4. 如图,在$△ ABC$中,$BD=CD,∠ 1=∠ 2$. 求证:$AB=AC$.

4. 证明:如答图,延长 AD 至点 E,使 ED=AD,连接 BE.
在△ADC 和△EDB 中,$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ DC=DB, \end{cases}$
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,∠2=∠E.
∵∠1=∠2,
∴∠E=∠1,
∴AB=EB,
∴AB=AC.

5. 如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$的中点,$E$是$AD$上的一点,且$BE=AC$,延长$BE$交$AC$于点$F$.
求证:$2AF=BF-CF$.

5. 证明:如答图,延长 AD 到点 G,使 DG=AD,连接 BG.
∵D 是 BC 的中点,
∴BD=DC.
在△ACD 和△GBD 中,$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ADC=∠GDB, \\ AD=GD, \end{cases}$
∴△ACD≌△GBD(SAS),
∴∠CAD=∠G,AC=BG.
∵BE=AC,
∴BE=BG,
∴∠G=∠BEG.
∵∠BEG=∠AEF,
∴∠AEF=∠EAF,
∴EF=AF.
由 BE=AC,得 BF-EF=AF+CF,即 2AF=BF-CF.

6. (1) 如图①,在$△ ABC$中,若$AB=8,AC=6$,则$BC$边上的中线$AD$的取值范围是;
(2) 如图②,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$E$是$BC$的中点,若$AE$是$∠ BAD$的平分线,试猜想线段$AB$,$AD$,$DC$之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3) 如图③,已知$AB// CF$,$E$是$BC$的中点,点$D$在线段$AE$上,$∠ EDF=∠ BAE$,若$AB=5$,$CF=2$,求线段$DF$的长.

6. (1)1＜AD＜7
(2)解:AD=AB+DC.
证明:如答图①,延长 AE,DC 交于点 F.
∵E 是 BC 的中点,
∴BE=CE.
∵AB//CD,
∴∠BAF=∠F.
在△ABE 和△FCE 中,$\begin{cases} ∠AEB=∠FEC, \\ ∠BAE=∠F, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴CF=AB.
∵AE 是∠BAD 的平分线,
∴∠BAF=∠FAD,
∴∠FAD=∠F,
∴AD=DF.
∵DC+CF=DF,
∴DC+AB=AD.
(3)解:如答图②,延长 AE 交 CF 的延长线于点 G.
∵E 是 BC 的中点,
∴CE=BE.
∵AB//CF,
∴∠BAE=∠G.
在△AEB 和△GEC 中,$\begin{cases} ∠BAE=∠G, \\ ∠AEB=∠GEC, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴△AEB≌△GEC(AAS),
∴AB=GC.
∵∠EDF=∠BAE,
∴∠FDG=∠G,
∴FD=FG,
∴AB=GC=DF+CF.
∵AB=5,CF=2,
∴DF=AB-CF=3.