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2. 如图7-10,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为
(
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
(
D
)A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
2. D
解析
【分析】
首先观察图形特征：直尺的两组对边互相平行，三角板的直角为90°。解题思路如下：第一步利用平行线的性质，得到与∠1相等的同位角；第二步结合平角为180°的性质，可推出∠1与∠2的和等于90°，最后代入∠1的度数即可求出∠2的大小。
【解析】
解：
∵直尺的上下两条对边互相平行，
∴与∠1同位的角和∠1相等，大小为65°，
又
∵平角的度数为180°，三角板的直角为90°，
∴∠1 + ∠2 + 90° = 180°，
即∠1 + ∠2 = 90°，
已知∠1=65°，
∴∠2 = 90° - 65° = 25°。
【答案】
D
【知识点】
1.平行线的性质 2.角度和差计算
【点评】
本题属于相交线与平行线的基础题型，结合了直尺、三角板的常见几何模型，解题的关键是找到平行线带来的等角关系，结合特殊角的度数即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征：直尺的两组对边互相平行，三角板的直角为90°。解题思路如下：第一步利用平行线的性质，得到与∠1相等的同位角；第二步结合平角为180°的性质，可推出∠1与∠2的和等于90°，最后代入∠1的度数即可求出∠2的大小。
【解析】
解：
∵直尺的上下两条对边互相平行，
∴与∠1同位的角和∠1相等，大小为65°，
又
∵平角的度数为180°，三角板的直角为90°，
∴∠1 + ∠2 + 90° = 180°，
即∠1 + ∠2 = 90°，
已知∠1=65°，
∴∠2 = 90° - 65° = 25°。
【答案】
D
【知识点】
1.平行线的性质 2.角度和差计算
【点评】
本题属于相交线与平行线的基础题型，结合了直尺、三角板的常见几何模型，解题的关键是找到平行线带来的等角关系，结合特殊角的度数即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
3. 已知直线 $a // b$, 把一块含有 $30°$ 角的直角三角板如图 7-11 放置, $∠ 1 = 30°$,三角板的斜边所在直线交 $b$ 于点 $A$, 则 $∠ 2$的度数为
$(\quad)$
图 7-11
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
$(\quad)$
图 7-11
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形特征，已知直线$a// b$，直角三角板的直角顶点在直线$a$上，$∠1=30°$。我们可以先利用直角三角形两锐角互余的性质求出$∠ ABC$的度数，再根据平行线同位角相等的性质，得到$∠2$和$∠ ABC$的等量关系，进而求出$∠2$的度数。
第一步：回忆直角三角形性质，直角的两个锐角和为$90°$，用$90°$减去已知的$∠1$即可得到$∠ ABC$的度数；第二步：回忆平行线性质，两直线平行同位角相等，$∠2$和$∠ ABC$是同位角，二者相等，即可得出$∠2$的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠1=30°$
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ ABC=90°-∠1=90°-30°=60°$
又$\because a// b$，
根据两直线平行，同位角相等，可得：
$∠2=∠ ABC=60°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角板的特性和平行线的性质结合考察，只要熟练掌握相关性质，找准角度之间的对应关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形特征，已知直线$a// b$，直角三角板的直角顶点在直线$a$上，$∠1=30°$。我们可以先利用直角三角形两锐角互余的性质求出$∠ ABC$的度数，再根据平行线同位角相等的性质，得到$∠2$和$∠ ABC$的等量关系，进而求出$∠2$的度数。
第一步：回忆直角三角形性质，直角的两个锐角和为$90°$，用$90°$减去已知的$∠1$即可得到$∠ ABC$的度数；第二步：回忆平行线性质，两直线平行同位角相等，$∠2$和$∠ ABC$是同位角，二者相等，即可得出$∠2$的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠1=30°$
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ ABC=90°-∠1=90°-30°=60°$
又$\because a// b$，
根据两直线平行，同位角相等，可得：
$∠2=∠ ABC=60°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角板的特性和平行线的性质结合考察，只要熟练掌握相关性质，找准角度之间的对应关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 将一个长方形纸片折叠成如图7-12所示的图形,若$∠ABC = 26°$,则$∠ACD$的度数为
图7-12
(
A.$128°$
B.$138°$
C.$120°$
D.$150°$
图7-12
(
A
)A.$128°$
B.$138°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
4. A
解析
【分析】
遇到长方形折叠的角度计算问题，首先回忆折叠的核心性质：折叠前后重合的角大小相等。本题中∠ABC折叠后对应的重合角也为26°，其次观察图形可知，这两个26°的角与∠ACD共同组成一个平角（180°），结合平角的度数即可列式计算出∠ACD的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得与∠ABC重合的角的度数也为26°。
∵ 折叠前长方形的上边为直线，即该边对应的角为平角180°，
∴ $2∠ ABC + ∠ ACD = 180°$，
将$∠ ABC=26°$代入得：
$∠ ACD = 180° - 2×26° = 180° - 52° = 128°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、平行线的性质
【点评】
本题是相交线与平行线板块的常见折叠类题型，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，找到图形中隐含的平角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到长方形折叠的角度计算问题，首先回忆折叠的核心性质：折叠前后重合的角大小相等。本题中∠ABC折叠后对应的重合角也为26°，其次观察图形可知，这两个26°的角与∠ACD共同组成一个平角（180°），结合平角的度数即可列式计算出∠ACD的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得与∠ABC重合的角的度数也为26°。
∵ 折叠前长方形的上边为直线，即该边对应的角为平角180°，
∴ $2∠ ABC + ∠ ACD = 180°$，
将$∠ ABC=26°$代入得：
$∠ ACD = 180° - 2×26° = 180° - 52° = 128°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、平行线的性质
【点评】
本题是相交线与平行线板块的常见折叠类题型，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，找到图形中隐含的平角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图 7-13，$AB// CD$，AD 平分$∠ BAC$，$∠ 1=30°$，则$∠ 2$的度数为（
图7-13
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
）图7-13
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：①首先利用AB//CD的平行关系，根据平行线内错角相等的性质，得到∠BAD和∠1的度数相等，先求出∠BAD的度数；②再结合AD平分∠BAC的条件，根据角平分线的定义，可知∠2和∠BAD的度数相等；③最后通过等量代换就能得出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠BAD = ∠1 = 30°，
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，
∴∠2 = ∠BAD，
∴∠2 = 30°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题属于相交线与平行线模块的基础题型，解题核心是熟练掌握平行线性质和角平分线定义，准确梳理角之间的等量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件逐步推导：①首先利用AB//CD的平行关系，根据平行线内错角相等的性质，得到∠BAD和∠1的度数相等，先求出∠BAD的度数；②再结合AD平分∠BAC的条件，根据角平分线的定义，可知∠2和∠BAD的度数相等；③最后通过等量代换就能得出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠BAD = ∠1 = 30°，
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，
∴∠2 = ∠BAD，
∴∠2 = 30°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题属于相交线与平行线模块的基础题型，解题核心是熟练掌握平行线性质和角平分线定义，准确梳理角之间的等量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
6. 如图7-14,已知$AB// DE$,$∠ ABC=70°$,$∠ CDE=140°$,则$∠ BCD$的度数为
(
图7-14
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$70°$
(
B
)图7-14
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$70°$
答案
6. B
解析
【分析】
已知AB//DE，直接无法通过现有边构造平行线的角度关系，因此考虑过点C作CF//AB，利用平行公理的推论可得CF也平行于DE，再结合平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，分别求出与∠BCD相关的两个角的度数，作差即可得到∠BCD的度数。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵AB//DE，CF//AB，
∴CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//CF，∠ABC=70°，
∴∠BCF=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等）。
∵CF//DE，∠CDE=140°，
∴∠CDE+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
解得∠DCF=180°-140°=40°，
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70°-40°=30°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线角度计算的常见题型，核心解题思路是当两组平行线无公共截线时，通过作平行辅助线构造三线八角模型，将已知角和未知角建立联系即可求解。
【难度系数】
0.7
已知AB//DE，直接无法通过现有边构造平行线的角度关系，因此考虑过点C作CF//AB，利用平行公理的推论可得CF也平行于DE，再结合平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，分别求出与∠BCD相关的两个角的度数，作差即可得到∠BCD的度数。
【解析】
过点C作CF//AB，
∵AB//DE，CF//AB，
∴CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//CF，∠ABC=70°，
∴∠BCF=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等）。
∵CF//DE，∠CDE=140°，
∴∠CDE+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
解得∠DCF=180°-140°=40°，
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70°-40°=30°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线角度计算的常见题型，核心解题思路是当两组平行线无公共截线时，通过作平行辅助线构造三线八角模型，将已知角和未知角建立联系即可求解。
【难度系数】
0.7
四、平行线的性质与判定的综合运用
1. 如图 7-15, $AC // DF$, $B,E$ 分别是 $AC,DF$ 上的点,连接 $BD,CE$,若 $∠ 1=80°$, $∠ 2=100°$,求证: $∠ C = ∠ D$.
1. 如图 7-15, $AC // DF$, $B,E$ 分别是 $AC,DF$ 上的点,连接 $BD,CE$,若 $∠ 1=80°$, $∠ 2=100°$,求证: $∠ C = ∠ D$.
答案
1. $\because ∠ 1=80°, ∠ 2=100°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°. \therefore BD// CE$.
$\therefore ∠ D=∠ CEF$.
$\because AC// DF, \therefore ∠ C=∠ CEF$.
$\therefore ∠ C=∠ D$.
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°. \therefore BD// CE$.
$\therefore ∠ D=∠ CEF$.
$\because AC// DF, \therefore ∠ C=∠ CEF$.
$\therefore ∠ C=∠ D$.
解析
【分析】
要证明∠C=∠D，可通过平行线的性质找中间等量角代换推导。首先观察已知的∠1和∠2的度数，先计算两角之和，若和为180°，可依据平行线判定定理得到BD与CE的平行关系，进而得到∠D与某个中间角相等；再结合已知的AC//DF的条件，得到∠C和同一个中间角相等，最后通过等量代换即可证明待证结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ 1=80°, ∠ 2=100°$（已知），
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore BD// CE$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠ D=∠ CEF$（两直线平行，同位角相等），
$\because AC// DF$（已知），
$\therefore ∠ C=∠ CEF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ C=∠ D$（等量代换）。
【答案】
$\because ∠ 1=80°, ∠ 2=100°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°. \therefore BD// CE$.
$\therefore ∠ D=∠ CEF$.
$\because AC// DF, \therefore ∠ C=∠ CEF$.
$\therefore ∠ C=∠ D$.
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题时需要灵活切换平行线的判定逻辑（由角的数量关系推线的位置关系）和性质逻辑（由线的位置关系推角的数量关系），找准中间等量角是解题的关键，能够锻炼基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠C=∠D，可通过平行线的性质找中间等量角代换推导。首先观察已知的∠1和∠2的度数，先计算两角之和，若和为180°，可依据平行线判定定理得到BD与CE的平行关系，进而得到∠D与某个中间角相等；再结合已知的AC//DF的条件，得到∠C和同一个中间角相等，最后通过等量代换即可证明待证结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ 1=80°, ∠ 2=100°$（已知），
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore BD// CE$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠ D=∠ CEF$（两直线平行，同位角相等），
$\because AC// DF$（已知），
$\therefore ∠ C=∠ CEF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ C=∠ D$（等量代换）。
【答案】
$\because ∠ 1=80°, ∠ 2=100°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°. \therefore BD// CE$.
$\therefore ∠ D=∠ CEF$.
$\because AC// DF, \therefore ∠ C=∠ CEF$.
$\therefore ∠ C=∠ D$.
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题时需要灵活切换平行线的判定逻辑（由角的数量关系推线的位置关系）和性质逻辑（由线的位置关系推角的数量关系），找准中间等量角是解题的关键，能够锻炼基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
