登录
五、解决问题。
16. 手工劳动课上，芳芳拿出一张长 24 厘米、宽 18 厘米的长方形纸，要把它全部裁成同样大的正方形且没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？
16. 手工劳动课上，芳芳拿出一张长 24 厘米、宽 18 厘米的长方形纸，要把它全部裁成同样大的正方形且没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？
答案
(24,18)=6
(24÷6)×(18÷6)=12(个)
答：裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。
(24÷6)×(18÷6)=12(个)
答：裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：裁出的正方形边长必须同时是长方形长和宽的因数，这样才能保证裁剪后没有剩余。而要求边长最大的正方形，本质就是求长方形长24厘米和宽18厘米的最大公因数。找到最大边长后，用长方形的长和宽分别除以这个最大边长，得到每行和每列能裁出的正方形个数，两者相乘就是总共可以裁出的正方形数量。
【解析】
1. 求24和18的最大公因数：
通过短除法计算，先将24和18同时除以公因数2，得到12和9；再将12和9同时除以公因数3，得到4和3，此时4和3互质，所以24和18的最大公因数是2×3=6，即裁出的正方形边长最大是6厘米。
2. 计算可以裁出的正方形个数：
长方形的长能裁出的正方形个数：$24÷6=4$（个）
长方形的宽能裁出的正方形个数：$18÷6=3$（个）
总共可以裁出的正方形个数：$4×3=12$（个）
答：裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。
【答案】
裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。
【知识点】
最大公因数的应用、图形裁剪问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是理解“裁出同样大的正方形且无剩余”的条件对应长和宽的公因数，最大边长即为最大公因数，通过这道题能锻炼学生将数学概念与实际问题结合的能力，提升解决实际问题的思维。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确：裁出的正方形边长必须同时是长方形长和宽的因数，这样才能保证裁剪后没有剩余。而要求边长最大的正方形，本质就是求长方形长24厘米和宽18厘米的最大公因数。找到最大边长后，用长方形的长和宽分别除以这个最大边长，得到每行和每列能裁出的正方形个数，两者相乘就是总共可以裁出的正方形数量。
【解析】
1. 求24和18的最大公因数：
通过短除法计算，先将24和18同时除以公因数2，得到12和9；再将12和9同时除以公因数3，得到4和3，此时4和3互质，所以24和18的最大公因数是2×3=6，即裁出的正方形边长最大是6厘米。
2. 计算可以裁出的正方形个数：
长方形的长能裁出的正方形个数：$24÷6=4$（个）
长方形的宽能裁出的正方形个数：$18÷6=3$（个）
总共可以裁出的正方形个数：$4×3=12$（个）
答：裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。
【答案】
裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。
【知识点】
最大公因数的应用、图形裁剪问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是理解“裁出同样大的正方形且无剩余”的条件对应长和宽的公因数，最大边长即为最大公因数，通过这道题能锻炼学生将数学概念与实际问题结合的能力，提升解决实际问题的思维。
【难度系数】
0.7
17. 下面有两箱单价相同的苹果，较重的那箱比较轻的那箱贵 6.4 元，每千克苹果多少元？(列方程解答)
答案
解：设每千克苹果x元。
$ \begin{aligned}15x-11x&=6.4\\4x&=6.4\\x&=1.6\end{aligned}$
答：每千克苹果1.6元。
$ \begin{aligned}15x-11x&=6.4\\4x&=6.4\\x&=1.6\end{aligned}$
答：每千克苹果1.6元。
解析
【分析】
首先明确题目中的等量关系：较重那箱苹果的总价 - 较轻那箱苹果的总价 = 6.4元。已知两箱苹果单价相同，设每千克苹果x元，根据“总价=单价×数量”，分别表示出15千克苹果的总价为15x元，11千克苹果的总价为11x元，再代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每千克苹果x元。
$ \begin{aligned}15x-11x&=6.4\\4x&=6.4\\x&=1.6\end{aligned}$
答：每千克苹果1.6元。
【答案】
每千克苹果1.6元
【知识点】
列方程解应用题，总价、单价、数量的关系
【点评】
本题主要考查一元一次方程的实际应用，解题关键是准确找到“两箱苹果的总价差为6.4元”这一等量关系，利用总价、单价、数量的基本公式构建方程，属于基础应用题，注重对数量关系的理解与运用。
【难度系数】
0.8
首先明确题目中的等量关系：较重那箱苹果的总价 - 较轻那箱苹果的总价 = 6.4元。已知两箱苹果单价相同，设每千克苹果x元，根据“总价=单价×数量”，分别表示出15千克苹果的总价为15x元，11千克苹果的总价为11x元，再代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每千克苹果x元。
$ \begin{aligned}15x-11x&=6.4\\4x&=6.4\\x&=1.6\end{aligned}$
答：每千克苹果1.6元。
【答案】
每千克苹果1.6元
【知识点】
列方程解应用题，总价、单价、数量的关系
【点评】
本题主要考查一元一次方程的实际应用，解题关键是准确找到“两箱苹果的总价差为6.4元”这一等量关系，利用总价、单价、数量的基本公式构建方程，属于基础应用题，注重对数量关系的理解与运用。
【难度系数】
0.8
18. 学校组织植树活动，五年级去的人数是四年级的 1.2 倍。若从五年级调 10 人到四年级，则两个年级的人数一样多。原来两个年级各去了多少人？(列方程解答)
答案
解：设四年级去了$x$人。
$ \begin{aligned}1.2x-10&=x+10\\1.2x-x&=10+10\\0.2x&=20\\x&=100\end{aligned}$
$ 1.2x=1.2×100=120$
$ $答：四年级去了$100$人，五年级去了$120$人。
$ \begin{aligned}1.2x-10&=x+10\\1.2x-x&=10+10\\0.2x&=20\\x&=100\end{aligned}$
$ 1.2x=1.2×100=120$
$ $答：四年级去了$100$人，五年级去了$120$人。
解析
【分析】
首先，我们需要明确题目中的等量关系来构建方程。题目给出两个核心条件：一是五年级人数是四年级的1.2倍，二是从五年级调10人到四年级后，两个年级人数相等。我们可以把四年级去的人数设为未知数$ x $，那么五年级人数就能表示为$ 1.2x $。调人后，五年级人数变为$ 1.2x - 10 $，四年级人数变为$ x + 10 $，此时两者人数相等，这就是列方程的关键依据。接下来通过解方程求出$ x $的值（即四年级人数），再根据倍数关系计算出五年级的人数。
【解析】
解：设四年级去了$ x $人，则五年级去了$ 1.2x $人。
根据调人后两个年级人数相等，可列方程：
$\begin{aligned}1.2x - 10 &= x + 10\\1.2x - x &= 10 + 10\\0.2x &= 20\\x &= 100\end{aligned}$
五年级人数：$ 1.2x = 1.2×100 = 120 $（人）
答：四年级去了100人，五年级去了120人。
【答案】
四年级去了100人，五年级去了120人。
【知识点】
列方程解应用题、小数解方程
【点评】
本题重点考查列方程解应用题的能力，解题关键是准确抓住“调人后两个年级人数相等”这一等量关系，通过设未知数将两个年级的人数用含未知数的式子表示，进而列出方程求解，锻炼学生分析实际问题、构建数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要明确题目中的等量关系来构建方程。题目给出两个核心条件：一是五年级人数是四年级的1.2倍，二是从五年级调10人到四年级后，两个年级人数相等。我们可以把四年级去的人数设为未知数$ x $，那么五年级人数就能表示为$ 1.2x $。调人后，五年级人数变为$ 1.2x - 10 $，四年级人数变为$ x + 10 $，此时两者人数相等，这就是列方程的关键依据。接下来通过解方程求出$ x $的值（即四年级人数），再根据倍数关系计算出五年级的人数。
【解析】
解：设四年级去了$ x $人，则五年级去了$ 1.2x $人。
根据调人后两个年级人数相等，可列方程：
$\begin{aligned}1.2x - 10 &= x + 10\\1.2x - x &= 10 + 10\\0.2x &= 20\\x &= 100\end{aligned}$
五年级人数：$ 1.2x = 1.2×100 = 120 $（人）
答：四年级去了100人，五年级去了120人。
【答案】
四年级去了100人，五年级去了120人。
【知识点】
列方程解应用题、小数解方程
【点评】
本题重点考查列方程解应用题的能力，解题关键是准确抓住“调人后两个年级人数相等”这一等量关系，通过设未知数将两个年级的人数用含未知数的式子表示，进而列出方程求解，锻炼学生分析实际问题、构建数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
19. 学校有《科技天地》《故事大王》《历史故事》三种书各 60 本，借出一部分后，《故事大王》还剩 $\frac{3}{5}$，《科技天地》还剩 $\frac{2}{3}$，《历史故事》还剩 $\frac{5}{6}$。哪种书借出最多？
答案
$\frac{5}{6}＞\frac{2}{3}＞\frac{3}{5}$
答：《故事大王》借出最多。
答：《故事大王》借出最多。
解析
【分析】
因为三种书原本的数量相同，都是60本，所以借出数量的多少与剩下数量的多少成反比，即剩下的比例越小，借出的数量就越多。因此我们需要先比较三种书剩下的分数$\frac{3}{5}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{6}$的大小，找出最小的剩下比例，对应的书就是借出最多的。
【解析】
步骤1：通分比较三个分数的大小。先找分母5、3、6的最小公倍数为30。
$\frac{3}{5}=\frac{3×6}{5×6}=\frac{18}{30}$
$\frac{2}{3}=\frac{2×10}{3×10}=\frac{20}{30}$
$\frac{5}{6}=\frac{5×5}{6×5}=\frac{25}{30}$
步骤2：比较通分后的分数大小：$\frac{25}{30}＞\frac{20}{30}＞\frac{18}{30}$，即$\frac{5}{6}＞\frac{2}{3}＞\frac{3}{5}$。
步骤3：因为《故事大王》剩下的比例最小，所以它借出的数量最多。
【答案】
$\frac{5}{6}＞\frac{2}{3}＞\frac{3}{5}$
答：《故事大王》借出最多。
【知识点】
异分母分数比较大小，分数通分
【点评】
本题考查异分母分数的大小比较，核心思路是抓住“总量相同，剩下越少则借出越多”的逻辑关系，通过通分将异分母分数转化为同分母分数后比较大小，既巩固了分数通分的知识，也培养了学生运用数学逻辑解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
因为三种书原本的数量相同，都是60本，所以借出数量的多少与剩下数量的多少成反比，即剩下的比例越小，借出的数量就越多。因此我们需要先比较三种书剩下的分数$\frac{3}{5}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{6}$的大小，找出最小的剩下比例，对应的书就是借出最多的。
【解析】
步骤1：通分比较三个分数的大小。先找分母5、3、6的最小公倍数为30。
$\frac{3}{5}=\frac{3×6}{5×6}=\frac{18}{30}$
$\frac{2}{3}=\frac{2×10}{3×10}=\frac{20}{30}$
$\frac{5}{6}=\frac{5×5}{6×5}=\frac{25}{30}$
步骤2：比较通分后的分数大小：$\frac{25}{30}＞\frac{20}{30}＞\frac{18}{30}$，即$\frac{5}{6}＞\frac{2}{3}＞\frac{3}{5}$。
步骤3：因为《故事大王》剩下的比例最小，所以它借出的数量最多。
【答案】
$\frac{5}{6}＞\frac{2}{3}＞\frac{3}{5}$
答：《故事大王》借出最多。
【知识点】
异分母分数比较大小，分数通分
【点评】
本题考查异分母分数的大小比较，核心思路是抓住“总量相同，剩下越少则借出越多”的逻辑关系，通过通分将异分母分数转化为同分母分数后比较大小，既巩固了分数通分的知识，也培养了学生运用数学逻辑解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
20. 李阿姨按以下规则给自己的手机设置了四位数的锁屏密码。她的锁屏密码是多少？
第一个数是 2 和 3 的最小公倍数；
第二个数既是质数又是偶数；
第三个数是 3 的倍数且是质数；
第四个数是 9 的因数且是合数。
第一个数是 2 和 3 的最小公倍数；
第二个数既是质数又是偶数；
第三个数是 3 的倍数且是质数；
第四个数是 9 的因数且是合数。
答案
答：李阿姨的锁屏密码是 6239
解析
【分析】
要确定四位数锁屏密码，需根据每个数位的条件逐一推导：
1. 第一个数：先回忆互质数最小公倍数的求法，2和3是互质数，互质数的最小公倍数为两数乘积，据此计算；
2. 第二个数：结合质数（只有1和自身两个因数的数）和偶数（能被2整除的数）的定义，找出同时满足的数；
3. 第三个数：先列举3的倍数，再从其中筛选出质数，质数中仅3本身是3的倍数；
4. 第四个数：先找出9的所有因数，再从因数里筛选出合数（除了1和自身还有其他因数的数），确定符合条件的数。
【解析】
1. 计算第一个数：2和3互质，它们的最小公倍数是$2×3=6$；
2. 确定第二个数：既是质数又是偶数的数只有2；
3. 确定第三个数：3的倍数里是质数的只有3；
4. 确定第四个数：9的因数有1、3、9，其中是合数的是9；
将四个数依次组合，得到锁屏密码为6239。
【答案】
6239
【知识点】
最小公倍数、质数与合数、因数与倍数
【点评】
本题考查数论基础概念的综合应用，需要准确掌握最小公倍数、质数、合数、因数、偶数的定义，通过逐个分析数位条件即可得出结果，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
要确定四位数锁屏密码，需根据每个数位的条件逐一推导：
1. 第一个数：先回忆互质数最小公倍数的求法，2和3是互质数，互质数的最小公倍数为两数乘积，据此计算；
2. 第二个数：结合质数（只有1和自身两个因数的数）和偶数（能被2整除的数）的定义，找出同时满足的数；
3. 第三个数：先列举3的倍数，再从其中筛选出质数，质数中仅3本身是3的倍数；
4. 第四个数：先找出9的所有因数，再从因数里筛选出合数（除了1和自身还有其他因数的数），确定符合条件的数。
【解析】
1. 计算第一个数：2和3互质，它们的最小公倍数是$2×3=6$；
2. 确定第二个数：既是质数又是偶数的数只有2；
3. 确定第三个数：3的倍数里是质数的只有3；
4. 确定第四个数：9的因数有1、3、9，其中是合数的是9；
将四个数依次组合，得到锁屏密码为6239。
【答案】
6239
【知识点】
最小公倍数、质数与合数、因数与倍数
【点评】
本题考查数论基础概念的综合应用，需要准确掌握最小公倍数、质数、合数、因数、偶数的定义，通过逐个分析数位条件即可得出结果，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
21. 《九章算术》中有一个“盈不足”问题：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
大概意思是：有一些人共同买一个物品，若每人出 8 元，则盈余 3 元；若每人出 7 元，则还差 4 元。请问一共有多少人？这个物品的价格是多少元？(列方程解答)
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
大概意思是：有一些人共同买一个物品，若每人出 8 元，则盈余 3 元；若每人出 7 元，则还差 4 元。请问一共有多少人？这个物品的价格是多少元？(列方程解答)
答案
解：设一共有$x$人。
$ \begin{aligned}8x-3&=7x+4\\8x-7x&=4+3\\x&=7\end{aligned}$
$ 8x-3=8×7-3=53$
$ $答：一共有$7$人，这个物品的价格是$53$元。
$ \begin{aligned}8x-3&=7x+4\\8x-7x&=4+3\\x&=7\end{aligned}$
$ 8x-3=8×7-3=53$
$ $答：一共有$7$人，这个物品的价格是$53$元。
解析
【分析】
这是一道经典的盈亏问题，解题关键是抓住“人数”和“物品价格”这两个不变量。我们可以先设人数为未知数$x$，根据两种不同的出钱方式来表示物品价格：每人出8元盈余3元，那么物品价格就是$8x$减去盈余的3元；每人出7元不足4元，物品价格就是$7x$加上还差的4元。由于物品价格是固定的，所以这两个表达式相等，据此列出方程求解即可。
【解析】
设一共有$ x $人。
根据物品价格不变可列方程：
$\begin{aligned}8x - 3 &= 7x + 4\\8x - 7x &= 4 + 3\\x &= 7\end{aligned}$
将$ x=7 $代入$ 8x - 3 $计算物品价格：
$ 8×7 - 3 = 56 - 3 = 53 $（元）
答：一共有7人，这个物品的价格是53元。
【答案】
一共有7人，这个物品的价格是53元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 盈亏问题
【点评】
本题源自《九章算术》中的经典盈不足问题，通过寻找等量关系（物品价格不变）建立一元一次方程求解，既考查了方程思想的运用，也让学生了解古代数学问题的解法，难度适中，适合巩固一元一次方程的应用知识。
【难度系数】
0.8
这是一道经典的盈亏问题，解题关键是抓住“人数”和“物品价格”这两个不变量。我们可以先设人数为未知数$x$，根据两种不同的出钱方式来表示物品价格：每人出8元盈余3元，那么物品价格就是$8x$减去盈余的3元；每人出7元不足4元，物品价格就是$7x$加上还差的4元。由于物品价格是固定的，所以这两个表达式相等，据此列出方程求解即可。
【解析】
设一共有$ x $人。
根据物品价格不变可列方程：
$\begin{aligned}8x - 3 &= 7x + 4\\8x - 7x &= 4 + 3\\x &= 7\end{aligned}$
将$ x=7 $代入$ 8x - 3 $计算物品价格：
$ 8×7 - 3 = 56 - 3 = 53 $（元）
答：一共有7人，这个物品的价格是53元。
【答案】
一共有7人，这个物品的价格是53元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 盈亏问题
【点评】
本题源自《九章算术》中的经典盈不足问题，通过寻找等量关系（物品价格不变）建立一元一次方程求解，既考查了方程思想的运用，也让学生了解古代数学问题的解法，难度适中，适合巩固一元一次方程的应用知识。
【难度系数】
0.8
