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1. (教材例题变式)已知正比例函数$y=kx(k≠0)$，当$x=1$时，$y=-2$，则这个正比例函数的表达式为
(
A.$y=2x$
B.$y=-2x$
C.$y=\frac{1}{2}x$
D.$y=-\frac{1}{2}x$
(
B
)A.$y=2x$
B.$y=-2x$
C.$y=\frac{1}{2}x$
D.$y=-\frac{1}{2}x$
答案
1. B
解析
【分析】
要确定正比例函数的表达式，核心是求出未知的比例系数k。题目已经给出了一组x与y的对应值，我们可以使用待定系数法，将这组对应值代入函数式，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后就能确定函数表达式，再匹配对应选项即可。
【解析】
已知正比例函数为$y=kx(k≠0)$，
将$x=1$，$y=-2$代入函数表达式，可得：
$-2 = k×1$，
解得$k=-2$，
因此该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求函数表达式的基础题型，主要考查待定系数法的基础应用，只要掌握将已知的自变量和函数值的对应关系代入解析式求解未知系数的方法，即可快速解题，是后续学习求一次函数表达式的必备基础。
【难度系数】
0.9
要确定正比例函数的表达式，核心是求出未知的比例系数k。题目已经给出了一组x与y的对应值，我们可以使用待定系数法，将这组对应值代入函数式，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后就能确定函数表达式，再匹配对应选项即可。
【解析】
已知正比例函数为$y=kx(k≠0)$，
将$x=1$，$y=-2$代入函数表达式，可得：
$-2 = k×1$，
解得$k=-2$，
因此该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求函数表达式的基础题型，主要考查待定系数法的基础应用，只要掌握将已知的自变量和函数值的对应关系代入解析式求解未知系数的方法，即可快速解题，是后续学习求一次函数表达式的必备基础。
【难度系数】
0.9
2. 已知一次函数$y=kx-5$，当$x=-2$时，$y=7$，则$k$的值是（
A.6
B.$-1$
C.$-6$
D.1
C
）A.6
B.$-1$
C.$-6$
D.1
答案
2. C
解析
【分析】
本题是已知一次函数的一组对应x、y值，求未知系数k的基础题。解题思路为：一次函数的表达式中，每一组符合函数关系的x、y值都满足表达式，因此可以把已知的x=-2、y=7直接代入函数表达式，得到只含k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算就能得到k的值。
【解析】
解：将x=-2，y=7代入一次函数$y=kx-5$中，可得：
$7 = -2k -5$
移项得：$-2k = 7 + 5$
合并同类项得：$-2k = 12$
系数化为1得：$k = -6$
因此k的值为-6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数代入求值
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，核心考察代入法的应用，计算时注意移项的符号变化即可快速做对。
【难度系数】
0.9
本题是已知一次函数的一组对应x、y值，求未知系数k的基础题。解题思路为：一次函数的表达式中，每一组符合函数关系的x、y值都满足表达式，因此可以把已知的x=-2、y=7直接代入函数表达式，得到只含k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算就能得到k的值。
【解析】
解：将x=-2，y=7代入一次函数$y=kx-5$中，可得：
$7 = -2k -5$
移项得：$-2k = 7 + 5$
合并同类项得：$-2k = 12$
系数化为1得：$k = -6$
因此k的值为-6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数代入求值
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，核心考察代入法的应用，计算时注意移项的符号变化即可快速做对。
【难度系数】
0.9
3. 若$y-1$与$2-x$成正比例,则下列说法正确的是（
A.$y$是$x$的一次函数
B.$y$是$x$的正比例函数
C.$y$是$x$的函数但不是正比例函数
D.$y$不是$x$的函数
A
）A.$y$是$x$的一次函数
B.$y$是$x$的正比例函数
C.$y$是$x$的函数但不是正比例函数
D.$y$不是$x$的函数
答案
3. A 解析:$\because y-1$与$2-x$成正比例,$\therefore$可设$y-1=k(2-x),\therefore y=-kx+2k+1,\therefore y$是$x$的一次函数.
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，回忆成正比例的定义：若两个量a、b成正比例，可表示为$a=kb$（$k$为常数，且$k\ne0$）；第二步，把题中$y-1$和$2-x$代入上述关系式，得到含参数$k$的等式；第三步，将等式整理为$y$关于$x$的形式，结合一次函数、正比例函数的定义逐一判断选项即可。需注意正比例函数是一次函数的特殊形式，仅当常数项为0时成立，本题中常数项不一定为0，因此只能确定为一次函数。
【解析】
$\because y-1$与$2-x$成正比例，
$\therefore$设$y-1=k(2-x)$（$k$为常数，且$k\ne0$），
整理等式得：$y=-kx+2k+1$，
根据一次函数定义：形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k\ne0$）的函数是一次函数，这里$-k\ne0$，因此$y$是$x$的一次函数。
仅当$2k+1=0$即$k=-\frac{1}{2}$时，$y$是$x$的正比例函数，因此$y$可能是正比例函数，也可能是普通一次函数，故B、C错误；对于每个确定的$x$值，都有唯一的$y$值对应，因此$y$是$x$的函数，D错误。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例关系定义，一次函数定义，正比例函数定义
【点评】
本题侧重考查函数相关概念的辨析，解题核心是先根据成正比例的条件列出关系式，再整理为标准函数形式判断，需要注意正比例函数是特殊的一次函数，不要混淆二者的包含关系。
【难度系数】
0.8
解题可按三步思考：第一步，回忆成正比例的定义：若两个量a、b成正比例，可表示为$a=kb$（$k$为常数，且$k\ne0$）；第二步，把题中$y-1$和$2-x$代入上述关系式，得到含参数$k$的等式；第三步，将等式整理为$y$关于$x$的形式，结合一次函数、正比例函数的定义逐一判断选项即可。需注意正比例函数是一次函数的特殊形式，仅当常数项为0时成立，本题中常数项不一定为0，因此只能确定为一次函数。
【解析】
$\because y-1$与$2-x$成正比例，
$\therefore$设$y-1=k(2-x)$（$k$为常数，且$k\ne0$），
整理等式得：$y=-kx+2k+1$，
根据一次函数定义：形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k\ne0$）的函数是一次函数，这里$-k\ne0$，因此$y$是$x$的一次函数。
仅当$2k+1=0$即$k=-\frac{1}{2}$时，$y$是$x$的正比例函数，因此$y$可能是正比例函数，也可能是普通一次函数，故B、C错误；对于每个确定的$x$值，都有唯一的$y$值对应，因此$y$是$x$的函数，D错误。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例关系定义，一次函数定义，正比例函数定义
【点评】
本题侧重考查函数相关概念的辨析，解题核心是先根据成正比例的条件列出关系式，再整理为标准函数形式判断，需要注意正比例函数是特殊的一次函数，不要混淆二者的包含关系。
【难度系数】
0.8
4. (1)已知$y$与$x^2$成正比例，当$x=-1$时，$y=2$，则当$y=6$时，$x=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
4.(1) $\pm\sqrt{3}$ 解析:$\because y$与$x^2$成正比例,$\therefore$设$y=kx^2(k≠0)$,把$x=-1,y=2$代入,得$2=k· (-1)^2$,解得$k=2$,则$y=2x^2$,$\therefore$当$y=6$时,$6=2x^2$,解得$x=\pm\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确正比例关系的定义：若两个量成正比例，可表示为因变量等于比例系数乘以自变量的形式。本题中y与$x^2$成正比例，因此先设出含未知比例系数k的函数解析式，再代入已知的x、y值求出k，确定函数的具体表达式，最后将y=6代入表达式求解x即可，注意对$x^2$开方时有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
$\because y$与$x^2$成正比例，
$\therefore$ 设函数解析式为$y=kx^2$（$k\ne0$，k为比例系数），
把$x=-1$，$y=2$代入解析式，得：
$2=k· (-1)^2$，
解得$k=2$，
$\therefore$ 函数解析式为$y=2x^2$，
当$y=6$时，代入解析式得：
$6=2x^2$，
化简得$x^2=3$，
解得$x=\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 正比例关系定义
2. 待定系数法
3. 平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正比例关系的理解和待定系数法的应用，解题时要注意本题的正比例自变量是$x^2$，不要误设为常规一次正比例函数，同时求解x时要注意平方根有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要明确正比例关系的定义：若两个量成正比例，可表示为因变量等于比例系数乘以自变量的形式。本题中y与$x^2$成正比例，因此先设出含未知比例系数k的函数解析式，再代入已知的x、y值求出k，确定函数的具体表达式，最后将y=6代入表达式求解x即可，注意对$x^2$开方时有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
$\because y$与$x^2$成正比例，
$\therefore$ 设函数解析式为$y=kx^2$（$k\ne0$，k为比例系数），
把$x=-1$，$y=2$代入解析式，得：
$2=k· (-1)^2$，
解得$k=2$，
$\therefore$ 函数解析式为$y=2x^2$，
当$y=6$时，代入解析式得：
$6=2x^2$，
化简得$x^2=3$，
解得$x=\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 正比例关系定义
2. 待定系数法
3. 平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正比例关系的理解和待定系数法的应用，解题时要注意本题的正比例自变量是$x^2$，不要误设为常规一次正比例函数，同时求解x时要注意平方根有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.75
(2)若$y$与$x-1$成正比例,当$x=2$时,$y=6$,则当$x=-2$时,$y=$
-18
.答案
4.(2) $-18$ 解析:$\because y$与$x-1$成正比例,$\therefore$设$y=k(x-1)(k≠0)$,把$x=2,y=6$代入,得$6=k· (2-1)$,解得$k=6$,则$y=6(x-1)$,$\therefore$当$x=-2$时,$y=6×(-2-1)=-18$.
解析
【分析】
本题解题可分为三步：第一步，根据“y与x-1成正比例”的条件，结合正比例关系的定义，设出含待定系数k的函数表达式y=k(x-1)（k≠0）；第二步，将已知的x=2、y=6代入所设表达式，解出k的值，得到完整的函数解析式；第三步，把x=-2代入已求出的解析式，计算得到对应的y值。
【解析】
解：
∵ y与x-1成正比例，
∴ 设y = k(x - 1)（k为常数，且k≠0），
将x=2，y=6代入表达式，得：
6 = k·(2 - 1)，
解得k=6，
∴ 函数解析式为y = 6(x - 1)，
当x=-2时，代入解析式得：
y = 6×(-2 - 1) = -18。
【答案】
-18
【知识点】
正比例的意义，待定系数法，求函数值
【点评】
本题属于正比例关系应用的基础题，核心考查对正比例关系的理解以及待定系数法的使用，解题的关键是正确根据正比例关系列出含待定系数的表达式，准确计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
本题解题可分为三步：第一步，根据“y与x-1成正比例”的条件，结合正比例关系的定义，设出含待定系数k的函数表达式y=k(x-1)（k≠0）；第二步，将已知的x=2、y=6代入所设表达式，解出k的值，得到完整的函数解析式；第三步，把x=-2代入已求出的解析式，计算得到对应的y值。
【解析】
解：
∵ y与x-1成正比例，
∴ 设y = k(x - 1)（k为常数，且k≠0），
将x=2，y=6代入表达式，得：
6 = k·(2 - 1)，
解得k=6，
∴ 函数解析式为y = 6(x - 1)，
当x=-2时，代入解析式得：
y = 6×(-2 - 1) = -18。
【答案】
-18
【知识点】
正比例的意义，待定系数法，求函数值
【点评】
本题属于正比例关系应用的基础题，核心考查对正比例关系的理解以及待定系数法的使用，解题的关键是正确根据正比例关系列出含待定系数的表达式，准确计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 已知一次函数 $ y = kx + b $，当 $ x = -4 $ 时，$ y = 9 $；当 $ x = 6 $ 时，$ y = 3 $，则 $ k = $
-0.6
，$ b = $ 6.6
.答案
5. $-0.6\quad 6.6$ 解析:根据题意,得$\begin{cases}-4k+b=9,\\6k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-0.6,\\b=6.6.\end{cases}$
解析
【分析】
已知一次函数的两组x与y的对应值，要求未知参数k和b，可采用待定系数法思路：一次函数表达式$y=kx+b$中共有2个未知常数，将两组对应值分别代入表达式，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解这个方程组即可求出k和b的值。
【解析】
解：将$x=-4$，$y=9$代入$y=kx+b$，得：
$-4k + b = 9$ ①
将$x=6$，$y=3$代入$y=kx+b$，得：
$6k + b = 3$ ②
用②式减去①式消去b，可得：
$6k + b - (-4k + b) = 3 - 9$
化简得$10k = -6$，解得$k = -0.6$
把$k=-0.6$代入①式，得：
$-4×(-0.6) + b =9$
计算得$2.4 + b =9$，解得$b=6.6$
【答案】
$-0.6$；$6.6$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是求一次函数未知参数的基础题型，核心是利用函数的对应值建立方程求解，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
已知一次函数的两组x与y的对应值，要求未知参数k和b，可采用待定系数法思路：一次函数表达式$y=kx+b$中共有2个未知常数，将两组对应值分别代入表达式，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解这个方程组即可求出k和b的值。
【解析】
解：将$x=-4$，$y=9$代入$y=kx+b$，得：
$-4k + b = 9$ ①
将$x=6$，$y=3$代入$y=kx+b$，得：
$6k + b = 3$ ②
用②式减去①式消去b，可得：
$6k + b - (-4k + b) = 3 - 9$
化简得$10k = -6$，解得$k = -0.6$
把$k=-0.6$代入①式，得：
$-4×(-0.6) + b =9$
计算得$2.4 + b =9$，解得$b=6.6$
【答案】
$-0.6$；$6.6$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是求一次函数未知参数的基础题型，核心是利用函数的对应值建立方程求解，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $ y+3 $ 与 $ 3x-6 $ 成正比例，且当 $ x=1 $ 时，$ y=5 $。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式。
(2)当 $ x=-3 $ 时，求 $ y $ 的值。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式。
(2)当 $ x=-3 $ 时，求 $ y $ 的值。
答案
6. (1)根据题意,得$y+3=k(3x-6)$,把$x=1,y=5$代入,得$k×(3-6)=5+3$,解得$k=-\frac{8}{3}$,$\therefore y+3=-\frac{8}{3}(3x-6)$,$\therefore y=-8x+13$.
(2)当$x=-3$时,$y=-8×(-3)+13=37$.
(2)当$x=-3$时,$y=-8×(-3)+13=37$.
解析
【分析】
解决第(1)问的思路：若两个量成正比例，可根据正比例定义设出含比例系数k的关系式，本题中y+3与3x-6成正比例，因此设$y+3=k(3x-6)(k≠0)$，再将已知的x=1、y=5代入关系式，求出k的值后整理即可得到y与x的函数表达式。
解决第(2)问的思路：将x=-3直接代入第(1)问求出的函数表达式中，计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 因为$y+3$与$3x-6$成正比例，所以设$y+3 = k(3x - 6)$（$k ≠ 0$）。
将$x=1$，$y=5$代入上式，得：
$k×(3×1 - 6) = 5 + 3$
即$-3k=8$，解得$k=-\frac{8}{3}$。
把$k=-\frac{8}{3}$代入$y+3 = k(3x - 6)$，得：
$y + 3 = -\frac{8}{3}(3x - 6)$
展开整理得$y = -8x + 13$。
(2) 把$x=-3$代入$y = -8x + 13$，得：
$y = -8×(-3) + 13 = 24 + 13 = 37$。
【答案】
(1) $y=-8x+13$；(2) $37$
【知识点】
正比例定义；待定系数法求解析式；一次函数求值
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考察正比例关系的概念和待定系数法的应用，计算难度较低，掌握基本方法即可快速求解，是一次函数相关内容的核心基础考点。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问的思路：若两个量成正比例，可根据正比例定义设出含比例系数k的关系式，本题中y+3与3x-6成正比例，因此设$y+3=k(3x-6)(k≠0)$，再将已知的x=1、y=5代入关系式，求出k的值后整理即可得到y与x的函数表达式。
解决第(2)问的思路：将x=-3直接代入第(1)问求出的函数表达式中，计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 因为$y+3$与$3x-6$成正比例，所以设$y+3 = k(3x - 6)$（$k ≠ 0$）。
将$x=1$，$y=5$代入上式，得：
$k×(3×1 - 6) = 5 + 3$
即$-3k=8$，解得$k=-\frac{8}{3}$。
把$k=-\frac{8}{3}$代入$y+3 = k(3x - 6)$，得：
$y + 3 = -\frac{8}{3}(3x - 6)$
展开整理得$y = -8x + 13$。
(2) 把$x=-3$代入$y = -8x + 13$，得：
$y = -8×(-3) + 13 = 24 + 13 = 37$。
【答案】
(1) $y=-8x+13$；(2) $37$
【知识点】
正比例定义；待定系数法求解析式；一次函数求值
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考察正比例关系的概念和待定系数法的应用，计算难度较低，掌握基本方法即可快速求解，是一次函数相关内容的核心基础考点。
【难度系数】
0.8
7. 在弹性限度内,弹簧长度$y$(单位:$\mathrm{cm}$)与所挂物体质量$x$(单位:$\mathrm{kg}$)成一次函数关系,根据下表提供的数据,求$y$关于$x$的函数表达式.
答案
7. 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,将$x=8,y=12$和$x=24,y=16$分别代入,得$\begin{cases}8k+b=12,\\24k+b=16,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{4},\\b=10,\end{cases}$$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x+10$.
解析
【分析】
题目明确弹簧长度$y$与所挂物体质量$x$是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：首先写出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将表格中两组$x、y$的对应值代入一般式，得到关于参数$k、b$的二元一次方程组，解方程组求出$k、b$的值，即可得到所求函数表达式。
【解析】
解：设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$\begin{cases}x=8\\y=12\end{cases}$和$\begin{cases}x=24\\y=16\end{cases}$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}8k + b = 12 \\24k + b = 16 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$16k=4$，解得$k=\frac{1}{4}$，
将$k=\frac{1}{4}$代入$8k + b = 12$，得$8×\frac{1}{4}+b=12$，解得$b=10$。
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x+10$。
【答案】
$y=\frac{1}{4}x+10$
【知识点】
待定系数法求解析式；二元一次方程组解法；一次函数定义
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，核心考查待定系数法的使用，属于一次函数解析式求解类的典型常规题，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
题目明确弹簧长度$y$与所挂物体质量$x$是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：首先写出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将表格中两组$x、y$的对应值代入一般式，得到关于参数$k、b$的二元一次方程组，解方程组求出$k、b$的值，即可得到所求函数表达式。
【解析】
解：设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$\begin{cases}x=8\\y=12\end{cases}$和$\begin{cases}x=24\\y=16\end{cases}$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}8k + b = 12 \\24k + b = 16 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$16k=4$，解得$k=\frac{1}{4}$，
将$k=\frac{1}{4}$代入$8k + b = 12$，得$8×\frac{1}{4}+b=12$，解得$b=10$。
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x+10$。
【答案】
$y=\frac{1}{4}x+10$
【知识点】
待定系数法求解析式；二元一次方程组解法；一次函数定义
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，核心考查待定系数法的使用，属于一次函数解析式求解类的典型常规题，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
