理表达
1. 新趋势 算理理解 小数乘、除法与整数乘、除法有哪些联系呢？丽丽列表整理了一下，请你帮她补充完整。
| 类 别 | 算式举例 | 算理表达 |
| --- | --- | --- |
| 整数乘法 | $2×3=6$ | $2×3$个一$=6$个一 |
| | $2×30=(\quad)$ | $2×3$个十$=6$个十 |
| 小数乘法 | $2×0.3=($
$)$ | $2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$ |
| | $0.2×0.03=(\quad)$ | $2×3$个$(\quad)=6$个$(\quad)$ |
| 类 别 | 算式举例 | 算理表达 |
| --- | --- | --- |
| 整数除法 | $16÷2=8$ | $16$个一$÷2$个一$=8$ |
| | $160÷20=(\quad)$ | $16$个十$÷2$个十$=(\quad)$ |
| 小数除法 | $0.8÷0.4=($
$)$ | $\frac{8}{10}÷\frac{4}{10}=\frac{8}{10}×\frac{10}{4}=\frac{8}{4}=8÷4=(\quad)$ |
| | $0.8÷0.04=(\quad)$ | $\frac{80}{100}÷\frac{4}{100}=\frac{80}{100}×\frac{100}{4}=\frac{80}{4}=\frac{80}{4}=(\quad)÷(\quad)=(\quad)$ |
一、小数乘、除法的算理表达
1. 新趋势 算理理解 小数乘、除法与整数乘、除法有哪些联系呢？丽丽列表整理了一下，请你帮她补充完整。
| 类 别 | 算式举例 | 算理表达 |
| --- | --- | --- |
| 整数乘法 | $2×3=6$ | $2×3$个一$=6$个一 |
| | $2×30=(\quad)$ | $2×3$个十$=6$个十 |
| 小数乘法 | $2×0.3=($
$)$ | $2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$ || | $0.2×0.03=(\quad)$ | $2×3$个$(\quad)=6$个$(\quad)$ |
| 类 别 | 算式举例 | 算理表达 |
| --- | --- | --- |
| 整数除法 | $16÷2=8$ | $16$个一$÷2$个一$=8$ |
| | $160÷20=(\quad)$ | $16$个十$÷2$个十$=(\quad)$ |
| 小数除法 | $0.8÷0.4=($
$)$ | $\frac{8}{10}÷\frac{4}{10}=\frac{8}{10}×\frac{10}{4}=\frac{8}{4}=8÷4=(\quad)$ || | $0.8÷0.04=(\quad)$ | $\frac{80}{100}÷\frac{4}{100}=\frac{80}{100}×\frac{100}{4}=\frac{80}{4}=\frac{80}{4}=(\quad)÷(\quad)=(\quad)$ |
答案
1. 整数乘法：$2×30=60$，$2×3$个十$=6$个十；
小数乘法：$2×0.3=0.6$，$2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$；$0.2×0.03=0.006$，$2×3$个$\frac{1}{1000}=6$个$\frac{1}{1000}$；
整数除法：$160÷20=8$，$16$个十$÷2$个十$=8$；
小数除法：$0.8÷0.4=2$，$\frac{8}{4}=8÷4=2$；$0.8÷0.04=20$，$\frac{80}{4}=80÷4=20$。
小数乘法：$2×0.3=0.6$，$2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$；$0.2×0.03=0.006$，$2×3$个$\frac{1}{1000}=6$个$\frac{1}{1000}$；
整数除法：$160÷20=8$，$16$个十$÷2$个十$=8$；
小数除法：$0.8÷0.4=2$，$\frac{8}{4}=8÷4=2$；$0.8÷0.04=20$，$\frac{80}{4}=80÷4=20$。
解析
【分析】
解题时我们要抓住整数和小数乘除法的共同核心：二者都是基于计数单位的运算，计算时先把参与运算的数拆成若干个相同的计数单位，先对计数单位的个数做整数乘除运算，再结合计数单位得到最终结果，这样就能把小数乘除转化为我们熟悉的整数乘除计算。我们逐行分析：
1. 整数乘法部分：30的计数单位是十，3个十乘2得到6个十，对应数值就是60；
2. 小数乘法部分：0.3的计数单位是$\frac{1}{10}$，3个$\frac{1}{10}$乘2得到6个$\frac{1}{10}$，对应数值是0.6；0.2是2个$\frac{1}{10}$，0.03是3个$\frac{1}{100}$，二者相乘后计数单位是$\frac{1}{10}×\frac{1}{100}=\frac{1}{1000}$，所以2×3个$\frac{1}{1000}$就是6个$\frac{1}{1000}$，对应数值是0.006；
3. 整数除法部分：160是16个十，20是2个十，16个十除以2个十，就等于16÷2=8；
4. 小数除法部分：0.8和0.4的计数单位都可以统一为$\frac{1}{10}$，对应8个$\frac{1}{10}$除以4个$\frac{1}{10}$，转化为8÷4=2；0.8和0.04的计数单位可以统一为$\frac{1}{100}$，对应80个$\frac{1}{100}$除以4个$\frac{1}{100}$，转化为80÷4=20。
【解析】
我们按表格顺序逐一计算：
1. 整数乘法第二行：$2×30=60$，对应算理$2×3$个十$=6$个十；
2. 小数乘法第一行：$2×0.3=0.6$，对应算理$2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$；
3. 小数乘法第二行：$0.2×0.03=0.006$，对应算理$2×3$个$\frac{1}{1000}=6$个$\frac{1}{1000}$；
4. 整数除法第二行：$160÷20=8$，对应算理$16$个十$÷2$个十$=8$；
5. 小数除法第一行：$0.8÷0.4=2$，对应算理$\frac{8}{4}=8÷4=2$；
6. 小数除法第二行：$0.8÷0.04=20$，对应算理$\frac{80}{4}=80÷4=20$。
【答案】
1. 整数乘法：$2×30=60$，$2×3$个十$=6$个十；
小数乘法：$2×0.3=0.6$，$2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$；$0.2×0.03=0.006$，$2×3$个$\frac{1}{1000}=6$个$\frac{1}{1000}$；
整数除法：$160÷20=8$，$16$个十$÷2$个十$=8$；
小数除法：$0.8÷0.4=2$，$\frac{8}{4}=8÷4=2$；$0.8÷0.04=20$，$\frac{80}{4}=80÷4=20$。
【知识点】
整数乘除法算理、小数乘除法算理、计数单位应用
【点评】
这道题通过对比整数和小数乘除法的算理，揭示了二者的内在联系，核心是通过统一计数单位将小数乘除运算转化为整数乘除运算，能够帮助学生深刻理解小数乘除法的计算原理，避免机械套用计算法则。
【难度系数】
0.7
解题时我们要抓住整数和小数乘除法的共同核心：二者都是基于计数单位的运算，计算时先把参与运算的数拆成若干个相同的计数单位，先对计数单位的个数做整数乘除运算，再结合计数单位得到最终结果，这样就能把小数乘除转化为我们熟悉的整数乘除计算。我们逐行分析：
1. 整数乘法部分：30的计数单位是十，3个十乘2得到6个十，对应数值就是60；
2. 小数乘法部分：0.3的计数单位是$\frac{1}{10}$，3个$\frac{1}{10}$乘2得到6个$\frac{1}{10}$，对应数值是0.6；0.2是2个$\frac{1}{10}$，0.03是3个$\frac{1}{100}$，二者相乘后计数单位是$\frac{1}{10}×\frac{1}{100}=\frac{1}{1000}$，所以2×3个$\frac{1}{1000}$就是6个$\frac{1}{1000}$，对应数值是0.006；
3. 整数除法部分：160是16个十，20是2个十，16个十除以2个十，就等于16÷2=8；
4. 小数除法部分：0.8和0.4的计数单位都可以统一为$\frac{1}{10}$，对应8个$\frac{1}{10}$除以4个$\frac{1}{10}$，转化为8÷4=2；0.8和0.04的计数单位可以统一为$\frac{1}{100}$，对应80个$\frac{1}{100}$除以4个$\frac{1}{100}$，转化为80÷4=20。
【解析】
我们按表格顺序逐一计算：
1. 整数乘法第二行：$2×30=60$，对应算理$2×3$个十$=6$个十；
2. 小数乘法第一行：$2×0.3=0.6$，对应算理$2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$；
3. 小数乘法第二行：$0.2×0.03=0.006$，对应算理$2×3$个$\frac{1}{1000}=6$个$\frac{1}{1000}$；
4. 整数除法第二行：$160÷20=8$，对应算理$16$个十$÷2$个十$=8$；
5. 小数除法第一行：$0.8÷0.4=2$，对应算理$\frac{8}{4}=8÷4=2$；
6. 小数除法第二行：$0.8÷0.04=20$，对应算理$\frac{80}{4}=80÷4=20$。
【答案】
1. 整数乘法：$2×30=60$，$2×3$个十$=6$个十；
小数乘法：$2×0.3=0.6$，$2×3$个$\frac{1}{10}=6$个$\frac{1}{10}$；$0.2×0.03=0.006$，$2×3$个$\frac{1}{1000}=6$个$\frac{1}{1000}$；
整数除法：$160÷20=8$，$16$个十$÷2$个十$=8$；
小数除法：$0.8÷0.4=2$，$\frac{8}{4}=8÷4=2$；$0.8÷0.04=20$，$\frac{80}{4}=80÷4=20$。
【知识点】
整数乘除法算理、小数乘除法算理、计数单位应用
【点评】
这道题通过对比整数和小数乘除法的算理，揭示了二者的内在联系，核心是通过统一计数单位将小数乘除运算转化为整数乘除运算，能够帮助学生深刻理解小数乘除法的计算原理，避免机械套用计算法则。
【难度系数】
0.7
2. 根据$75×67=5025$，在下面的括号里填适当的数。
$502.5=750×(\quad)$
$7.5×(\quad)=50.25$
$0.5025=7.5×(\quad)$
$7.5×(\quad)=5.025$
$502.5=750×(\quad)$
$7.5×(\quad)=50.25$
$0.5025=7.5×(\quad)$
$7.5×(\quad)=5.025$
答案
2. 0.67 6.7 0.067 0.67
解析
【分析】
本题已知基础算式$75×67=5025$，解题核心是运用积的变化规律：乘法算式中，一个因数扩大（或缩小）若干倍，若积也发生变化，则积扩大或缩小的倍数是两个因数扩大或缩小倍数的乘积。解题时先分别对比每个式子的已知因数、积和基础算式的对应项的倍数变化，再推算出未知因数即可。
【解析】
已知$75×67=5025$，逐个计算如下：
1. 计算$502.5=750×( )$：
积$502.5$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，因数$750$是$75$扩大到原来的$10$倍，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{10×10}=\frac{1}{100}$，即$67÷100=0.67$。
2. 计算$7.5×( )=50.25$：
因数$7.5$是$75$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，积$50.25$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{100}$，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，即$67÷10=6.7$。
3. 计算$0.5025=7.5×( )$：
因数$7.5$是$75$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，积$0.5025$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{10000}$，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{1000}$，即$67÷1000=0.067$。
4. 计算$7.5×( )=5.025$：
因数$7.5$是$75$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，积$5.025$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{1000}$，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{100}$，即$67÷100=0.67$。
【答案】
0.67；6.7；0.067；0.67
【知识点】
积的变化规律；小数点移动规律；小数乘除计算
【点评】
本题是小数乘法章节的基础常考题，主要考查对积的变化规律的灵活运用，熟练掌握因数和积的小数点移动的对应关系，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.7
本题已知基础算式$75×67=5025$，解题核心是运用积的变化规律：乘法算式中，一个因数扩大（或缩小）若干倍，若积也发生变化，则积扩大或缩小的倍数是两个因数扩大或缩小倍数的乘积。解题时先分别对比每个式子的已知因数、积和基础算式的对应项的倍数变化，再推算出未知因数即可。
【解析】
已知$75×67=5025$，逐个计算如下：
1. 计算$502.5=750×( )$：
积$502.5$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，因数$750$是$75$扩大到原来的$10$倍，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{10×10}=\frac{1}{100}$，即$67÷100=0.67$。
2. 计算$7.5×( )=50.25$：
因数$7.5$是$75$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，积$50.25$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{100}$，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，即$67÷10=6.7$。
3. 计算$0.5025=7.5×( )$：
因数$7.5$是$75$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，积$0.5025$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{10000}$，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{1000}$，即$67÷1000=0.067$。
4. 计算$7.5×( )=5.025$：
因数$7.5$是$75$缩小到原来的$\frac{1}{10}$，积$5.025$是$5025$缩小到原来的$\frac{1}{1000}$，所以未知因数是$67$缩小到原来的$\frac{1}{100}$，即$67÷100=0.67$。
【答案】
0.67；6.7；0.067；0.67
【知识点】
积的变化规律；小数点移动规律；小数乘除计算
【点评】
本题是小数乘法章节的基础常考题，主要考查对积的变化规律的灵活运用，熟练掌握因数和积的小数点移动的对应关系，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.7
（1）把下面的算式转化成除数是整数的除法算式。
24.85÷0.4=(
12.6÷0.58=(
0.193÷3.2=(
9.52÷0.14=(
24.85÷0.4=(
248.5
)÷412.6÷0.58=(
1260
)÷580.193÷3.2=(
1.93
)÷329.52÷0.14=(
952
)÷14答案
3.(1) 248.5 1260 1.93 952
解析
【分析】
本题考查商不变性质在小数除法转化中的应用，解题思路如下：①回忆商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；②观察每组算式等号两侧的除数，计算出除数扩大到原来的多少倍；③将对应算式的被除数也扩大相同的倍数，就能得到括号里要填的数。
【解析】
我们根据商不变规律逐个计算：
1. 算式$24.85÷0.4=( )÷4$中，除数$0.4$变为$4$，是乘了$10$，因此被除数$24.85$也要乘$10$：$24.85×10=248.5$；
2. 算式$12.6÷0.58=( )÷58$中，除数$0.58$变为$58$，是乘了$100$，因此被除数$12.6$也要乘$100$：$12.6×100=1260$；
3. 算式$0.193÷3.2=( )÷32$中，除数$3.2$变为$32$，是乘了$10$，因此被除数$0.193$也要乘$10$：$0.193×10=1.93$；
4. 算式$9.52÷0.14=( )÷14$中，除数$0.14$变为$14$，是乘了$100$，因此被除数$9.52$也要乘$100$：$9.52×100=952$。
【答案】
248.5；1260；1.93；952
【知识点】
商不变性质；除数是小数的除法转化
【点评】
本题是小数除法的基础题型，重点考查商不变性质的实际应用，是后续正确计算小数除法的前提。解题时只要准确判断除数扩大的倍数，对应移动被除数的小数点即可，注意若被除数位数不够时要补0占位。
【难度系数】
0.9
本题考查商不变性质在小数除法转化中的应用，解题思路如下：①回忆商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；②观察每组算式等号两侧的除数，计算出除数扩大到原来的多少倍；③将对应算式的被除数也扩大相同的倍数，就能得到括号里要填的数。
【解析】
我们根据商不变规律逐个计算：
1. 算式$24.85÷0.4=( )÷4$中，除数$0.4$变为$4$，是乘了$10$，因此被除数$24.85$也要乘$10$：$24.85×10=248.5$；
2. 算式$12.6÷0.58=( )÷58$中，除数$0.58$变为$58$，是乘了$100$，因此被除数$12.6$也要乘$100$：$12.6×100=1260$；
3. 算式$0.193÷3.2=( )÷32$中，除数$3.2$变为$32$，是乘了$10$，因此被除数$0.193$也要乘$10$：$0.193×10=1.93$；
4. 算式$9.52÷0.14=( )÷14$中，除数$0.14$变为$14$，是乘了$100$，因此被除数$9.52$也要乘$100$：$9.52×100=952$。
【答案】
248.5；1260；1.93；952
【知识点】
商不变性质；除数是小数的除法转化
【点评】
本题是小数除法的基础题型，重点考查商不变性质的实际应用，是后续正确计算小数除法的前提。解题时只要准确判断除数扩大的倍数，对应移动被除数的小数点即可，注意若被除数位数不够时要补0占位。
【难度系数】
0.9
（2）根据$245÷49=5$，在下面的括号里填适当的数。
$2450÷(\ \ \ \ \ )=5$
$24.5÷4.9=(\ \ \ \ \ )$
$(\ \ \ \ \ )÷0.49=5$
$0.245÷0.049=(\ \ \ \ \ )$
$2450÷(\ \ \ \ \ )=5$
$24.5÷4.9=(\ \ \ \ \ )$
$(\ \ \ \ \ )÷0.49=5$
$0.245÷0.049=(\ \ \ \ \ )$
答案
3.(2) 490 5 2.45 5
解析
【分析】
本题可利用商不变的规律解题，核心思路是：当商不变时，被除数和除数需要同时乘或除以同一个不为0的数。我们将每个待求算式和已知的$245÷49=5$对比，观察被除数或除数的缩放变化，再按规律推导对应的未知量即可。
【解析】
已知$245÷49=5$，根据商不变规律逐一计算：
1. 算式$2450÷( )=5$：被除数从245变为2450，相当于乘10，要使商不变，除数49也应乘10，即$49×10=490$，括号填490。
2. 算式$24.5÷4.9=( )$：被除数245变为24.5是除以10，除数49变为4.9也是除以10，二者缩放倍数相同，商不变，所以结果是5。
3. 算式$( )÷0.49=5$：除数49变为0.49是除以100，要使商不变，被除数245也应除以100，即$245÷100=2.45$，括号填2.45。
4. 算式$0.245÷0.049=( )$：被除数245变为0.245是除以1000，除数49变为0.049也是除以1000，二者缩放倍数相同，商不变，所以结果是5。
【答案】
490；5；2.45；5
【知识点】
商不变的规律；小数点移动规律
【点评】
本题属于商不变规律的基础应用题型，只要掌握被除数、除数的缩放和商的变化关系，结合小数点移动的计算规则就能快速得出结果，是除法性质的常规考查题。
【难度系数】
0.85
本题可利用商不变的规律解题，核心思路是：当商不变时，被除数和除数需要同时乘或除以同一个不为0的数。我们将每个待求算式和已知的$245÷49=5$对比，观察被除数或除数的缩放变化，再按规律推导对应的未知量即可。
【解析】
已知$245÷49=5$，根据商不变规律逐一计算：
1. 算式$2450÷( )=5$：被除数从245变为2450，相当于乘10，要使商不变，除数49也应乘10，即$49×10=490$，括号填490。
2. 算式$24.5÷4.9=( )$：被除数245变为24.5是除以10，除数49变为4.9也是除以10，二者缩放倍数相同，商不变，所以结果是5。
3. 算式$( )÷0.49=5$：除数49变为0.49是除以100，要使商不变，被除数245也应除以100，即$245÷100=2.45$，括号填2.45。
4. 算式$0.245÷0.049=( )$：被除数245变为0.245是除以1000，除数49变为0.049也是除以1000，二者缩放倍数相同，商不变，所以结果是5。
【答案】
490；5；2.45；5
【知识点】
商不变的规律；小数点移动规律
【点评】
本题属于商不变规律的基础应用题型，只要掌握被除数、除数的缩放和商的变化关系，结合小数点移动的计算规则就能快速得出结果，是除法性质的常规考查题。
【难度系数】
0.85
(1) $m÷0.2=?÷(0.2+0.2)(m$不为$0)$，算式中的“?”可以是(
A.$m$
B.$0.2$
C.$m+0.2$
D.$m×2$
D
)。A.$m$
B.$0.2$
C.$m+0.2$
D.$m×2$
答案
4.(1) D 解析:根据题意可知，$m÷0.2=?÷(0.2+0.2)=(m×2)÷(0.2×2)$。
解析
【分析】
解题时我们可以利用商不变的规律来推导，首先先计算等式右侧的除数：0.2+0.2=0.4，对比左侧的除数0.2，可发现右侧除数是左侧除数的2倍，即除数乘了2。根据商不变的规律，要让等式两边的商相等，被除数也要和除数乘相同的非0数，由此就能算出“?”代表的数值。
【解析】
第一步：计算等式右侧的除数：$0.2+0.2=0.4$
第二步：对比左右除数的变化：$0.4÷0.2=2$，即右侧除数是左侧除数的2倍，相当于左侧除数乘2得到右侧除数。
第三步：根据商不变的规律，被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。因此左侧的被除数m也要同时乘2，才能保证等式两边商相等，即$?=m×2$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
商不变的规律，四则运算计算
【点评】
本题重点考查商不变规律的实际应用，解题核心是先明确除数的变化倍数，再对应推导被除数需要做出的变化，属于运算规律的基础应用题型，熟练掌握相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以利用商不变的规律来推导，首先先计算等式右侧的除数：0.2+0.2=0.4，对比左侧的除数0.2，可发现右侧除数是左侧除数的2倍，即除数乘了2。根据商不变的规律，要让等式两边的商相等，被除数也要和除数乘相同的非0数，由此就能算出“?”代表的数值。
【解析】
第一步：计算等式右侧的除数：$0.2+0.2=0.4$
第二步：对比左右除数的变化：$0.4÷0.2=2$，即右侧除数是左侧除数的2倍，相当于左侧除数乘2得到右侧除数。
第三步：根据商不变的规律，被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。因此左侧的被除数m也要同时乘2，才能保证等式两边商相等，即$?=m×2$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
商不变的规律，四则运算计算
【点评】
本题重点考查商不变规律的实际应用，解题核心是先明确除数的变化倍数，再对应推导被除数需要做出的变化，属于运算规律的基础应用题型，熟练掌握相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(2)若$a×0.9=b÷0.9(a,b$均不为0),则a与b的大小关系是(
A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.无法确定
A
)。A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.无法确定
答案
4.(2) A
解析
【分析】
我们可以通过两种思路解题：思路一：先把等式中的除法转化为乘法，再根据“积相等时，一个因数越小，另一个因数越大”的规律比较a和b的大小；思路二：用假设法，给等式的结果设定一个固定数值，分别计算出a、b的具体值后再比较大小，这种方法更直观易懂。
【解析】
方法1：转化法
先把等式中的除法改写成乘法：除以0.9等于乘$\frac{10}{9}$，所以原式变为$a×0.9 = b×\frac{10}{9}$。
因为$0.9 ＜ \frac{10}{9}$，当两个乘法算式的积相等时，较小的因数对应的另一个因数更大，所以$a ＞ b$。
方法2：假设法
假设$a×0.9 = b÷0.9 = 1$
计算a的值：$a = 1÷0.9 ≈1.11$
计算b的值：$b = 1×0.9 = 0.9$
因为$1.11＞0.9$，所以$a＞b$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 小数乘除运算
2. 积与因数的关系
3. 数的大小比较
【点评】
本题考察对小数乘除法规律的理解与运用，采用假设法解题可以降低思考难度，减少判断失误，是解决这类等式比较问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
我们可以通过两种思路解题：思路一：先把等式中的除法转化为乘法，再根据“积相等时，一个因数越小，另一个因数越大”的规律比较a和b的大小；思路二：用假设法，给等式的结果设定一个固定数值，分别计算出a、b的具体值后再比较大小，这种方法更直观易懂。
【解析】
方法1：转化法
先把等式中的除法改写成乘法：除以0.9等于乘$\frac{10}{9}$，所以原式变为$a×0.9 = b×\frac{10}{9}$。
因为$0.9 ＜ \frac{10}{9}$，当两个乘法算式的积相等时，较小的因数对应的另一个因数更大，所以$a ＞ b$。
方法2：假设法
假设$a×0.9 = b÷0.9 = 1$
计算a的值：$a = 1÷0.9 ≈1.11$
计算b的值：$b = 1×0.9 = 0.9$
因为$1.11＞0.9$，所以$a＞b$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 小数乘除运算
2. 积与因数的关系
3. 数的大小比较
【点评】
本题考察对小数乘除法规律的理解与运用，采用假设法解题可以降低思考难度，减少判断失误，是解决这类等式比较问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
三、用估算解决问题
5. 新情境生活应用 聪聪想用300元零花钱买一些印有中国结元素的纪念品（购物清单如图所示）。他是这样算的：$7×4 + 82 + 94×2 = 298$（元），$298 ＜ 300$，所以300元够。聪聪的计算方法合理吗？请说明理由。
5. 新情境生活应用 聪聪想用300元零花钱买一些印有中国结元素的纪念品（购物清单如图所示）。他是这样算的：$7×4 + 82 + 94×2 = 298$（元），$298 ＜ 300$，所以300元够。聪聪的计算方法合理吗？请说明理由。
答案
5. 不合理 理由:解决买东西钱够不够的问题时，应把物品的价钱往大了估。(合理即可)
解析
【分析】
要判断聪聪的计算方法是否合理，首先要明确购物时估算钱够不够的原则：为了保证带的钱足够支付，估算总花费时应该把物品单价往大了估，这样如果估算出的总钱数仍小于带的钱，才能确定钱够用。聪聪估算时把所有物品的单价都往小了估，算出来的总花费比实际总花费更少，此时就算结果小于300元，也不能保证实际花费不超过300元，因此他的估算方法不符合这类问题的要求。
【解析】
首先分析聪聪的估算方式：
1. 书签实际单价为7.8元/个，聪聪估为7元/个，估算值小于实际值；
2. 画册实际单价为82.6元/本，聪聪估为82元/本，估算值小于实际值；
3. 挂饰实际单价为94.8元/个，聪聪估为94元/个，估算值小于实际值。
所有物品的单价都被往小估算，因此计算出的总费用298元是低于实际总费用的，此时无法证明实际总费用小于300元，所以聪聪的计算方法不合理。
【答案】
不合理 理由:解决买东西钱够不够的问题时，应把物品的价钱往大了估。
【知识点】
估算的实际应用，购物估算策略
【点评】
本题结合生活购物场景，考查估算方法在实际问题中的合理选择，需要结合具体的问题场景判断估算的方向，避免因估算方向错误得出错误结论。
【难度系数】
0.7
要判断聪聪的计算方法是否合理，首先要明确购物时估算钱够不够的原则：为了保证带的钱足够支付，估算总花费时应该把物品单价往大了估，这样如果估算出的总钱数仍小于带的钱，才能确定钱够用。聪聪估算时把所有物品的单价都往小了估，算出来的总花费比实际总花费更少，此时就算结果小于300元，也不能保证实际花费不超过300元，因此他的估算方法不符合这类问题的要求。
【解析】
首先分析聪聪的估算方式：
1. 书签实际单价为7.8元/个，聪聪估为7元/个，估算值小于实际值；
2. 画册实际单价为82.6元/本，聪聪估为82元/本，估算值小于实际值；
3. 挂饰实际单价为94.8元/个，聪聪估为94元/个，估算值小于实际值。
所有物品的单价都被往小估算，因此计算出的总费用298元是低于实际总费用的，此时无法证明实际总费用小于300元，所以聪聪的计算方法不合理。
【答案】
不合理 理由:解决买东西钱够不够的问题时，应把物品的价钱往大了估。
【知识点】
估算的实际应用，购物估算策略
【点评】
本题结合生活购物场景，考查估算方法在实际问题中的合理选择，需要结合具体的问题场景判断估算的方向，避免因估算方向错误得出错误结论。
【难度系数】
0.7
6. 估一估，直线上点A表示算式(
A.$20×0.6$
B.$20×1.06$
C.$20÷0.06$
D.$20÷1.06$
A
)的结果，点B表示算式(D
)的结果。A.$20×0.6$
B.$20×1.06$
C.$20÷0.06$
D.$20÷1.06$
答案
6. A D
解析
【分析】
首先观察数轴可知：点A在0和20之间，位置比0到20的中点（10）稍靠右，数值比10大一些、远小于20；点B在20左侧，非常接近20，数值略小于20。解题时先利用小数乘除法中积与因数、商与除数的大小关系，排除结果大于20的选项，再估算剩余选项的数值，匹配数轴上点的位置即可。
【解析】
先明确小数乘除的大小规律：一个不为0的数乘小于1的数，积小于原数；乘大于1的数，积大于原数。一个不为0的数除以小于1的非0数，商大于原数；除以大于1的数，商小于原数。
逐个分析选项：
1. 选项A：$20×0.6$，因为$0.6＜1$，所以结果小于20，计算得$20×0.6=12$，12在0和20之间、比10稍大，符合点A的位置。
2. 选项B：$20×1.06$，因为$1.06＞1$，所以结果大于20，在20的右侧，不符合数轴上A、B的位置。
3. 选项C：$20÷0.06$，因为$0.06＜1$，所以结果远大于20，不符合要求。
4. 选项D：$20÷1.06$，因为$1.06＞1$，所以结果小于20，且1.06仅比1大一点，所以结果仅略小于20，符合点B的位置。
因此点A对应算式A的结果，点B对应算式D的结果。
【答案】
A；D
【知识点】
积商变化规律，小数乘除估算，数轴认识
【点评】
本题结合数轴考查小数乘除法规律的应用，不需要精确计算所有结果，先利用积商的大小规律排除错误选项，再估算数值匹配位置即可，能帮助学生掌握灵活估算的解题方法。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可知：点A在0和20之间，位置比0到20的中点（10）稍靠右，数值比10大一些、远小于20；点B在20左侧，非常接近20，数值略小于20。解题时先利用小数乘除法中积与因数、商与除数的大小关系，排除结果大于20的选项，再估算剩余选项的数值，匹配数轴上点的位置即可。
【解析】
先明确小数乘除的大小规律：一个不为0的数乘小于1的数，积小于原数；乘大于1的数，积大于原数。一个不为0的数除以小于1的非0数，商大于原数；除以大于1的数，商小于原数。
逐个分析选项：
1. 选项A：$20×0.6$，因为$0.6＜1$，所以结果小于20，计算得$20×0.6=12$，12在0和20之间、比10稍大，符合点A的位置。
2. 选项B：$20×1.06$，因为$1.06＞1$，所以结果大于20，在20的右侧，不符合数轴上A、B的位置。
3. 选项C：$20÷0.06$，因为$0.06＜1$，所以结果远大于20，不符合要求。
4. 选项D：$20÷1.06$，因为$1.06＞1$，所以结果小于20，且1.06仅比1大一点，所以结果仅略小于20，符合点B的位置。
因此点A对应算式A的结果，点B对应算式D的结果。
【答案】
A；D
【知识点】
积商变化规律，小数乘除估算，数轴认识
【点评】
本题结合数轴考查小数乘除法规律的应用，不需要精确计算所有结果，先利用积商的大小规律排除错误选项，再估算数值匹配位置即可，能帮助学生掌握灵活估算的解题方法。
【难度系数】
0.7
7. 新情境 地域美食 洪蓝玉带糕是南京市溧水区的传统特色糕类小吃，其主要原料是糯米粉。每块玉带糕需糯米粉75克，王叔叔从超市买回一袋净含量4.9千克的糯米粉，王叔叔最多可以做多少块玉带糕？如果每12块装一盒，那么装完这些玉带糕最少需要多少个包装盒？上面这两个问题，分别用(
A.“进一”法和“去尾”法
B.“去尾”法和“进一”法
C.“进一”法和“进一”法
D.“去尾”法和“去尾”法
B
)取近似值比较合适。A.“进一”法和“去尾”法
B.“去尾”法和“进一”法
C.“进一”法和“进一”法
D.“去尾”法和“去尾”法
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先要明确“去尾法”和“进一法”的适用场景：去尾法是指不管小数部分是多少，都直接舍去取整数，适用于剩余材料不足以完成1个完整成品的情况；进一法是指不管小数部分是多少，都要向整数部分进1取数，适用于剩余物品也需要容器装载的情况。第一步先统一单位，再分别计算做糕的数量、需要的包装盒数，结合实际场景判断取近似值的方法即可。
【解析】
首先统一单位：$4.9$千克$=4900$克
1. 计算最多可以做的玉带糕数量：
$4900÷75\approx65.33$（块）
剩余的糯米粉不够做1块完整的玉带糕，因此要舍去小数部分，用去尾法取近似值，最多做65块。
2. 计算最少需要的包装盒数量：
$65÷12\approx5.42$（个）
5个盒子只能装60块，剩下的5块也需要1个盒子盛放，因此要向整数部分进1，用进一法取近似值，最少需要6个盒子。
因此两个问题分别用去尾法和进一法，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
去尾法，进一法，除法实际应用
【点评】
本题结合生活中的实际场景，考查对取近似值的不同方法的理解与应用，解题时要注意结合实际情况判断取近似值的方法，不能盲目使用四舍五入法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确“去尾法”和“进一法”的适用场景：去尾法是指不管小数部分是多少，都直接舍去取整数，适用于剩余材料不足以完成1个完整成品的情况；进一法是指不管小数部分是多少，都要向整数部分进1取数，适用于剩余物品也需要容器装载的情况。第一步先统一单位，再分别计算做糕的数量、需要的包装盒数，结合实际场景判断取近似值的方法即可。
【解析】
首先统一单位：$4.9$千克$=4900$克
1. 计算最多可以做的玉带糕数量：
$4900÷75\approx65.33$（块）
剩余的糯米粉不够做1块完整的玉带糕，因此要舍去小数部分，用去尾法取近似值，最多做65块。
2. 计算最少需要的包装盒数量：
$65÷12\approx5.42$（个）
5个盒子只能装60块，剩下的5块也需要1个盒子盛放，因此要向整数部分进1，用进一法取近似值，最少需要6个盒子。
因此两个问题分别用去尾法和进一法，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
去尾法，进一法，除法实际应用
【点评】
本题结合生活中的实际场景，考查对取近似值的不同方法的理解与应用，解题时要注意结合实际情况判断取近似值的方法，不能盲目使用四舍五入法。
【难度系数】
0.8
