登录
【例1】用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图1所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是“
图1 
图2 
图3
SSS
”。图1 图2 图3答案
SSS
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，从操作中提取相等的边的条件，再结合三角形全等的判定定理推导角相等的依据。首先，作图时会在∠AOB的两边OA、OB上截取等长线段，得到一组相等的边；再通过画弧得到的交点到两个截取点的距离相等，得到第二组相等的边；最后角平分线的作图辅助线OC是公共边，得到第三组相等的边。三边对应相等可判定三角形全等，全等三角形对应角相等，即可推出∠AOC=∠BOC。
【解析】
由尺规作角平分线的步骤可得：
1. 作图时在OA、OB上分别截取OD=OE；
2. 分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}$DE的长为半径画弧，两弧交于点C，因此DC=EC；
3. OC是△ODC和△OEC的公共边，故OC=OC。
△ODC和△OEC三边对应相等，根据SSS（边边边）全等判定定理，可证△ODC≌△OEC，由全等三角形对应角相等，可得∠AOC=∠BOC，因此依据为SSS。
【答案】
SSS
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. SSS全等判定
3. 全等三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题关键是熟悉角平分线的作图步骤，能从操作过程中提取出相等的边的条件，属于基础知识点考查题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，从操作中提取相等的边的条件，再结合三角形全等的判定定理推导角相等的依据。首先，作图时会在∠AOB的两边OA、OB上截取等长线段，得到一组相等的边；再通过画弧得到的交点到两个截取点的距离相等，得到第二组相等的边；最后角平分线的作图辅助线OC是公共边，得到第三组相等的边。三边对应相等可判定三角形全等，全等三角形对应角相等，即可推出∠AOC=∠BOC。
【解析】
由尺规作角平分线的步骤可得：
1. 作图时在OA、OB上分别截取OD=OE；
2. 分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}$DE的长为半径画弧，两弧交于点C，因此DC=EC；
3. OC是△ODC和△OEC的公共边，故OC=OC。
△ODC和△OEC三边对应相等，根据SSS（边边边）全等判定定理，可证△ODC≌△OEC，由全等三角形对应角相等，可得∠AOC=∠BOC，因此依据为SSS。
【答案】
SSS
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. SSS全等判定
3. 全等三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题关键是熟悉角平分线的作图步骤，能从操作过程中提取出相等的边的条件，属于基础知识点考查题型。
【难度系数】
0.8
练习1.如图，在△ABC中，∠C=90°，用直尺与圆规作∠BAC的平分线。
答案
作图结果如图1所示
解析
【分析】
要作∠BAC的平分线，可利用构造全等三角形的思路完成作图：首先在角的两条边AB、AC上截取等长线段，得到两个到点A距离相等的交点；再找到一个同时到这两个交点距离相等的点，根据SSS全等判定原理，连接该点与点A的射线即可将∠BAC分为两个相等的角，也就是所求的角平分线，作图时要注意保留所有作图痕迹。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点A为圆心，选取小于AC、AB长度的适当长为半径画弧，分别交AC于点F，交AB于点E；
2. 分别以点E、F为圆心，选取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点G；
3. 过点A、G作射线AG，交BC于点D，射线AD即为所求的∠BAC的平分线。
【答案】
【知识点】
角平分线尺规作图，SSS全等判定
【点评】
本题属于基础的尺规作图题，考查对角平分线尺规作图步骤的掌握，作图时需注意两次画弧的半径选择，第二次画弧的半径必须大于$\frac{1}{2}EF$，作图完成后要保留全部作图痕迹。
【难度系数】
0.9
要作∠BAC的平分线，可利用构造全等三角形的思路完成作图：首先在角的两条边AB、AC上截取等长线段，得到两个到点A距离相等的交点；再找到一个同时到这两个交点距离相等的点，根据SSS全等判定原理，连接该点与点A的射线即可将∠BAC分为两个相等的角，也就是所求的角平分线，作图时要注意保留所有作图痕迹。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点A为圆心，选取小于AC、AB长度的适当长为半径画弧，分别交AC于点F，交AB于点E；
2. 分别以点E、F为圆心，选取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点G；
3. 过点A、G作射线AG，交BC于点D，射线AD即为所求的∠BAC的平分线。
【答案】
【知识点】
角平分线尺规作图，SSS全等判定
【点评】
本题属于基础的尺规作图题，考查对角平分线尺规作图步骤的掌握，作图时需注意两次画弧的半径选择，第二次画弧的半径必须大于$\frac{1}{2}EF$，作图完成后要保留全部作图痕迹。
【难度系数】
0.9
练习2.如图3，已知直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线（用尺规作图）。
答案
作图结果如图2所示
解析
【分析】
要过直线$ l $上的点$ A $作$ l $的垂线，我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质来推导作图思路：首先在直线$ l $上点$ A $的两侧截取两条等长线段，得到两个到$ A $距离相等的点，再以这两个点为圆心作弧得到交点，该交点和$ A $的连线就是等腰三角形底边上的高，也就是我们要作的垂线。思考逻辑如下：第一步先确定$ l $上$ A $两侧的等距点，保证后续构造的图形是等腰三角形，且$ A $为底边中点；第二步作弧找交点，保证交点到两个等距点的距离相等，即构成等腰三角形的顶点；第三步连接交点与$ A $，即可得到所求垂线。
【解析】
具体作图步骤：
1. 以点$ A $为圆心，取任意适当长度为半径画弧，交直线$ l $于点$ A $左侧的点$ M $和右侧的点$ N $，此时$ AM=AN $；
2. 分别以点$ M $、$ N $为圆心，取大于$ \frac{1}{2}MN $的长度为半径画弧，两弧在直线$ l $的上方交于点$ P $；
3. 过点$ A $、$ P $作直线，直线$ AP $即为所求的过点$ A $且垂直于直线$ l $的直线。
【答案】
【知识点】
尺规作图，等腰三角形三线合一，垂线的作法
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考查过直线上一点作已知直线垂线的标准操作，需要熟练掌握作图步骤，理解每一步操作对应的几何原理，为后续复杂的尺规作图打好基础。
【难度系数】
0.9
要过直线$ l $上的点$ A $作$ l $的垂线，我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质来推导作图思路：首先在直线$ l $上点$ A $的两侧截取两条等长线段，得到两个到$ A $距离相等的点，再以这两个点为圆心作弧得到交点，该交点和$ A $的连线就是等腰三角形底边上的高，也就是我们要作的垂线。思考逻辑如下：第一步先确定$ l $上$ A $两侧的等距点，保证后续构造的图形是等腰三角形，且$ A $为底边中点；第二步作弧找交点，保证交点到两个等距点的距离相等，即构成等腰三角形的顶点；第三步连接交点与$ A $，即可得到所求垂线。
【解析】
具体作图步骤：
1. 以点$ A $为圆心，取任意适当长度为半径画弧，交直线$ l $于点$ A $左侧的点$ M $和右侧的点$ N $，此时$ AM=AN $；
2. 分别以点$ M $、$ N $为圆心，取大于$ \frac{1}{2}MN $的长度为半径画弧，两弧在直线$ l $的上方交于点$ P $；
3. 过点$ A $、$ P $作直线，直线$ AP $即为所求的过点$ A $且垂直于直线$ l $的直线。
【答案】
【知识点】
尺规作图，等腰三角形三线合一，垂线的作法
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考查过直线上一点作已知直线垂线的标准操作，需要熟练掌握作图步骤，理解每一步操作对应的几何原理，为后续复杂的尺规作图打好基础。
【难度系数】
0.9
练习3.(教材P50T1变式)用圆规与直尺作图:如图4,在MN上找一点P,使P到直线AB和射线OC的距离相等,其中点O在AB上.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
提示:作∠AOC或∠BOC的角平分线,与MN的交点即为所求，作图结果如图3所示
解析
【分析】
要找到同时满足两个条件的点P：①点P在MN上；②点P到直线AB和射线OC的距离相等。根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到AB、OC距离相等的点都在AB与OC所夹角的角平分线上。我们只需要作出∠AOC或者∠BOC的角平分线，该角平分线与MN的交点就是同时满足两个条件的点P。
【解析】
根据角平分线的判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
1. 选择AB与OC形成的其中一个角（∠AOC或∠BOC），用尺规作出该角的角平分线；
2. 找到所作角平分线与直线MN的交点，该交点即为所求的点P，保留作图过程中的弧线痕迹即可。
【答案】
作∠AOC或∠BOC的角平分线，与MN的交点即为所求，作图结果如图所示
【知识点】
角平分线的性质与判定；尺规作角平分线
【点评】
本题是角平分线相关的基础作图题，核心是将“点到两边距离相等”的条件转化为作对应角的角平分线，再结合点所在直线的要求找交点，需要熟练掌握角平分线的相关性质和尺规作图方法。
【难度系数】
0.8
要找到同时满足两个条件的点P：①点P在MN上；②点P到直线AB和射线OC的距离相等。根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到AB、OC距离相等的点都在AB与OC所夹角的角平分线上。我们只需要作出∠AOC或者∠BOC的角平分线，该角平分线与MN的交点就是同时满足两个条件的点P。
【解析】
根据角平分线的判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
1. 选择AB与OC形成的其中一个角（∠AOC或∠BOC），用尺规作出该角的角平分线；
2. 找到所作角平分线与直线MN的交点，该交点即为所求的点P，保留作图过程中的弧线痕迹即可。
【答案】
作∠AOC或∠BOC的角平分线，与MN的交点即为所求，作图结果如图所示
【知识点】
角平分线的性质与判定；尺规作角平分线
【点评】
本题是角平分线相关的基础作图题，核心是将“点到两边距离相等”的条件转化为作对应角的角平分线，再结合点所在直线的要求找交点，需要熟练掌握角平分线的相关性质和尺规作图方法。
【难度系数】
0.8
【例2】如图5，∠B=∠D=90°，根据角平分线性质填空：
(1)若∠1=∠2，则
(1)若∠1=∠2，则
BC
=DC
；(2)若∠3=∠4，则AB
=AD
。答案
(1)BC DC (2)AB AD
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的距离指的是点到边的垂线段长度。首先由已知∠B=∠D=90°，可得AB⊥BC、AD⊥DC，满足“垂线段”的要求。接下来：
(1)若∠1=∠2，说明AC是∠BAD的角平分线，角平分线上的点是点C，找C到∠BAD两边AB、AD的垂线段，即可得相等线段；
(2)若∠3=∠4，说明AC是∠BCD的角平分线，角平分线上的点是点A，找A到∠BCD两边BC、CD的垂线段，即可得相等线段。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知∠B=∠D=90°，因此AB⊥BC，AD⊥DC，垂线段AB、BC、AD、DC分别为对应点到角两边的距离。
(1) 若∠1=∠2，则AC平分∠BAD，点C在∠BAD的角平分线上，点C到AB的距离为BC，到AD的距离为DC，因此BC=DC。
(2) 若∠3=∠4，则AC平分∠BCD，点A在∠BCD的角平分线上，点A到BC的距离为AB，到CD的距离为AD，因此AB=AD。
【答案】
(1)BC，DC；(2)AB，AD
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 垂直的定义
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别角平分线对应的角、角平分线上的点，以及该点到角两边的垂线段，避免混淆对应线段即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的距离指的是点到边的垂线段长度。首先由已知∠B=∠D=90°，可得AB⊥BC、AD⊥DC，满足“垂线段”的要求。接下来：
(1)若∠1=∠2，说明AC是∠BAD的角平分线，角平分线上的点是点C，找C到∠BAD两边AB、AD的垂线段，即可得相等线段；
(2)若∠3=∠4，说明AC是∠BCD的角平分线，角平分线上的点是点A，找A到∠BCD两边BC、CD的垂线段，即可得相等线段。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知∠B=∠D=90°，因此AB⊥BC，AD⊥DC，垂线段AB、BC、AD、DC分别为对应点到角两边的距离。
(1) 若∠1=∠2，则AC平分∠BAD，点C在∠BAD的角平分线上，点C到AB的距离为BC，到AD的距离为DC，因此BC=DC。
(2) 若∠3=∠4，则AC平分∠BCD，点A在∠BCD的角平分线上，点A到BC的距离为AB，到CD的距离为AD，因此AB=AD。
【答案】
(1)BC，DC；(2)AB，AD
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 垂直的定义
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别角平分线对应的角、角平分线上的点，以及该点到角两边的垂线段，避免混淆对应线段即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
练习1.(教材题变式)如图6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于D,BC=8cm,BD=5cm,AB=10cm,那么$S_{△ BAD}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
15
解析
【分析】
要求△BAD的面积，已知AB的边长，只需要求出AB边上对应的高即可。结合AD是角平分线的条件，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，先求出点D到AB的距离。首先计算CD的长度，再通过角平分线性质得到D到AB的距离等于CD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ BC=8cm，BD=5cm，
∴ CD=BC - BD = 8 - 5 = 3cm，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE=CD=3cm，
∴ $S_{△ BAD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15 \mathrm{cm}^2$。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过作辅助线构造出点到直线的距离，结合角平分线性质快速求出三角形的高，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要求△BAD的面积，已知AB的边长，只需要求出AB边上对应的高即可。结合AD是角平分线的条件，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，先求出点D到AB的距离。首先计算CD的长度，再通过角平分线性质得到D到AB的距离等于CD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ BC=8cm，BD=5cm，
∴ CD=BC - BD = 8 - 5 = 3cm，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE=CD=3cm，
∴ $S_{△ BAD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15 \mathrm{cm}^2$。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过作辅助线构造出点到直线的距离，结合角平分线性质快速求出三角形的高，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
练习2.如图7,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$O$为$△ ABC$角平分线的交点,三边分别为6,8,10,则$S_{△ AOB}=$.
答案
10
解析
【分析】
首先，O是△ABC角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到三角形三边的距离相等，我们将这个距离设为r。要求△AOB的面积，已知斜边AB的长为10，只需要求出r的值即可。我们可以利用大三角形的面积等于三个以O为顶点、分别以原三角形三边为底的小三角形的面积和，通过等积法计算出r，再代入△AOB的面积公式就能得到结果。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的总面积
∵∠ACB=90°，两条直角边长分别为6、8
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$
2. 求点O到三边的距离r
∵O是三角形角平分线的交点，根据角平分线的性质，O到△ABC三边的距离相等，均为r
∵大三角形面积等于三个小三角形的面积之和
∴$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}$
代入三角形面积公式可得：
$24=\frac{1}{2}×AB×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AC×r=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)×r$
∵△ABC的周长为$6+8+10=24$
∴$24=\frac{1}{2}×24×r$，解得$r=2$
3. 计算$S_{△AOB}$
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×AB×r=\frac{1}{2}×10×2=10$
【答案】
10
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等积法应用
【点评】
本题主要考查角平分线性质的灵活运用，通过等积法求出角平分线交点到各边的距离是解题的关键，解题时需要理清整体面积和局部面积的关系，熟练掌握三角形面积的不同计算方法。
【难度系数】
0.7
首先，O是△ABC角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到三角形三边的距离相等，我们将这个距离设为r。要求△AOB的面积，已知斜边AB的长为10，只需要求出r的值即可。我们可以利用大三角形的面积等于三个以O为顶点、分别以原三角形三边为底的小三角形的面积和，通过等积法计算出r，再代入△AOB的面积公式就能得到结果。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的总面积
∵∠ACB=90°，两条直角边长分别为6、8
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$
2. 求点O到三边的距离r
∵O是三角形角平分线的交点，根据角平分线的性质，O到△ABC三边的距离相等，均为r
∵大三角形面积等于三个小三角形的面积之和
∴$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}$
代入三角形面积公式可得：
$24=\frac{1}{2}×AB×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AC×r=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)×r$
∵△ABC的周长为$6+8+10=24$
∴$24=\frac{1}{2}×24×r$，解得$r=2$
3. 计算$S_{△AOB}$
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×AB×r=\frac{1}{2}×10×2=10$
【答案】
10
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等积法应用
【点评】
本题主要考查角平分线性质的灵活运用，通过等积法求出角平分线交点到各边的距离是解题的关键，解题时需要理清整体面积和局部面积的关系，熟练掌握三角形面积的不同计算方法。
【难度系数】
0.7
练习3.(教材P52T1)如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,$DE⊥ AB$于E,$DF⊥ AC$于F,D是BC的中点,求证:$BE=CF$.
答案
证明:
∵AD平分∠BAC，
DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF，
∵D是BC中点,
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases}BD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF.
∵AD平分∠BAC，
DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF，
∵D是BC中点,
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases}BD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF.
解析
【分析】
要证明线段BE=CF，可通过证明二者所在的Rt△BDE和Rt△CDF全等来推导。首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合AD是∠BAC的平分线、DE⊥AB、DF⊥AC的条件，可得到DE=DF；再由D是BC中点得到BD=CD，此时两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，可通过HL定理判定两直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到BE=CF的结论。
【解析】
证明:
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases}BD=CD\\DE=DF\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF。
【答案】
BE=CF
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是将待证的线段相等转化为证明对应三角形全等，解题的关键是熟练运用角平分线的性质得到相等的垂线段，再结合已知条件判定直角三角形全等，属于全等三角形应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.85
要证明线段BE=CF，可通过证明二者所在的Rt△BDE和Rt△CDF全等来推导。首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合AD是∠BAC的平分线、DE⊥AB、DF⊥AC的条件，可得到DE=DF；再由D是BC中点得到BD=CD，此时两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，可通过HL定理判定两直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到BE=CF的结论。
【解析】
证明:
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases}BD=CD\\DE=DF\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF。
【答案】
BE=CF
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是将待证的线段相等转化为证明对应三角形全等，解题的关键是熟练运用角平分线的性质得到相等的垂线段，再结合已知条件判定直角三角形全等，属于全等三角形应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.85
