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1. 下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是 （
A.$a=7,b=24,c=25$
B.$a=1.5,b=2,c=2.5$
C.$a=\frac{2}{3},b=2,c=\frac{5}{4}$
D.$a=15,b=8,c=17$
C
）A.$a=7,b=24,c=25$
B.$a=1.5,b=2,c=2.5$
C.$a=\frac{2}{3},b=2,c=\frac{5}{4}$
D.$a=15,b=8,c=17$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一组数能否作为直角三角形的三边长，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，反之则不是。解题时先定位每组数中的最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：最长边为$c=25$，计算得$a^2+b^2=7^2+24^2=49+576=625$，$c^2=25^2=625$，满足$a^2+b^2=c^2$，可构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为$c=2.5$，计算得$a^2+b^2=1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$c^2=2.5^2=6.25$，满足$a^2+b^2=c^2$，可构成直角三角形，不符合题意；
C选项：先比较大小得$2＞\frac{5}{4}＞\frac{2}{3}$，最长边为$b=2$，计算得$a^2+c^2=(\frac{2}{3})^2+(\frac{5}{4})^2=\frac{4}{9}+\frac{25}{16}=\frac{289}{144}$，$b^2=2^2=4=\frac{576}{144}$，显然$\frac{289}{144}≠\frac{576}{144}$，不满足勾股逆定理，不能构成直角三角形，符合题意；
D选项：最长边为$c=17$，计算得$a^2+b^2=15^2+8^2=225+64=289$，$c^2=17^2=289$，满足$a^2+b^2=c^2$，可构成直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的关键是先明确最长边，再验证三边的平方关系，计算分数类边长的平方时要注意通分，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
要判断一组数能否作为直角三角形的三边长，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，反之则不是。解题时先定位每组数中的最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：最长边为$c=25$，计算得$a^2+b^2=7^2+24^2=49+576=625$，$c^2=25^2=625$，满足$a^2+b^2=c^2$，可构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为$c=2.5$，计算得$a^2+b^2=1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$c^2=2.5^2=6.25$，满足$a^2+b^2=c^2$，可构成直角三角形，不符合题意；
C选项：先比较大小得$2＞\frac{5}{4}＞\frac{2}{3}$，最长边为$b=2$，计算得$a^2+c^2=(\frac{2}{3})^2+(\frac{5}{4})^2=\frac{4}{9}+\frac{25}{16}=\frac{289}{144}$，$b^2=2^2=4=\frac{576}{144}$，显然$\frac{289}{144}≠\frac{576}{144}$，不满足勾股逆定理，不能构成直角三角形，符合题意；
D选项：最长边为$c=17$，计算得$a^2+b^2=15^2+8^2=225+64=289$，$c^2=17^2=289$，满足$a^2+b^2=c^2$，可构成直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的关键是先明确最长边，再验证三边的平方关系，计算分数类边长的平方时要注意通分，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
2.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边的长分别为5里，12里，13里，这块沙田的面积为 （
A.30平方里
B.32.5平方里
C.60平方里
D.65平方里
A
）A.30平方里
B.32.5平方里
C.60平方里
D.65平方里
答案
2.A
解析
【分析】
要计算三角形沙田的面积，首先可以根据给出的三条边长判断三角形的形状。我们学过勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。观察本题的三边5里、12里、13里，我们可以先计算验证它们是否满足勾股定理的逆定理，若满足，就可以用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）直接计算面积，过程非常简便。
【解析】
首先验证三边的平方关系：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且两条直角边长分别为5里、12里，斜边长为13里。
根据直角三角形面积公式可得：
面积 = $\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$（平方里）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学著作的内容出题，既渗透了数学文化，又考查了基础知识点的应用，解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算三角形沙田的面积，首先可以根据给出的三条边长判断三角形的形状。我们学过勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。观察本题的三边5里、12里、13里，我们可以先计算验证它们是否满足勾股定理的逆定理，若满足，就可以用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）直接计算面积，过程非常简便。
【解析】
首先验证三边的平方关系：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且两条直角边长分别为5里、12里，斜边长为13里。
根据直角三角形面积公式可得：
面积 = $\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$（平方里）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学著作的内容出题，既渗透了数学文化，又考查了基础知识点的应用，解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
3.若三角形的三边长从①9,12,15；②7,24,25；③$3^2,4^2,5^2$；④$1,\sqrt{3},2$中选取，则构成的是直角三角形的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.1个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.1个
答案
3.B
解析
【分析】
要判断给定的四组边长能否构成直角三角形，核心方法是运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时我们只需对每组边长逐一验证即可，注意第三组要先算出边长的具体数值再计算，避免直接混淆勾股数导致判断错误。
【解析】
我们根据勾股定理的逆定理逐组验证：
①组：三边长为9、12、15，最长边为15
计算得：$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，满足$9^2 + 12^2 = 15^2$，可以构成直角三角形；
②组：三边长为7、24、25，最长边为25
计算得：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，满足$7^2 + 24^2 = 25^2$，可以构成直角三角形；
③组：三边长为$3^2=9$、$4^2=16$、$5^2=25$，最长边为25
计算得：$9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，$25^2 = 625$，$337≠625$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
④组：三边长为1、$\sqrt{3}$、2，最长边为2
计算得：$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$2^2 = 4$，满足$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$，可以构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有①②④共3组，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；平方运算；根式运算
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题时要注意先确定每组的最长边再进行验证，第三组需要先计算出各边的实际数值，不要误认为是勾股数就直接判定为直角三角形，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
要判断给定的四组边长能否构成直角三角形，核心方法是运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时我们只需对每组边长逐一验证即可，注意第三组要先算出边长的具体数值再计算，避免直接混淆勾股数导致判断错误。
【解析】
我们根据勾股定理的逆定理逐组验证：
①组：三边长为9、12、15，最长边为15
计算得：$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，满足$9^2 + 12^2 = 15^2$，可以构成直角三角形；
②组：三边长为7、24、25，最长边为25
计算得：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，满足$7^2 + 24^2 = 25^2$，可以构成直角三角形；
③组：三边长为$3^2=9$、$4^2=16$、$5^2=25$，最长边为25
计算得：$9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，$25^2 = 625$，$337≠625$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
④组：三边长为1、$\sqrt{3}$、2，最长边为2
计算得：$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$2^2 = 4$，满足$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$，可以构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有①②④共3组，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；平方运算；根式运算
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题时要注意先确定每组的最长边再进行验证，第三组需要先计算出各边的实际数值，不要误认为是勾股数就直接判定为直角三角形，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
4.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别记为$a$，$b$，$c$，则下列结论中不正确的是（
A.如果$∠ A - ∠ B = ∠ C$，那么$△ ABC$是直角三角形
B.如果$a^2 = b^2 - c^2$，那么$△ ABC$是直角三角形且$∠ C = 90°$
C.如果$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1:3:2$，那么$△ ABC$是直角三角形
D.如果$a^2 : b^2 : c^2 = 9:16:25$，那么$△ ABC$是直角三角形
B
）A.如果$∠ A - ∠ B = ∠ C$，那么$△ ABC$是直角三角形
B.如果$a^2 = b^2 - c^2$，那么$△ ABC$是直角三角形且$∠ C = 90°$
C.如果$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1:3:2$，那么$△ ABC$是直角三角形
D.如果$a^2 : b^2 : c^2 = 9:16:25$，那么$△ ABC$是直角三角形
答案
4.B
解析
【分析】
这是一道直角三角形判定的选择题，解题时可逐一分析每个选项：涉及角度关系的用三角形内角和为180°推导是否存在90°角；涉及边长平方关系的用勾股定理的逆定理判断，同时注意边和对应角的对应关系，最终选出不正确的选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，可得$∠ A = ∠ B + ∠ C$。根据三角形内角和为$180°$，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，将$∠ B+∠ C$替换为$∠ A$，得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，A结论正确。
B选项：已知$a^2 = b^2 - c^2$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$。根据勾股定理的逆定理，此时斜边为$b$，斜边对应的角为直角，即$∠ B=90°$，不是$∠ C=90°$，因此B结论错误。
C选项：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:3:2$，设三个角分别为$x$、$3x$、$2x$，由内角和得$x+3x+2x=180°$，解得$x=30°$，最大角$∠ B=3x=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，C结论正确。
D选项：已知$a^2:b^2:c^2=9:16:25$，设$a^2=9k$，$b^2=16k$，$c^2=25k$（$k＞0$），可得$9k+16k=25k$，即$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，D结论正确。
综上，不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，一类是通过角度运算判断是否存在直角，另一类是通过三边平方关系利用勾股逆定理判断，解题时需注意勾股逆定理中斜边对应的角才是直角，避免混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.7
这是一道直角三角形判定的选择题，解题时可逐一分析每个选项：涉及角度关系的用三角形内角和为180°推导是否存在90°角；涉及边长平方关系的用勾股定理的逆定理判断，同时注意边和对应角的对应关系，最终选出不正确的选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，可得$∠ A = ∠ B + ∠ C$。根据三角形内角和为$180°$，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，将$∠ B+∠ C$替换为$∠ A$，得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，A结论正确。
B选项：已知$a^2 = b^2 - c^2$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$。根据勾股定理的逆定理，此时斜边为$b$，斜边对应的角为直角，即$∠ B=90°$，不是$∠ C=90°$，因此B结论错误。
C选项：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:3:2$，设三个角分别为$x$、$3x$、$2x$，由内角和得$x+3x+2x=180°$，解得$x=30°$，最大角$∠ B=3x=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，C结论正确。
D选项：已知$a^2:b^2:c^2=9:16:25$，设$a^2=9k$，$b^2=16k$，$c^2=25k$（$k＞0$），可得$9k+16k=25k$，即$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，D结论正确。
综上，不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，一类是通过角度运算判断是否存在直角，另一类是通过三边平方关系利用勾股逆定理判断，解题时需注意勾股逆定理中斜边对应的角才是直角，避免混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图，四边形ABCD是一块空地，已知AD=4，CD=3，∠D=90°，AB=13，BC=12，则这块空地的面积为（
A.6
B.78
C.24
D.26
C
）A.6
B.78
C.24
D.26
答案
5.C
解析
【分析】
求不规则四边形ABCD的面积，可采用割补法，先连接辅助线AC：第一步，△ADC是直角三角形，已知两条直角边AD、CD的长度，可通过勾股定理算出AC的长度；第二步，验证△ABC的三边长是否满足勾股定理的逆定理，判断其是否为直角三角形；第三步，用直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，即可得到空地的面积。
【解析】
连接AC：
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ D=90°$，$AD=4$，$CD=3$，根据勾股定理可得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，因此$AC=5$。
2. 在$△ ABC$中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，计算得：
$AC^2+BC^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 计算空地面积：
$S_{\mathrm{空地}}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$
因此$S_{\mathrm{空地}}=30-6=24$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关知识的典型应用，核心思路是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形的面积差求解，需要熟练掌握勾股定理及逆定理的应用场景，理解割补法求不规则图形面积的逻辑。
【难度系数】
0.7
求不规则四边形ABCD的面积，可采用割补法，先连接辅助线AC：第一步，△ADC是直角三角形，已知两条直角边AD、CD的长度，可通过勾股定理算出AC的长度；第二步，验证△ABC的三边长是否满足勾股定理的逆定理，判断其是否为直角三角形；第三步，用直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，即可得到空地的面积。
【解析】
连接AC：
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ D=90°$，$AD=4$，$CD=3$，根据勾股定理可得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，因此$AC=5$。
2. 在$△ ABC$中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，计算得：
$AC^2+BC^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 计算空地面积：
$S_{\mathrm{空地}}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$
因此$S_{\mathrm{空地}}=30-6=24$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关知识的典型应用，核心思路是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形的面积差求解，需要熟练掌握勾股定理及逆定理的应用场景，理解割补法求不规则图形面积的逻辑。
【难度系数】
0.7
