8. 如图,在以原点为圆心,2 为半径的$\odot O$上有一点$C$,$∠ COA=45^{\circ }$,则点$C$的坐标为.

8.$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

9. 如图,点 $B,E$ 在半圆 $O$ 上,四边形 $OABC$,四边形 $ODEF$ 均为矩形. 若 $AB=3,BC=4$,求 $DF$ 的长.

9.解:如答图,连接 OB,OE.

∵四边形 OABC 是矩形,
∴∠CBA=90°,OB=AC.
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5,
∴OB=AC=5,
∴OE=OB=5.
∵四边形 ODEF 为矩形,
∴DF=OE=5.

10. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ ABC,∠ ADC$ 均为直角,且 $AB=3,BC=4,AD=2.$
(1)求证:$A,B,C,D$ 四个点都在同一个圆上;
(2)求这个圆的半径,并计算它的面积.

10.(1)证明:如答图,取 AC 的中点 E,连接 DE,BE.
∵∠ABC,∠ADC 均为直角,
∴△ABC 和△ADC 均为直角三角形,
∴AE=BE=CE=DE,
∴A,B,C,D 四个点都在以点 E 为圆心的同一个圆上.

(2)解:在Rt△ABC中,AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=5,
∴该圆的半径 r 为 2.5,
∴S=πr²=6.25π.

11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ }$,$AB=3\ {cm}$,$AC=4\ {cm}$,$AD$是高线,$AE$是中线.
(1)以点$A$为圆心,$3\ {cm}$为半径作$\odot A$,则点$B$,$D$,$E$,$C$与$\odot A$的位置关系怎样?
(2)若以点$A$为圆心作$\odot A$,使$B$,$C$,$D$三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求$\odot A$的半径$r$的取值范围.

11.解:(1)
∵∠BAC=90°,AB=3 cm,AC=4 cm,
∴BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}$=5 cm.
∵$\frac{1}{2}AD·BC=\frac{1}{2}AB·AC$,
∴AD=$\frac{12}{5}$ cm.
∵AE 是中线,
∴AE=$\frac{1}{2}BC$=2.5 cm.
∵r=3 cm,
∴AB=r,AD＜r,AE＜r,AC＞r,
∴点 B 在⊙A 上,点 D 和点 E 在⊙A 内,点 C 在⊙A 外.
(2)⊙A 的半径 r 的取值范围为$\frac{12}{5}$ cm＜r＜4 cm.

12. 如图,点$A(2,0),M(0,1)$分别是$x$轴和$y$轴上的两点,$B$是以点$M$为圆心,$1$为半径的圆上的一个动点,连接$AB$,$C$是$AB$的中点,连接$OC$,求$OC$长度的最大值.

12.解:设点 D 是点 A 关于 y 轴的对称点,连接 DB.
∵OA=OD,AC=BC,
∴OC//BD,OC=$\frac{1}{2}$BD,
∴当 BD 取得最大值时,OC 的值最大.
当点 D,M,B 共线时,BD 的值最大,如答图.
∵A(2,0),M(0,1),
∴OA=2,OM=1,
∴OD=OA=2,MB=MO=1.
∵DM=$\sqrt{OD^2+OM^2}$=$\sqrt{2^2+1^2}$=$\sqrt{5}$,
∴BD=$\sqrt{5}$+1,
∴OC=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
即 OC 长度的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.