1. 如图,在$△ ABC$中,$BD$是$AC$边上的中线,$DB ⊥ BC$于点$B$,$∠ ABD=30^{ \circ }$.求证:$AB=2BC$.

1. 证明:如答图,延长 BD 到点 M,使 DM=BD,连接 AM.
∵DB⊥BC,
∴∠DBC=90°.
∵BD 是 AC 边上的中线,
∴AD=CD.
在△ADM 和△CDB 中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADM=∠CDB, \\ DM=DB, \end{cases}$
∴△ADM≌△CDB(SAS),
∴AM=BC,∠M=∠DBC=90°.
在Rt△ABM中,∠ABD=30°,
∴AB=2AM,
∴AB=2BC.

2. 如图,CE,CB 分别是$△ ABC$与$△ ADC$的中线,且$∠ ACB=∠ ABC$. 求证:$CD=2CE$.

2. 证明:如答图,延长 CE 到点 F,使 EF=EC,连接 BF,
∴CF=2CE.
∵CE 是△ABC 的中线,
∴AE=BE.
在△ACE 和△BFE 中,$\begin{cases} AE=BE, \\ ∠AEC=∠BEF, \\ CE=FE, \end{cases}$
∴△ACE≌△BFE(SAS),
∴AC=BF,∠A=∠ABF.
又∠ACB=∠ABC,CB 是△ADC 的中线,
∴AC=AB=BD=BF.
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC,
∴∠DBC=∠FBC.
在△DBC 和△FBC 中,$\begin{cases} DB=FB, \\ ∠DBC=∠FBC, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴△DBC≌△FBC(SAS),
∴CD=CF=2CE.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90^{ \circ }$,$AB=2$,$AD$是$△ ABC$的中线,$CE ⊥ BC$,$CE=4$,且$∠ ADE=$$90^{ \circ }$,求$AE$的长.

3. 解:如答图,延长 AD 交 EC 的延长线于点 F.
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=∠FCD=90°,
∴∠ABD=∠FCD.
∵AD 是△ABC 的中线,
∴BD=CD.
在△ABD 和△FCD 中,$\begin{cases} ∠ABD=∠FCD, \\ BD=CD, \\ ∠ADB=∠FDC, \end{cases}$
∴△ABD≌△FCD(ASA),
∴CF=AB=2,AD=DF.
∵∠ADE=90°,
∴AE=EF.
∵EF=CE+CF=4+2=6,
∴AE=6.